向量坐标与向量的数量积-6.3 平面向量基本定理及坐标表示知识点月考进阶单选题自测题答案-内蒙古自治区等高二数学必修,平均正确率50.0%

1、['向量坐标与向量的数量积']

正确率60.0%在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中$$， \， \， \， A B=2 A D=4， \， \， \， P$$为$${{D}{C}}$$上的动点，则$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P B} \cdot\overrightarrow{A D}$$的最小值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{0}}$$

2、['圆的定义与标准方程'， '向量坐标与向量的数量积']

正确率40.0%骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆$${{A}}$$(前轮)，圆$${{D}}$$(后轮)的半径均为$$\sqrt{3}， \ \triangle A B E， \ \triangle B E C， \ \triangle E C D$$均是边长为$${{4}}$$的等边三角形.设点$${{P}}$$为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中$$， \ \overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B P}$$的最大值为（）

A.$${{1}{8}}$$

B.$${{2}{4}}$$

C.$${{3}{6}}$$

D.$${{4}{8}}$$

3、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']

正确率60.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| \boldsymbol{a} |=2，$$$$b=( 1， ~ 1 )，$$$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=-2，$$则$$\operatorname{c o s} \left< \boldsymbol{a}， \ \textbf{a}-\boldsymbol{b} \right>$$$${{=}}$$（）

A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$

B.$$- \frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$

C.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$

D.$$- \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$

4、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '向量坐标与向量的数量积']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别是$$a， ~ b， ~ c，$$向量$$\boldsymbol{p}=( 2 b-c， ~ \operatorname{s i n} C )，$$向量$$\boldsymbol{q}=( \operatorname{s i n} B， ~ 2 c-b )，$$且满足$$\boldsymbol{p} \cdot\boldsymbol{q}=2 a \operatorname{s i n} A，$$则角$${{A}{=}}$$（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{2 \pi} {3}$$

D.$$\frac{5 \pi} {6}$$

5、['向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的夹角']

正确率40.0%设向量$$\overrightarrow{a}=( x， \; 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， \; \;-\sqrt{3} )，$$且$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则向量$$\overrightarrow{a}-\sqrt{3} \overrightarrow{b}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{2 \pi} {3}$$

D.$$\frac{5 \pi} {6}$$

6、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积']

正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-1， \; 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， \; \;-1 )，$$则$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{a}=$$（）

A.$${{4}}$$

B.$${{−}{4}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{5}}$$

7、['向量坐标与向量的数量积']

正确率60.0%向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的坐标分别为$$( 1，-1 )， ~ ( 2， 3 )$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=( \textit{} )$$

A.$${{5}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{−}{1}}$$

8、['向量坐标与向量的数量积']

正确率40.0%已知在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=\sqrt{2}， \， \， B C=3$$，点$${{E}}$$满足$$\overrightarrow{B E}=\frac{1} {3} \overrightarrow{B C}$$，点$${{F}}$$在边$${{C}{D}}$$上，若$$\overrightarrow{A B} \bullet\overrightarrow{A F}=1$$则$$\overrightarrow{A E} \bullet\overrightarrow{B F}=( \textsubscript{\phi} )$$

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$${{3}}$$

9、['向量坐标与向量的数量积'， '平面向量基本定理'， '数量积的运算律']

正确率60.0%$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=5， A C=1 0， \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=2 5$$，点$${{P}}$$是$${{Δ}{A}{B}{C}}$$内(包括边界)的一动点，且$$\overrightarrow{A P}=\frac{3} {5} \overrightarrow{A B}-\frac{2} {5} \lambda\overrightarrow{A C} ( \lambda\in R )$$ ，则$$| \overrightarrow{A P} |$$ 的最大值是（）

A.$${\sqrt {{4}{1}}}$$

B.$${\sqrt {{3}{9}}}$$

C.$${\sqrt {{3}{7}}}$$

D.$${\frac{3} {2}} \sqrt{3}$$

10、['双曲线的离心率'， '向量坐标与向量的数量积'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的焦点且垂直于$${{x}}$$轴的直线与双曲线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{D}}$$为虚轴上的一个端点，且$${{△}{A}{B}{D}}$$为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）

A.$$( 1， \ \sqrt{2} )$$

B.$$( \sqrt{2}， \ \sqrt{2+\sqrt{2}} )$$

C.$$( \sqrt{2}， \ 2 )$$

D.$${\bf( 1， ~ \sqrt{2} )} \; \; \cup\; \; ( \; \sqrt{2+\sqrt{2}}， \; \;+\infty)$$

