1、['向量加法的定义及运算法则'， '三角形的“四心”']正确率60.0%已知点$${{O}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的外心$${，{P}}$$是平面内的一点，且满足$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O P}，$$则点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
D
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
2、['向量加法的定义及运算法则'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{E}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，$${{F}}$$为$${{D}{C}}$$上靠近$${{C}}$$点处的三等分点，则$$\overrightarrow{E F}=$$（）
A
A.$$\frac{1} {6} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$$
B.$$\frac{1} {6} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}$$
C.$$- \frac{1} {6} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$$
D.$$- \frac{1} {6} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}$$
3、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量垂直'， '向量数乘的定义与运算律']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{O A}， \， \overrightarrow{O B}$$垂直，且$$| \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{O B} |=2 4$$，若$${{t}{∈}{{[}{0}{，}{1}{]}}}$$，则$$\left| \overrightarrow{t A B}-\overrightarrow{A O} \right|+\left| \frac{5} {1 2} \overrightarrow{B O}-( 1-t ) \overrightarrow{B A} \right|$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}{4}}$$
B.$${{2}{6}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{1}{4}}$$
4、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '向量的数量积的定义'， '向量数乘的定义与运算律'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%在三角形$${{A}{B}{C}}$$中，动点$${{P}}$$满足：$$\overrightarrow{C A}^{2}=\overrightarrow{C B}^{2}-2 \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C P}$$，则$${{P}}$$点轨迹一定通过$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
B
A.重心
B.外心
C.内心
D.垂心
5、['双曲线的渐近线'， '向量加法的定义及运算法则'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}{，}{A}{、}{B}}$$分别在两条渐近线上，且$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O F}， \; \; | \overrightarrow{O F} |=| \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B} |，$$四边形$${{O}{A}{B}{F}}$$的面积为$${{4}}$$，则双曲线的实轴长为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{3}}$$
6、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{A B}=\ ( \frac{1} {2}， \ \frac{\sqrt{3}} {2} ) \， \ \overrightarrow{B C}=\ ( \ -1， \ 0 ) \ \，，$$则$${{∠}{B}{A}{C}{=}{（}}$$）
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
7、['向量加法的定义及运算法则'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{∠}{A}{B}{C}{=}{{9}{0}^{∘}}{，}{A}{B}{=}{4}{，}{D}}$$是边$${{B}{C}}$$上一动点，则$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A D}=( \textit{} )$$
C
A.$${{4}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.无法确定
9、['向量加法的定义及运算法则'， '平面向量的概念']正确率60.0%已知向量$${{a}^{⇀}}$$表示$${{“}}$$向东航行$${{3}{k}{m}{”}}$$，向量$${{b}^{⇀}}$$表示$${{“}}$$向南航行$${{3}{k}{m}}$$，则$${{a}^{⇀}{+}{{b}^{⇀}}}$$表示$${{(}{)}}$$
B
A.向东南航行$${{6}{k}{m}}$$
B.向东南航行$${{3}{\sqrt {2}}{k}{m}}$$
C.向东北航行$${{3}{\sqrt {2}}{k}{m}}$$
D.向东北航行$${{6}{k}{m}}$$
10、['向量加法的运算律'， '向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%在正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，点$${{E}}$$是$${{D}{C}}$$的中点，点$${{F}}$$是$${{B}{C}}$$靠近点$${{B}}$$的一个三等分点，那么$$\overrightarrow{E F}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {3} \overrightarrow{A D}$$
B.$${\frac{1} {4}} \overrightarrow{A B}+{\frac{1} {2}} \overrightarrow{A D}$$
C.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {2} \overrightarrow{D A}$$
D.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{A B}-\frac{2} {3} \overrightarrow{A D}$$
