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正确率19.999999999999996%已知实数$${{λ}}$$同时满足：
，其中$${{D}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$边$${{B}{C}}$$延长线上一点；$${（{2}{）}}$$关于$${{x}}$$的方程$$2 \operatorname{s i n}^{2} x-( \lambda+1 )$$在$$[ 0， ~ 2 \pi)$$上恰有两解，则实数$${{λ}}$$的取值范围是（）
D
A.$$\lambda=-2 \sqrt{2}-1$$或$${{λ}{=}{−}{2}}$$
B.$${{λ}{<}{−}{4}}$$
C.$${{λ}{=}{−}{2}}$$
D.$${{λ}{<}{−}{4}}$$或$$\lambda=-2 \sqrt{2}-1$$
2、['扇形面积公式'， '向量的线性运算']正确率60.0%svg异常
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率80.0%svg异常
A.$$\frac{3} {1 6}$$
B.$$- \frac{3} {1 6}$$
C.$$\frac{7} {6 4}$$
D.$$- \frac{7} {6 4}$$
4、['共线向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率40.0%svg异常
C
A.当$${{P}}$$为$${{O}{C}}$$的中点时，$$\mu=\frac{1} {4}$$
B.当$${{P}}$$为$${{O}{C}}$$的中点时，$$\mu=\frac{1} {3}$$
C.无论$${{μ}}$$取何值，恒有$$\lambda=\frac{3} {4}$$
D.存在$${{μ}{∈}{R}}$$，使得$$\lambda=\frac{1} {2}$$
5、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率40.0%已知等边三角形$${{A}{B}{C}}$$中$${，{D}}$$是线段$${{A}{C}}$$的中
点$$， ~ D E \perp A B，$$垂足为$${{E}{，}{F}}$$是线段$${{B}{D}}$$的中点，则$$\overrightarrow{D E}=$$（）
C
A.$$- \frac{3} {8} \overrightarrow{B D}+\frac{5} {4} \overrightarrow{F C}$$
B.$$\frac{3} {8} \overrightarrow{B D}-\frac{5} {4} \overrightarrow{F C}$$
C.$$\frac{1} {8} \overrightarrow{B D}-\frac{3} {4} \overrightarrow{F C}$$
D.$$- \frac{1} {8} \overrightarrow{B D}+\frac{3} {4} \overrightarrow{F C}$$
6、['余弦定理、正弦定理应用举例'， '向量的线性运算']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$$6， ~ \operatorname{c o s} A=-\frac{4} {5}， ~ P$$为线段$${{B}{C}}$$上一点，$$\overrightarrow{B P}=2 \overrightarrow{P C}$$，点$${{P}}$$在线段$$A B， \ A C$$上的投影分别为$${{Q}{，}{R}}$$，则$${{△}{P}{Q}{R}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{6} {2 5}$$
B.$$\frac{1 2} {2 5}$$
C.$$\frac{3 2} {2 5}$$
D.$$\frac{3 6} {2 5}$$
7、['向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}}$$是$${{B}{C}}$$中点，$$A B=8， ~ ~ A C=6$$，则$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{B C}$$的值是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{{1}{4}}}$$
B.$${{−}{{2}{8}}}$$
C.$${{1}{4}}$$
D.$${{2}{8}}$$
8、['向量的线性运算'， '空间向量共线定理']正确率60.0%svg异常
D
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{6} {1 3}$$
D.$$\frac{6} {1 7}$$
9、['共线向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率40.0%设$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$为基底向量，已知向量$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b}， \， \， \， \overrightarrow{C B}=2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}， \， \， \， \overrightarrow{C D}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$，若$$A， ~ B， ~ D$$三点共线，则实数$${{k}}$$的值等于（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{{1}{0}}}$$
D.$${{1}{0}}$$
10、['数量积的运算律'， '向量的线性运算']正确率60.0%已知矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$| A B |=4， \， \， \， | B C |=2$$，则$$\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B D}=$$（）
C
A.$${{2}{0}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{−}{{1}{2}}}$$
D.$${{−}{{2}{0}}}$$
1. 题目分析：
条件(1)给出向量关系：$$\overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AB} + (1 - \lambda) \overrightarrow{AC}$$
由于D在BC延长线上，根据向量共线定理，$$\lambda < 0$$
条件(2)方程：$$2 \sin^2 x - (\lambda + 1) \sin x + \lambda = 0$$
设$$t = \sin x$$，方程化为：$$2t^2 - (\lambda + 1)t + \lambda = 0$$
解得：$$t = \frac{{\lambda + 1 \pm |\lambda - 1|}}{{4}}$$
在$$[0, 2\pi)$$上恰有两解，需满足：
(i) $$\lambda = -2\sqrt{2} - 1$$时，方程有唯一解$$t = -\sqrt{2}/2$$对应两解
(ii) $$\lambda = -2$$时，方程有解$$t = -1$$和$$t = 1/2$$，但$$t = -1$$对应唯一解
(iii) $$\lambda < -4$$时，方程有解$$t = 1$$和$$t = \lambda/2$$，其中$$t = 1$$对应唯一解
综上，正确答案为D
5. 向量解法：
建立坐标系，设等边三角形边长为2：
$$A(0, \sqrt{3})$$, $$B(-1, 0)$$, $$C(1, 0)$$
则$$D(0.5, \sqrt{3}/2)$$，$$E(-0.25, 3\sqrt{3}/8)$$
$$F(-0.25, \sqrt{3}/4)$$
计算向量：
$$\overrightarrow{DE} = (-0.75, -\sqrt{3}/8)$$
$$\overrightarrow{BD} = (1.5, \sqrt{3}/2)$$
$$\overrightarrow{FC} = (1.25, -\sqrt{3}/4)$$
验证选项A：$$-\frac{3}{8}\overrightarrow{BD} + \frac{5}{4}\overrightarrow{FC} = (-0.75, -\sqrt{3}/8)$$
与$$\overrightarrow{DE}$$一致，故选A
6. 面积计算：
已知$$\cos A = -\frac{4}{5}$$，则$$\sin A = \frac{3}{5}$$
面积公式：$$\frac{1}{2}bc\sin A = 6 \Rightarrow bc = 20$$
设$$\overrightarrow{BP} = 2\overrightarrow{PC}$$，则P分BC为2:1
投影计算：
$$PQ = AP\sin A$$, $$PR = AP\sin A$$
利用向量法得$$AP = \frac{2}{3}AB + \frac{1}{3}AC$$
计算得$$\triangle PQR$$面积为$$\frac{36}{25}$$，故选D
7. 向量点积：
$$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$
$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$
点积计算：
$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{AB}|^2) = \frac{1}{2}(36 - 64) = -14$$
故选A
9. 共线条件：
$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$$
由A,B,D共线，存在k使$$\overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{BD}$$
即$$\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{b} = m(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b})$$
解得m=1，k=2，故选B
10. 向量点积：
设矩形ABCD，A(0,0)，B(4,0)，C(4,2)，D(0,2)
$$\overrightarrow{AC} = (4,2)$$，$$\overrightarrow{BD} = (-4,2)$$
点积：$$4 \times (-4) + 2 \times 2 = -16 + 4 = -12$$
故选C