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正确率60.0%已知直线$${{y}{=}{2}{x}}$$与椭圆$$c_{:} \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}$$$$= 1 ( a > b > 0 )$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，点$${{F}}$$是椭圆$${{C}}$$的左焦点，若$$| \overrightarrow{F A} |+| \overrightarrow{F B} |=2 \sqrt{2}，$$$$| \overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B} |=2，$$则椭圆$${{C}}$$的离心率$${{e}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
2、['向量加法的定义及运算法则'， '平面向量的概念']正确率60.0%svg异常
D
A.$${{0}}$$
B.$$\overrightarrow{E O}$$
C.$$\overrightarrow{A E}$$
D.$$\overrightarrow{E A}$$
3、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则']正确率60.0%svg异常
B
A.$$2 ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )$$
B.$$2 ( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} )$$
C.$$\frac{1} {2} ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )$$
D.$$\frac{1} {2} ( \stackrel{\rightarrow} {b}-\stackrel{\rightarrow} {a} )$$
4、['向量加法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '函数的对称性']正确率40.0%过点$$P ( 2， 1 )$$的直线$${{l}}$$与函数$$f ( x )=\frac{2 x+3} {2 x-4}$$的图象交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{O}}$$为坐标原点，则$$( \overrightarrow{\mathrm{O A}}+\overrightarrow{\mathrm{O B}} ) \cdot\overrightarrow{\mathrm{O P}}=$$ （ ）
D
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{1}{0}}$$
5、['向量加法的定义及运算法则'， '向量的模'， '数量积的性质'， '平面向量的概念'， '平面向量基本定理']正确率40.0%已知$$A. ~ B. ~ C$$是圆$${{O}}$$上的三个点，$${{C}{O}}$$的延长线与线段$${{B}{A}}$$的延长线交于圆外一点．若$$\overrightarrow{O C}=m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B}，$$其中$$m， \， \， n \in R$$．则$${{m}{+}{n}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
B.$$( \ -1， \ 0 )$$
C.$$( 1， ~+\infty)$$
D.$$( \ -\infty， \ -1 )$$
6、['向量加法的定义及运算法则'， '空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%svg异常
D
A.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{a}+\frac{2} {3} \overrightarrow{b}+\frac{2} {3} \overrightarrow{c}$$
B.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{a}+\frac{2} {3} \overrightarrow{b}+\frac{1} {3} \overrightarrow{c}$$
C.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{a}+\frac{2} {3} \overrightarrow{b}+\frac{2} {3} \overrightarrow{c}$$
D.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{a}+\frac{1} {3} \overrightarrow{b}+\frac{1} {3} \overrightarrow{c}$$
7、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量的模'， '向量的夹角']正确率19.999999999999996%若$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是两个非零向量，且$$| \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |=\lambda| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |，$$$$\lambda\in[ \frac{\sqrt{3}} {3}， 1 ]$$，则$${{b}^{→}}$$与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$的夹角的取值范围是（）
B
A.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{2 \pi} {3} ]$$
B.$$\left[ \frac{2 \pi} {3}， \frac{5 \pi} {6} \right]$$
C.$$[ \frac{2 \pi} {3}， \pi)$$
D.$$[ \frac{5 \pi} {6}， \pi)$$
8、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则']正确率60.0%化简$$( \overrightarrow{\bf A B}-\overrightarrow{\bf C D} )-( \overrightarrow{\bf A C}-\overrightarrow{\bf B D} )$$的结果是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{0}^{→}}$$
B.$$\overrightarrow{\bf A D}$$
C.$$\overrightarrow{\bf B C}$$
D.$$\overrightarrow{\bf A B}$$
9、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，点$${{E}}$$满足$$\overrightarrow{E B}=4 \overrightarrow{E C}$$，则$$\overrightarrow{E D}=($$）
A
A.$$\frac{5} {6} \overrightarrow{A B}-\frac{4} {3} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\frac{4} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{5} {6} \overrightarrow{A C}$$
C.$$\frac{5} {6} \overrightarrow{A B}+\frac{4} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\frac{4} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{5} {6} \overrightarrow{A C}$$
10、['向量加法的定义及运算法则']正确率60.0%设$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，且$$\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{2 B P}$$，则（）
B
A.$$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}={\bf0}$$
B.$$\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P A}={\bf0}$$
C.$$\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}={\bf0}$$
D.$$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}={\bf0}$$
1. 解析：
设椭圆 $$C$$ 的左焦点为 $$F(-c, 0)$$，直线 $$y = 2x$$ 与椭圆 $$C$$ 的交点为 $$A(x_1, 2x_1)$$ 和 $$B(-x_1, -2x_1)$$（因为椭圆关于原点对称）。
根据题意：
$$|\overrightarrow{FA}| + |\overrightarrow{FB}| = \sqrt{(x_1 + c)^2 + (2x_1)^2} + \sqrt{(-x_1 + c)^2 + (-2x_1)^2} = 2\sqrt{2}$$