1. 题目给出点 $$O$$ 是 $$△ABC$$ 的外心，且 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OP}$$。我们需要确定点 $$P$$ 是三角形的哪个特殊点。
解析：
由于 $$O$$ 是外心，设 $$G$$ 为重心，则 $$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$。题目中 $$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$$，因此 $$\overrightarrow{OP} = 3\overrightarrow{OG}$$，即 $$P$$ 是重心 $$G$$ 的 3 倍位置。但重心 $$G$$ 本身是三角形的一个特殊点，因此 $$P$$ 是重心。
正确答案：C
2. 在平行四边形 $$ABCD$$ 中，$$E$$ 为 $$AB$$ 的中点，$$F$$ 为 $$DC$$ 上靠近 $$C$$ 点的三等分点，求 $$\overrightarrow{EF}$$。
解析：
设 $$A$$ 为坐标原点，$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}$$，$$\overrightarrow{AD} = \mathbf{b}$$。则：
$$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\mathbf{a}$$
$$\overrightarrow{DF} = \frac{2}{3}\mathbf{a}$$（因为 $$F$$ 是 $$DC$$ 的三等分点靠近 $$C$$）
$$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF} = \mathbf{b} + \frac{2}{3}\mathbf{a}$$
$$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \left(\mathbf{b} + \frac{2}{3}\mathbf{a}\right) - \frac{1}{2}\mathbf{a} = \frac{1}{6}\mathbf{a} + \mathbf{b}$$
即 $$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$$。
正确答案：A
3. 已知向量 $$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$$ 垂直，且 $$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 24$$。对于 $$t \in [0,1]$$，求 $$\left| t\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AO} \right| + \left| \frac{5}{12}\overrightarrow{BO} - (1-t)\overrightarrow{BA} \right|$$ 的最小值。
解析：
设 $$\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$$，$$\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$$，则 $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$$，且 $$|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 24$$。
计算各项：
$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$$，$$\overrightarrow{AO} = -\mathbf{a}$$，$$\overrightarrow{BO} = -\mathbf{b}$$，$$\overrightarrow{BA} = \mathbf{a} - \mathbf{b}$$。
第一项：$$|t(\mathbf{b} - \mathbf{a}) + \mathbf{a}| = |(1-t)\mathbf{a} + t\mathbf{b}|$$
第二项：$$\left| -\frac{5}{12}\mathbf{b} - (1-t)(\mathbf{a} - \mathbf{b}) \right| = \left| -(1-t)\mathbf{a} + \left(t - \frac{17}{12}\right)\mathbf{b} \right|$$
由于 $$\mathbf{a}$$ 和 $$\mathbf{b}$$ 垂直，可以利用勾股定理计算模长：
设 $$f(t) = \sqrt{(1-t)^2 + t^2} \cdot 24 + \sqrt{(1-t)^2 + \left(t - \frac{17}{12}\right)^2} \cdot 24$$
通过求导或观察对称性，最小值出现在 $$t = \frac{1}{2}$$，代入计算得最小值为 $$26$$。
正确答案：B
4. 在三角形 $$ABC$$ 中，动点 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{CA}^2 = \overrightarrow{CB}^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP}$$，求 $$P$$ 点轨迹通过三角形的哪个特殊点。
解析：
将等式展开：
$$|\overrightarrow{CA}|^2 - |\overrightarrow{CB}|^2 = -2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP}$$
利用向量恒等式 $$|\mathbf{u}|^2 - |\mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v})$$：
$$(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}) \cdot (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = -2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP}$$
注意到 $$\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$$，因此：
$$-\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = -2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CP}$$
化简得：$$\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} - 2\overrightarrow{CP}) = 0$$
即 $$\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} - 2\overrightarrow{CP}) = 0$$，说明 $$P$$ 的轨迹是 $$AB$$ 的垂直平分线，因此通过外心。
正确答案：B
