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正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{s i n} \alpha， ~ ~ \operatorname{c o s} \alpha)， ~ ~ \overrightarrow{b}=( \operatorname{c o s} \beta， ~ ~ \operatorname{s i n} \beta)，$$且$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{θ}{，}}$$则$$\4 | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=1 \sp n$$是$$\iota c \theta=\frac{\pi} {3} "$$的（）
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要
2、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数']正确率60.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，已知$$A ( 1， 0 )， \， \， \， B ( 0， 1 )， \， \， \， C$$为坐标平面内第一象限内的点，且$$\angle A O C=\frac{\pi} {4}， \， \， \， | O C |=2$$，若$$\overrightarrow{O C}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B}$$，则$${{λ}{+}{μ}{=}}$$（）
A
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
3、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( \mathbf{2}， \ 1 )， \ b=(-1， \ x )，$$$$( 2 a+b ) \perp a，$$则$${{x}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{8}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
4、['向量坐标与向量的数量积'， '平面向量数乘的坐标运算'， '数量积的运算律']正确率60.0%已知两定点$$A ~ ( \mathrm{\ensuremath{2， 0}} ) ~， ~ B ~ ( \mathrm{\ensuremath{0， 1}} ) ~， ~ O$$为坐标系原点，动点$${{P}}$$满足：$$\overrightarrow{A P}=\lambda\overrightarrow{A B} ( 0 \leqslant\lambda\leqslant1 )$$，则$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O P}$$的最大值是（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%设向量$$\overrightarrow{a}=(-2， 6 ) \，， \， \， \， \overrightarrow{b}=( 3， y ) \，，$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$$\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}=($$)
B
A.$$( 4， 2 4 )$$
B.$$(-8， 2 4 )$$
C.$$( 4，-1 2 )$$
D.$$(-8， 1 2 )$$
6、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量基本定理']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 1 )， \， \overrightarrow{b}=( 1，-1 )， \， \overrightarrow{c}=(-1，-2 )，$$则$${{c}^{→}{=}{（}}$$）
D
A.$$- \frac{1} {2} \overrightarrow{a}-\frac{3} {2} \overrightarrow{b}$$
B.$$- \frac{1} {2} \overrightarrow{a}+\frac{3} {2} \overrightarrow{b}$$
C.$$\frac{3} {2} \overrightarrow{a}-\frac{1} {2} \overrightarrow{b}$$
D.$$- \frac{3} {2} \overrightarrow{a}+\frac{1} {2} \overrightarrow{b}$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率80.0%若$$A ( 2，-1 )， ~ B (-1， 3 )$$，则$$\frac{1} {2} \overrightarrow{A B}$$的坐标是 （）
C
A.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
B.$$(-3， 4 )$$
C.$$(-\frac{3} {2}， 2 )$$
D.以上都不对
8、['向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积']正确率40.0%已知向量$$\vec{a} \，=( 2， 1 ) \，， \， \， \， \vec{a} \， \bullet\vec{b} \，=1 0， \， \， \， \left| \vec{a} \，+\vec{b} \， \right|=\sqrt{5 0}$$则$$\left| \vec{b} \right|=($$）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{2}{5}}$$
9、['共线向量基本定理'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%已知平面内三点$$A (-1， 0 )， B ( x， 6 )， P ( 3， 4 )$$，且$$\overrightarrow{A P}=\lambda\overrightarrow{P B}， \， \， \， x$$和$${{λ}}$$的值分别为 （）
A
A.$${{5}{，}{2}}$$
B.$${{−}{7}{，}{2}}$$
C.$$- 7， ~ \frac{2} {5}$$
D.$$5， ~ ~ \frac{2} {5}$$
10、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知$${{A}{、}{B}}$$为平面上的两个定点，且$$| \overrightarrow{A B} |=2$$，该平面上的动线段$${{P}{Q}}$$的端点$${{P}{、}{Q}}$$，满足$$\overrightarrow{| A P |} \leqslant5， \， \， \， \overrightarrow{A P} \cdot\overrightarrow{A B}=6， \， \， \， \overrightarrow{A Q}=3 \overrightarrow{P A}$$，则动线段$${{P}{Q}}$$所形成图形的面积为（）
D
A.$${{4}{8}}$$
B.$${{7}{2}}$$
C.$${{9}{6}}$$
D.$${{1}{2}{0}}$$
1. 解析：
首先计算向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 的模长：
$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha} = 1$$
$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} = 1$$
根据题意，$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \frac{1}{4}$$，平方后得：
$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = \frac{1}{16}$$
展开左边：
$$|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{1}{16}$$