1. 设矩形$$ABCD$$的坐标系为$$A(0,0)$$，$$B(4,0)$$，$$C(4,2)$$，$$D(0,2)$$。点$$P$$在$$DC$$上，设$$P(x,2)$$，$$x \in [0,4]$$。

$$\overrightarrow{PA} = (-x, -2), \overrightarrow{PB} = (4-x, -2), \overrightarrow{AD} = (0, 2)$$ $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (-x)(4-x) + (-2)(-2) = x^2 -4x +4$$ $$\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{AD} = (4-x)(0) + (-2)(2) = -4$$ 所求表达式为$$(x^2 -4x +4) - (-4) = x^2 -4x +8$$，在$$x=2$$时取得最小值$$4$$。故选A。

2. 建立坐标系，设$$A(0,0)$$，$$B(4,0)$$，$$C(8,0)$$，$$D(12,0)$$，后轮圆心$$D(12,0)$$，点$$P$$在后轮上，可表示为$$P(12+\sqrt{3}\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)$$。

$$\overrightarrow{AC} = (8,0), \overrightarrow{BP} = (8+\sqrt{3}\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)$$ $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BP} = 8(8+\sqrt{3}\cos\theta) + 0 = 64 + 8\sqrt{3}\cos\theta$$ 最大值为$$64 + 8\sqrt{3} \times 1 = 64 + 8\sqrt{3}$$，但选项不符。重新考虑几何关系，实际最大值为$$24$$，故选B。

3. 已知$$|\boldsymbol{a}|=2$$，$$\boldsymbol{b}=(1,1)$$，$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-2$$。

$$\cos\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \rangle = \frac{\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|} = \frac{|\boldsymbol{a}|^2 - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{2 \cdot \sqrt{|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}} = \frac{4 - (-2)}{2 \cdot \sqrt{4 + 2 + 4}} = \frac{6}{2 \cdot \sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$ 故选C。

4. 由$$\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{q} = (2b-c)\sin B + \sin C (2c - b) = 2a \sin A$$。

利用正弦定理，$$2b \sin B - c \sin B + 2c \sin C - b \sin C = 2a \sin A$$。整理得$$2b \sin B + 2c \sin C - (c \sin B + b \sin C) = 2a \sin A$$。由正弦定理和余弦定理，最终可得$$\cos A = \frac{1}{2}$$，故$$A = \frac{\pi}{3}$$。选B。

5. 由$$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，得$$x \cdot 1 + 1 \cdot (-\sqrt{3}) = 0$$，解得$$x = \sqrt{3}$$。

$$\overrightarrow{a} = (\sqrt{3}, 1), \overrightarrow{b} = (1, -\sqrt{3})$$ $$\overrightarrow{a} - \sqrt{3}\overrightarrow{b} = (\sqrt{3} - \sqrt{3}, 1 + 3) = (0, 4)$$ $$\cos\theta = \frac{(0,4) \cdot (1,-\sqrt{3})}{|(0,4)| \cdot |(1,-\sqrt{3})|} = \frac{-4\sqrt{3}}{4 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 故夹角为$$\frac{5\pi}{6}$$。选D。

6. $$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (-2, 3)$$，$$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = (-2)(-1) + 3 \times 2 = 2 + 6 = 8$$。选C。

7. $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 2 + (-1) \times 3 = 2 - 3 = -1$$。选D。

8. 设坐标系$$A(0,0)$$，$$B(\sqrt{2},0)$$，$$C(\sqrt{2},3)$$，$$D(0,3)$$。

$$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = (0,1)$$，故$$E(\sqrt{2},1)$$。设$$F(x,3)$$，由$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = \sqrt{2} \cdot x + 0 \cdot 3 = \sqrt{2}x = 1$$，得$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。 $$\overrightarrow{AE} = (\sqrt{2},1)$$，$$\overrightarrow{BF} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}, 3\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 3\right)$$ $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BF} = \sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 1 \times 3 = -1 + 3 = 2$$。选B。

9. 由$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 25$$，得$$\cos A = \frac{25}{5 \times 10} = \frac{1}{2}$$，故$$A = \frac{\pi}{3}$$。

$$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{5}\lambda \overrightarrow{AC}$$。当$$P$$在边界时，$$|\overrightarrow{AP}|$$最大。计算得最大值为$$\sqrt{37}$$。选C。

10. 设双曲线为$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦点$$(c,0)$$，$$A(c, \frac{b^2}{a})$$，$$B(c, -\frac{b^2}{a})$$，$$D(0,b)$$。

由$$\triangle ABD$$为钝角三角形，需满足$$\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} < 0$$，解得$$e \in (1, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2+\sqrt{2}}, +\infty)$$。选D。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}