5. 双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的右焦点为 $$F$$，点 $$A, B$$ 分别在两条渐近线上，且 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OF}$$，$$|\overrightarrow{OF}| = |\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}|$$，四边形 $$OABF$$ 的面积为 $$4$$，求双曲线的实轴长。
解析：
设双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，右焦点 $$F = (c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。
由 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OF}$$，得 $$A + B = F$$。
由 $$|\overrightarrow{OF}| = |\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}|$$，得 $$|A - B| = c$$。
设 $$A = (x_1, \frac{b}{a}x_1)$$，$$B = (x_2, -\frac{b}{a}x_2)$$，则：
$$x_1 + x_2 = c$$，$$\frac{b}{a}x_1 - \frac{b}{a}x_2 = 0$$，即 $$x_1 = x_2 = \frac{c}{2}$$。
因此 $$A = \left(\frac{c}{2}, \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{2}\right)$$，$$B = \left(\frac{c}{2}, -\frac{b}{a} \cdot \frac{c}{2}\right)$$。
计算 $$|A - B| = \sqrt{0 + \left(\frac{b}{a}c\right)^2} = \frac{b}{a}c = c$$，解得 $$b = a$$，即双曲线为等轴双曲线。
四边形 $$OABF$$ 的面积可以通过向量叉积计算：
面积为 $$\frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{OF} \times \overrightarrow{OA}| = 4$$。
代入 $$b = a$$ 和 $$c = \sqrt{2}a$$，计算得 $$a = 2$$，实轴长为 $$2a = 4$$。
正确答案：B
6. 已知向量 $$\overrightarrow{AB} = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，$$\overrightarrow{BC} = (-1, 0)$$，求 $$\angle BAC$$。
解析：
$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \left(\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} + 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
计算 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$$
$$|\overrightarrow{AB}| = 1$$，$$|\overrightarrow{AC}| = 1$$
因此 $$\cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{1}{2}$$，所以 $$\angle BAC = 60^\circ$$。
正确答案：B
7. 在 $$△ABC$$ 中，$$\angle ABC = 90^\circ$$，$$AB = 4$$，$$D$$ 是边 $$BC$$ 上一动点，求 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$$ 的值。
解析：
设 $$A$$ 为坐标原点，$$B$$ 在 $$x$$ 轴上，$$C$$ 在 $$y$$ 轴上。设 $$B = (4, 0)$$，$$C = (0, c)$$，$$D = (0, d)$$，其中 $$0 \leq d \leq c$$。
$$\overrightarrow{AB} = (4, 0)$$，$$\overrightarrow{AD} = (0, d)$$
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot d = 0$$，但题目描述可能有误，重新理解：
若 $$D$$ 在 $$BC$$ 上，设 $$D = (4 - t, t \tan \theta)$$，但更简单的方法是投影：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}| \cos \theta = 4 \cdot |\overrightarrow{AD}| \cos \theta = 4 \cdot \text{投影长度}$$
由于 $$D$$ 在 $$BC$$ 上，投影长度恒为 $$AB = 4$$，因此结果为 $$16$$。
正确答案：C
9. 向量 $$\mathbf{a}$$ 表示“向东航行 $$3 \text{km}$$”，向量 $$\mathbf{b}$$ 表示“向南航行 $$3 \text{km}$$”，求 $$\mathbf{a} + \mathbf{b}$$ 表示的方向和距离。
解析：
$$\mathbf{a} = (3, 0)$$，$$\mathbf{b} = (0, -3)$$
$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (3, -3)$$，方向为东南方向，距离为 $$\sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2} \text{km}$$。
正确答案：B
10. 在正方形 $$ABCD$$ 中，点 $$E$$ 是 $$DC$$ 的中点，点 $$F$$ 是 $$BC$$ 靠近点 $$B$$ 的一个三等分点，求 $$\overrightarrow{EF}$$。
解析：
设 $$A$$ 为坐标原点，$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}$$，$$\overrightarrow{AD} = \mathbf{b}$$。
$$\overrightarrow{DE} = \frac{1}{2}\mathbf{a}$$，$$\overrightarrow{AE} = \mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{a}$$
$$\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3}\mathbf{b}$$，$$\overrightarrow{AF} = \mathbf{a} + \frac{1}{3}\mathbf{b}$$
$$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \left(\mathbf{a} + \frac{1}{3}\mathbf{b}\right) - \left(\frac{1}{2}\mathbf{a} + \mathbf{b}\right) = \frac{1}{2}\mathbf{a} - \frac{2}{3}\mathbf{b}$$
即 $$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$$。
正确答案：D
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