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正确率60.0%在下列各组向量中，可以作为一组基底的是（）
D
A.$$\boldsymbol{e_{1}}=( 0， 0 )， \， \， \， \boldsymbol{e_{2}}=( 1， 1 )$$
B.$$\boldsymbol{e}_{1}=(-1， 2 )， \， \， \， \boldsymbol{e}_{2}=( 5，-1 0 )$$
C.$$\boldsymbol{e_{1}}=( 3， 5 )， ~ \boldsymbol{e_{2}}=(-3，-5 )$$
D.$$\boldsymbol{e}_{1}=( 2，-3 )， \ \boldsymbol{e}_{2}=\left( 2，-\frac{3} {4} \right)$$
4、['共线向量基本定理'， '平面向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}}$$是$${{A}{B}}$$边上的一点.若$$\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{D B}， \overrightarrow{C D}=\frac{1} {3} \overrightarrow{C A}+\lambda\overrightarrow{C B}，$$则$${{λ}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
7、['双曲线的渐近线'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量基本定理'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知直线$${{y}{=}{2}}$$与双曲线$$\Gamma\colon\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {4}=1$$的渐近线交于$${{M}{，}{N}}$$两点，任取双曲线$${{Γ}}$$上的一点$${{P}}$$，若$$\overrightarrow{O P}=\lambda\overrightarrow{O M}+\mu\overrightarrow{O N} \ ( \lambda， \ \mu\in R ) \; \;，$$则（）
D
A.$$\lambda+\mu=-\frac1 4$$
B.$$\lambda-\mu=-\frac1 4$$
C.$$\lambda\mu=-\frac1 4$$
D.$$\frac{\lambda} {\mu}=-\frac{1} {4}$$
8、['向量的模'， '平面向量基本定理'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '向量的线性运算']正确率0.0%在平面内，已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ 0 ) \;， \; \overrightarrow{b}=\ ( 0， \ 1 ) \;，$$$$\overrightarrow{c}={} ~ {} ( 1， {\bf1} ) ~，$$若非负实数$$x， ~ y， ~ z$$满足$$x+y+z=1$$，且$$\overrightarrow{p}=x \overrightarrow{a}+2 y \overrightarrow{b}+3 z \overrightarrow{c}$$，则（）
A
A.$${{|}{{p}^{→}}{|}}$$的最小值为$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$${{|}{{p}^{→}}{|}}$$的最大值为$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{|}{{p}^{→}}{|}}$$的最小值为$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$${{|}{{p}^{→}}{|}}$$的最大值为$${{3}{\sqrt {3}}}$$
9、['平面向量基本定理']正确率40.0%已知$${{A}}$$、$${{B}}$$、$${{C}}$$是直线上三个相异的点，平面内的点$${{O}}$$不在此直线上，若正实数$${{x}}$$、$${{y}}$$满足$$3 \overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+2 y \overrightarrow{O B}$$，则$$\frac{2 x+y+x y} {x y}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['平面向量基本定理']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{M}}$$为边$${{B}{C}}$$上任意一点，$${{N}}$$为$${{A}{M}}$$中点，且满足$$\overrightarrow{A N}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{A C}$$，则$${{λ}^{2}{+}{{μ}^{2}}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {1 6}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {8}$$
D.$${{1}}$$
1. 题目要求判断哪组向量可以作为基底。基底需要满足两个向量不共线。
A选项：$$e_1 = (0, 0)$$ 是零向量，不能作为基底。
B选项：$$e_2 = (5, -10) = -5(-1, 2) = -5e_1$$，两向量共线。
C选项：$$e_2 = (-3, -5) = -1 \cdot (3, 5) = -e_1$$，两向量共线。
D选项：$$e_1 = (2, -3)$$ 和 $$e_2 = \left(2, -\frac{3}{4}\right)$$ 不成比例，不共线，可以作为基底。
