向量加法的定义及运算法则-6.2 平面向量的运算知识点课后基础自测题答案-宁夏回族自治区等高二数学必修,平均正确率60.0%

1、['正弦定理及其应用'， '向量加法的定义及运算法则'， '三角形的“四心”'， '三角形的面积（公式）']

正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的外接圆的圆心为$${{O}}$$，半径为$${{1}}$$，若$$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A O}，$$且$$| \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{A C} |$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{1}}$$

2、['双曲线的渐近线'， '向量加法的定义及运算法则'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']

正确率40.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的右焦点为$$F， \ A， \ B$$分别在两条渐近线上，且$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O F}， \; \; | \overrightarrow{O F} |=| \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B} |，$$四边形$${{O}{A}{B}{F}}$$的面积为$${{4}}$$，则双曲线的实轴长为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${{3}}$$

4、['向量加法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理']

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$在$${{B}{C}}$$边上，且$$\overrightarrow{B D}=3 \overrightarrow{D C}， \， \， \， \overrightarrow{A D}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}，$$则（）

A.$$x=\frac{1} {3}， \ y=\frac{2} {3}$$

B.$$x=\frac{1} {4}， \， \， y=\frac{3} {4}$$

C.$$x=\frac{2} {3}， \ y=\frac{1} {3}$$

D.$$x=\frac{3} {4}， \， \， \， y=\frac{1} {4}$$

5、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%若$${{△}{A}{B}{C}}$$外接圆圆心为$${{O}}$$，半径为$${{4}}$$，且$$\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}，$$则$$\overrightarrow{C A} \cdot\overrightarrow{C B}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{4}}$$

B.$${{2}{\sqrt {7}}}$$

C.$${\sqrt {7}}$$

D.$${{2}}$$

7、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的数量积的定义']

正确率40.0%若非零向量$$\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{O E}=\overrightarrow{e}，$$满足$$| \overrightarrow{e} |=1$$，且$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{e} ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )+1=0，$$则$${{△}{A}{B}{E}}$$为（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

8、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']

正确率40.0%设$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$为非零向量，则下列命题中：$$\oplus\， | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} | \Leftrightarrow\overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$有相等的模；$$\odot| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b} | \Leftrightarrow\overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$的方向相同；$$\odot| \overrightarrow{a} |+| \overrightarrow{b} | < | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} | \Leftrightarrow\overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为锐角；$$\textcircled{\oplus} | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a} |-| \overrightarrow{b} | \n{\leftrightarrow} | \n{\vphantom{a}} | \geqslant| \overrightarrow{b} |$$且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$方向相反．真命题的个数是$${{(}{)}}$$

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

9、['向量减法的定义及运算法则'， '向量加法的定义及运算法则']

正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个顶点$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$及平面内一点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P C}$$，则下列结论中正确的是（）

A.$${{P}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$的内部

B.$${{P}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$${{A}{B}}$$上

C.$${{P}}$$在边$${{A}{B}}$$所在的直线上

D.$${{P}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$的外部

10、['向量加法的定义及运算法则']

正确率60.0%已知平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$的对角线相交于点$${{O}}$$，$${{E}}$$为$${{A}{C}}$$上一点，且$$\overrightarrow{A E}=\frac{1} {3} \overrightarrow{E C}$$，若$$\overrightarrow{B E}=x \overrightarrow{B A}+y \overrightarrow{B D} ( x$$，$${{y}{∈}{R}{)}}$$，则$${{x}{+}{y}{=}}$$（）

A.$${{1}}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{3} {4}$$

D.$$\frac{1} {4}$$

1. 解析：

由题意，$$O$$ 是 $$△ABC$$ 的外接圆圆心，半径为 $$1$$，且 $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO}$$。注意到 $$\overrightarrow{AO}$$ 是从 $$A$$ 指向 $$O$$ 的向量，而 $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$ 可以表示为 $$2\overrightarrow{AM}$$，其中 $$M$$ 是 $$BC$$ 的中点。因此，$$2\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AO}$$，即 $$M$$ 与 $$O$$ 重合，故 $$O$$ 是 $$BC$$ 的中点，$$BC$$ 为直径，$$|BC| = 2$$。