化简得：
$$\sqrt{5x_1^2 + 2c x_1 + c^2} + \sqrt{5x_1^2 - 2c x_1 + c^2} = 2\sqrt{2}$$
由于对称性，两项相等，故：
$$2\sqrt{5x_1^2 + c^2} = 2\sqrt{2} \implies 5x_1^2 + c^2 = 2$$
又 $$|\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB}| = |(x_1 + c - x_1 + c, 2x_1 - 2x_1)| = |(2c, 0)| = 2|c| = 2$$，故 $$c = 1$$（因为 $$c > 0$$）。
代入上式得：
$$5x_1^2 + 1 = 2 \implies x_1^2 = \frac{1}{5} \implies x_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$$
将 $$A\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right)$$ 代入椭圆方程：
$$\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2}{a^2} + \frac{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}{b^2} = 1 \implies \frac{1}{5a^2} + \frac{4}{5b^2} = 1$$
又 $$c^2 = a^2 - b^2 = 1$$，联立解得：
$$a^2 = 2, \quad b^2 = 1$$
椭圆的离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故选 B。
4. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{2x + 3}{2x - 4}$$ 关于点 $$P(2, 1)$$ 对称，因为：
$$f(4 - x) = \frac{2(4 - x) + 3}{2(4 - x) - 4} = \frac{11 - 2x}{4 - 2x} = \frac{2x - 11}{2x - 4}$$
而 $$2 - f(x) = 2 - \frac{2x + 3}{2x - 4} = \frac{4x - 8 - 2x - 3}{2x - 4} = \frac{2x - 11}{2x - 4}$$
故 $$f(4 - x) = 2 - f(x)$$，即 $$P(2, 1)$$ 是函数的对称中心。
设直线 $$l$$ 与函数图像交于 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，则 $$P$$ 是 $$AB$$ 的中点，故：
$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OP}$$
因此：
$$(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OP} = 2|\overrightarrow{OP}|^2 = 2(2^2 + 1^2) = 10$$
故选 D。
5. 解析：
设 $$A, B, C$$ 在单位圆上，$$CO$$ 的延长线与 $$BA$$ 的延长线交于圆外一点 $$D$$。
由 $$\overrightarrow{OC} = m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}$$，且 $$C$$ 在圆上，故 $$|m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}| = 1$$。
由于 $$D$$ 在圆外，$$C$$ 是 $$D$$ 的反演点，故 $$m + n > 1$$（因为 $$D$$ 在圆外时，$$m + n > 1$$）。
又因为 $$D$$ 在 $$BA$$ 的延长线上，$$m + n < 0$$ 不成立，实际上应为 $$m + n > 1$$。
但更准确的分析是：
由于 $$D$$ 在圆外，$$C$$ 是 $$D$$ 的共轭点，故 $$m + n > 1$$，因此 $$m + n \in (1, +\infty)$$，故选 C。
7. 解析：
设 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 1$$，则 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \frac{1}{\lambda}$$。
由余弦定理：
$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = 1 + 1 + 2\cos\theta = \frac{1}{\lambda^2} \implies \cos\theta = \frac{1}{2\lambda^2} - 1$$
因为 $$\lambda \in \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right]$$，故 $$\cos\theta \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$$，即 $$\theta \in \left[\frac{2\pi}{3}, \pi\right]$$。
设 $$\overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$ 的夹角为 $$\phi$$，则：
$$\cos\phi = \frac{\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{b}| \cdot |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|} = \frac{\cos\theta - 1}{\sqrt{2 - 2\cos\theta}}$$
代入 $$\cos\theta = \frac{1}{2\lambda^2} - 1$$，得：
$$\cos\phi = \frac{\frac{1}{2\lambda^2} - 2}{\sqrt{4 - \frac{1}{\lambda^2}}}$$
当 $$\lambda = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ 时，$$\cos\phi = -1$$；当 $$\lambda = 1$$ 时，$$\cos\phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
故 $$\phi \in \left[\frac{2\pi}{3}, \pi\right]$$，故选 C。
8. 解析：
化简 $$(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}) - (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD})$$：
$$= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$$
$$= (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) + (\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD})$$
$$= \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC}$$
$$= \overrightarrow{0}$$
故选 A。
9. 解析：
设 $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}$$。
由 $$D$$ 为 $$AB$$ 的中点，故 $$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$$。
由 $$\overrightarrow{EB} = 4\overrightarrow{EC}$$，得 $$\overrightarrow{E} = \frac{4\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}}{3} = \frac{4\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}}{3}$$。
故 $$\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \left(\frac{4\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}}{3}\right) = \frac{5}{6}\overrightarrow{a} - \frac{4}{3}\overrightarrow{b}$$。
即 $$\overrightarrow{ED} = \frac{5}{6}\overrightarrow{AB} - \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$$，故选 A。
10. 解析：
由 $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{BP}$$，得：
$$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA})$$
这说明 $$P$$ 是 $$AC$$ 的中点，故 $$\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PA} = \overrightarrow{0}$$，故选 B。