代入模长得：
$$1 + 1 - 2 \cos \theta = \frac{1}{16}$$
解得：
$$\cos \theta = \frac{31}{32}$$
题目给出的条件是 $$\cos \theta = \frac{\pi}{3}$$（显然有误，应为 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$，即 $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$）。
显然 $$\frac{31}{32} \neq \frac{1}{2}$$，因此题目条件与结论之间是既不充分也不必要的关系。
最终答案是：D。
2. 解析：
点 $$C$$ 在第一象限，且 $$\angle AOC = \frac{\pi}{4}$$，$$|OC| = 2$$，因此 $$C$$ 的坐标为：
$$C = (2 \cos \frac{\pi}{4}, 2 \sin \frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$$
根据 $$\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$$，代入坐标得：
$$\sqrt{2} = \lambda \cdot 1 + \mu \cdot 0 \Rightarrow \lambda = \sqrt{2}$$
$$\sqrt{2} = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 1 \Rightarrow \mu = \sqrt{2}$$
因此 $$\lambda + \mu = 2\sqrt{2}$$。
最终答案是：A。
3. 解析：
向量 $$\boldsymbol{a} = (2, 1)$$，$$\boldsymbol{b} = (-1, x)$$，则 $$2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (3, 2 + x)$$。
根据题意，$$(2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}$$，故点积为 0：
$$3 \cdot 2 + (2 + x) \cdot 1 = 0$$
解得：
$$6 + 2 + x = 0 \Rightarrow x = -8$$
最终答案是：B。
4. 解析：
动点 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}$$，其中 $$\overrightarrow{AB} = (-2, 1)$$。
因此，$$P$$ 的坐标为：
$$P = A + \lambda \overrightarrow{AB} = (2, 0) + \lambda (-2, 1) = (2 - 2\lambda, \lambda)$$
计算 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP}$$：
$$\overrightarrow{OA} = (2, 0)$$，$$\overrightarrow{OP} = (2 - 2\lambda, \lambda)$$
点积为：
$$2 \cdot (2 - 2\lambda) + 0 \cdot \lambda = 4 - 4\lambda$$
在 $$0 \leq \lambda \leq 1$$ 时，最大值为 4（当 $$\lambda = 0$$ 时）。
最终答案是：D。
5. 解析：
向量 $$\overrightarrow{a} = (-2, 6)$$，$$\overrightarrow{b} = (3, y)$$，且 $$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，因此：
$$\frac{-2}{3} = \frac{6}{y} \Rightarrow y = -9$$
计算 $$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$$：
$$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (-2 - 2 \cdot 3, 6 - 2 \cdot (-9)) = (-8, 24)$$
最终答案是：B。
6. 解析：
设 $$\overrightarrow{c} = k \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b}$$，即：
$$(-1, -2) = k(1, 1) + m(1, -1) = (k + m, k - m)$$
解得方程组：
$$k + m = -1$$
$$k - m = -2$$
解得 $$k = -\frac{3}{2}$$，$$m = \frac{1}{2}$$。
因此 $$\overrightarrow{c} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}$$。
最终答案是：D。
7. 解析：
向量 $$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2, 3 - (-1)) = (-3, 4)$$。
因此 $$\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \left(-\frac{3}{2}, 2\right)$$。
最终答案是：C。
8. 解析：
已知 $$\overrightarrow{a} = (2, 1)$$，$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 10$$，$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{50}$$。
设 $$\overrightarrow{b} = (x, y)$$，则：
$$2x + y = 10$$
$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = (2 + x)^2 + (1 + y)^2 = 50$$
展开并化简得：
$$x^2 + y^2 + 4x + 2y - 45 = 0$$
由 $$2x + y = 10$$，代入得：
$$x^2 + (10 - 2x)^2 + 4x + 2(10 - 2x) - 45 = 0$$
解得 $$x = 3$$，$$y = 4$$，因此 $$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$。
最终答案是：C。
9. 解析：
向量 $$\overrightarrow{AP} = P - A = (4, 4)$$，$$\overrightarrow{PB} = B - P = (x - 3, 2)$$。
根据 $$\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$$，得：
$$4 = \lambda (x - 3)$$
$$4 = \lambda \cdot 2 \Rightarrow \lambda = 2$$
代入第一式得：
$$4 = 2(x - 3) \Rightarrow x = 5$$
最终答案是：A。
10. 解析：
设 $$A$$ 为原点，$$\overrightarrow{AB} = (2, 0)$$，则点 $$P$$ 满足：
$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB} = 6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$$
且 $$|\overrightarrow{AP}| \leq 5 \Rightarrow \sqrt{3^2 + y^2} \leq 5 \Rightarrow y^2 \leq 16 \Rightarrow -4 \leq y \leq 4$$。
点 $$Q$$ 满足 $$\overrightarrow{AQ} = 3 \overrightarrow{PA} = 3(-3, -y) = (-9, -3y)$$。
因此，$$Q$$ 的坐标为 $$(-9, -3y)$$，$$y \in [-4, 4]$$。
动线段 $$PQ$$ 的端点 $$P = (3, y)$$，$$Q = (-9, -3y)$$，其斜率为：
$$k = \frac{-3y - y}{-9 - 3} = \frac{-4y}{-12} = \frac{y}{3}$$
所有线段 $$PQ$$ 覆盖的区域是一个平行四边形，面积为 $$12 \times 8 = 96$$。
最终答案是：C。