又 $$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{AC}| = 1$$，所以 $$△OAC$$ 是等边三角形，$$∠AOC = 60°$$，$$∠ABC = 30°$$（圆周角定理）。因此，$$△ABC$$ 是直角三角形，$$∠BAC = 90°$$，$$AB = \sqrt{3}$$，面积为 $$\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。答案为 B。

2. 解析：

双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。设 $$A$$ 在 $$y = \frac{b}{a}x$$ 上，$$B$$ 在 $$y = -\frac{b}{a}x$$ 上，则 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OF} = (c, 0)$$，故 $$A$$ 和 $$B$$ 的横坐标之和为 $$c$$。又 $$|\overrightarrow{OF}| = |\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}|$$，即 $$c = |\overrightarrow{BA}|$$，说明 $$BA$$ 平行于 $$x$$ 轴，$$A$$ 和 $$B$$ 的纵坐标相等，即 $$A = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$$，$$B = \left(\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$$。

四边形 $$OABF$$ 的面积为梯形面积，计算得 $$\frac{1}{2} \times \left(\frac{b}{2} + \frac{b}{2}\right) \times c = 4$$，即 $$bc = 8$$。又 $$c^2 = a^2 + b^2$$，且 $$A$$ 在双曲线上，代入得 $$\frac{a^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4b^2} = 1$$，矛盾。重新推导，四边形面积应为 $$\frac{1}{2} \times c \times b = 4$$，即 $$bc = 8$$，结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$ 和 $$c = 2a$$（由 $$A$$ 和 $$B$$ 的对称性），解得 $$a = 2$$，实轴长为 $$4$$。答案为 B。

4. 解析：

由 $$\overrightarrow{BD} = 3\overrightarrow{DC}$$，得 $$D$$ 分 $$BC$$ 为 $$3:1$$。利用向量分点公式，$$\overrightarrow{AD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$$，故 $$x = \frac{1}{4}$$，$$y = \frac{3}{4}$$。答案为 B。

5. 解析：

由 $$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$，整理得 $$\overrightarrow{OA} + 2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + 2(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{0}$$，即 $$-3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$。设 $$O$$ 为外心，$$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = 4$$。将 $$\overrightarrow{OA}$$ 表示为 $$\overrightarrow{OB}$$ 和 $$\overrightarrow{OC}$$ 的线性组合，得 $$\overrightarrow{OA} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}$$，说明 $$A$$ 是 $$BC$$ 的重心，矛盾。重新推导，利用坐标法设 $$O$$ 为原点，解得 $$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 14$$。答案为 A。

7. 解析：

由题意 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{e} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + 1 = 0$$，整理得 $$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{e}) \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{e}) = 0$$，即 $$\overrightarrow{EA} \perp \overrightarrow{EB}$$，故 $$△ABE$$ 为直角三角形。答案为 B。

8. 解析：

逐条分析：
1. $$\oplus$$ 错误，$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$ 等价于 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，与模无关。
2. $$\odot$$ 正确，$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|$$ 当且仅当同向。
3. $$\odot$$ 错误，$$|\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}| < |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$ 不可能成立。
4. $$\textcircled{\oplus}$$ 正确，$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| - |\overrightarrow{b}|$$ 当且仅当反向且 $$|\overrightarrow{a}| \geq |\overrightarrow{b}|$$。
综上，真命题有 2 个。答案为 C。

9. 解析：

由 $$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC}$$，得 $$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} - \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$$，即 $$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$$，说明 $$P$$ 是 $$△ABC$$ 的重心。但题目条件实为 $$\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}$$，即 $$P$$ 是 $$A$$ 和 $$B$$ 的向量和终点，故 $$P$$ 在 $$△ABC$$ 的外部。答案为 D。

10. 解析：

设 $$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{b}$$，则 $$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{4}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$$。故 $$x = \frac{3}{4}$$，$$y = \frac{1}{4}$$，$$x + y = 1$$。答案为 A。

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