正确答案：D
4. 在三角形ABC中，D是AB边上的一点，且 $$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{DB}$$。根据向量的线性关系，可以表示 $$\overrightarrow{CD}$$。
由题意，$$\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \lambda\overrightarrow{CB}$$。
因为 $$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{DB}$$，所以 $$\overrightarrow{D} = \frac{2B + A}{3}$$。
因此，$$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = \frac{2B + A}{3} - C = \frac{1}{3}(A - C) + \frac{2}{3}(B - C) = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$$。
对比可得 $$\lambda = \frac{2}{3}$$。
正确答案：B
7. 双曲线 $$\Gamma: \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{2}{3}x$$。
直线 $$y = 2$$ 与渐近线交于 $$M(-3, 2)$$ 和 $$N(3, 2)$$。
双曲线上任意一点 $$P(x, y)$$ 满足 $$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$$。
由题意，$$\overrightarrow{OP} = \lambda\overrightarrow{OM} + \mu\overrightarrow{ON} = (-3\lambda + 3\mu, 2\lambda + 2\mu)$$。
因此，$$x = -3\lambda + 3\mu$$，$$y = 2\lambda + 2\mu$$。
代入双曲线方程：$$\frac{(-3\lambda + 3\mu)^2}{9} - \frac{(2\lambda + 2\mu)^2}{4} = 1$$。
化简得：$$\lambda\mu = -\frac{1}{4}$$。
正确答案：C
8. 向量 $$\overrightarrow{a} = (1, 0)$$，$$\overrightarrow{b} = (0, 1)$$，$$\overrightarrow{c} = (1, 1)$$。
由题意，$$\overrightarrow{p} = x\overrightarrow{a} + 2y\overrightarrow{b} + 3z\overrightarrow{c} = (x + 3z, 2y + 3z)$$。
约束条件为 $$x + y + z = 1$$ 且 $$x, y, z \geq 0$$。
计算模长：$$|\overrightarrow{p}| = \sqrt{(x + 3z)^2 + (2y + 3z)^2}$$。
为了求极值，考虑边界情况：
当 $$z = 0$$ 时，$$\overrightarrow{p} = (x, 2y)$$，$$x + y = 1$$。
此时 $$|\overrightarrow{p}| = \sqrt{x^2 + 4(1 - x)^2}$$，最小值为 $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$（当 $$x = \frac{4}{5}$$ 时）。
当 $$x = 0$$ 或 $$y = 0$$ 时，模长的最大值不超过 $$2\sqrt{3}$$。
正确答案：A
9. 设 $$A, B, C$$ 是直线上的三个点，且 $$3\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + 2y\overrightarrow{OB}$$。
因为 $$A, B, C$$ 共线，设 $$\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k)\overrightarrow{OB}$$。
代入得：$$3k = x$$，$$3(1 - k) = 2y$$。
因此，$$x = 3k$$，$$y = \frac{3(1 - k)}{2}$$。
表达式 $$\frac{2x + y + xy}{xy}$$ 化简为 $$\frac{2}{y} + \frac{1}{x} + 1$$。
代入 $$x$$ 和 $$y$$ 得：$$\frac{4}{3(1 - k)} + \frac{1}{3k} + 1$$。
求导或利用不等式可得最小值为 3（当 $$k = \frac{1}{2}$$ 时）。
正确答案：C
10. 在三角形ABC中，M为BC边上任意一点，N为AM中点。
由中点公式，$$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM})$$。
设 $$\overrightarrow{BM} = t\overrightarrow{BC}$$，则 $$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \left(\frac{1}{2} - \frac{t}{2}\right)\overrightarrow{AB} + \frac{t}{2}\overrightarrow{AC}$$。
因此，$$\lambda = \frac{1 - t}{2}$$，$$\mu = \frac{t}{2}$$。
计算 $$\lambda^2 + \mu^2 = \left(\frac{1 - t}{2}\right)^2 + \left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2t + 2t^2}{4}$$。
求导或配方法可得最小值为 $$\frac{1}{8}$$（当 $$t = \frac{1}{2}$$ 时）。
正确答案：C