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正确率60.0%已知向量$$a=\left( \operatorname{s i n} \theta，-2 \right)， \， \， \， b=\left( 1， \operatorname{c o s} \theta\right)$$，且$${{a}{⊥}{b}}$$，则$${{t}{a}{n}{θ}}$$的值为
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
2、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知平面向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \ -1， \ 2 ) \， \ \overrightarrow{b}=\ ( \ k， \ 1 )$$且$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$在$${{a}^{→}}$$上的投影为（）
A
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{1}}$$
3、['平面向量数乘的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量
则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}{（}}$$）
A
A.垂直
B.不垂直也不平行
C.平行且同向
D.平行且反向
4、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( x， \ y ) \， \，， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( 1， \ 2 ) \， \，， \， \， \， \overrightarrow{c}=\ ( \ -1， \ 1 ) \， \，，$$若满足$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{b} \perp( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} ) \， \，，$$则向量$${{a}^{→}}$$的坐标为（）
D
A.$$( \frac{1} {2}， \ \frac{1} {4} )$$
B.$$(-\frac{6} {5}， ~ \frac{3} {5} )$$
C.$$( \frac{2} {5}， ~ \frac{1} {5} )$$
D.$$( \frac{1} {5}， \ \frac{2} {5} )$$
5、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率40.0%若平面向量$$\overrightarrow{a}=\left( 1， x \right)， \， \， \， \overrightarrow{b}=\left( 2 x+3，-x \right)，$$且$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$$\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=($$）
A
A.$${{2}}$$或$${{1}{0}}$$
B.$${{2}}$$或$${{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{2}}$$或$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$或$${{1}{0}}$$
6、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，且$$| \overrightarrow{A B} |=2， \， \， \， | \overrightarrow{A C} |=4$$，若$$\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A B}+\lambda\overrightarrow{A C}，$$且$$\overrightarrow{A P} \perp\overrightarrow{B C}，$$则实数$${{λ}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$- \frac{4} {5}$$
C.$${{0}}$$
D.$$- \frac{2} {5}$$
7、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量垂直'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \lambda， \ -2 ) \， \ \overrightarrow{b}=\ ( 1， \ 3 )$$若$$\overrightarrow{a} \perp( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \;，$$则$${{λ}{=}{（}}$$）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{l}}$$或$${{−}{2}}$$
D.$${{1}}$$或$${{2}}$$
8、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( \sqrt{3}， ~ 1 )， ~ ~ \overrightarrow{b}=( 0， ~-1 )， ~ ~ \overrightarrow{c}=( k， ~ \sqrt{3} )，$$若$$( \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b} )$$与$${{c}^{→}}$$互相垂直，则$${{k}}$$的值为（）
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{3}}$$
9、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{O A}=(-1， 2 )， \overrightarrow{O B}=( 3， m )，$$若$$\overrightarrow{O A} \perp\overrightarrow{O B}，$$则$${{m}{=}{(}}$$)
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{4}}$$
10、['正弦定理及其应用'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，向量$$\overrightarrow{\alpha}=\ ( a， \ \ \cos B ) \， \ \ \overrightarrow{\beta}=\ ( \ \cos A， \ \ -b )$$若$$\overrightarrow{\alpha} \perp\overrightarrow{\beta}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$一定是（）
D
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
1. 解析：
向量 $$a$$ 和 $$b$$ 垂直，故点积为零：
$$a \cdot b = \sin \theta \cdot 1 + (-2) \cdot \cos \theta = \sin \theta - 2 \cos \theta = 0$$
解得：
$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$$
答案为 A。
2. 解析：
由 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，点积为零：
$$-1 \cdot k + 2 \cdot 1 = -k + 2 = 0 \Rightarrow k = 2$$
$$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1, 3)$$
投影公式为：
$$\frac{(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{1 \cdot (-1) + 3 \cdot 2}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$
答案为 A。
3. 解析：
题目未给出具体向量，无法解析。
4. 解析：
由 $$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，设 $$\overrightarrow{a} = k \overrightarrow{b} = (k, 2k)$$
由 $$\overrightarrow{b} \perp (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c})$$，点积为零：
$$1 \cdot (k + 1) + 2 \cdot (2k - 1) = k + 1 + 4k - 2 = 5k - 1 = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{5}$$
$$\overrightarrow{a} = \left( \frac{1}{5}, \frac{2}{5} \right)$$
答案为 D。
5. 解析：
由 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，点积为零：
$$1 \cdot (2x + 3) + x \cdot (-x) = 2x + 3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$$
解得 $$x = 3$$ 或 $$x = -1$$
当 $$x = 3$$ 时：
$$\overrightarrow{a} = (1, 3), \overrightarrow{b} = (9, -3), \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (-8, 6), |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 10$$
当 $$x = -1$$ 时：
$$\overrightarrow{a} = (1, -1), \overrightarrow{b} = (1, 1), \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (0, -2), |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 2$$
答案为 A。
6. 解析：
设 $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$$，$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{v}$$，则 $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}$$
$$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{u} + \lambda \overrightarrow{v}$$
由 $$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BC}$$，点积为零：
$$(\overrightarrow{u} + \lambda \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}) = 0$$
展开并代入 $$|\overrightarrow{u}| = 2$$，$$|\overrightarrow{v}| = 4$$，$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 4 \times \cos 60^\circ = 4$$：
$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - |\overrightarrow{u}|^2 + \lambda |\overrightarrow{v}|^2 - \lambda \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4 - 4 + 16\lambda - 4\lambda = 0$$
解得 $$\lambda = 0$$
答案为 C。
7. 解析：
由 $$\overrightarrow{a} \perp (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$$，点积为零：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \lambda^2 + 4 + \lambda \cdot 1 + (-2) \cdot 3 = \lambda^2 + \lambda - 2 = 0$$
解得 $$\lambda = 1$$ 或 $$\lambda = -2$$
答案为 C。
8. 解析：
$$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (\sqrt{3}, 1) - 2(0, -1) = (\sqrt{3}, 3)$$
由 $$(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{c}$$，点积为零：
$$\sqrt{3} \cdot k + 3 \cdot \sqrt{3} = 0 \Rightarrow k = -3$$
答案为 A。
9. 解析：
由 $$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}$$，点积为零：
$$-1 \cdot 3 + 2 \cdot m = 0 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$$
答案为 C。
10. 解析：
由 $$\overrightarrow{\alpha} \perp \overrightarrow{\beta}$$，点积为零：
$$a \cos A - b \cos B = 0 \Rightarrow \frac{a}{\cos B} = \frac{b}{\cos A}$$
由正弦定理：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{\sin A}{\cos B} = \frac{\sin B}{\cos A}$$
即 $$\sin A \cos A = \sin B \cos B \Rightarrow \sin 2A = \sin 2B$$
解得 $$A = B$$ 或 $$A + B = \frac{\pi}{2}$$
故三角形为等腰或直角三角形。
答案为 D。