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正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，点$${{G}}$$满足$$\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}={\bf0}，$$点$${{M}}$$满足$$\overrightarrow{A G}=3 \overrightarrow{A M}，$$则（）
A
A.$$\overrightarrow{B M}=\frac{7} {9} \overrightarrow{B A}+\frac{1} {9} \overrightarrow{B C}$$
B.$$\overrightarrow{B M}=\frac{7} {9} \overrightarrow{B A}+\frac{2} {9} \overrightarrow{B C}$$
C.$$\overrightarrow{B M}=\frac{2} {3} \overrightarrow{B A}+\frac{1} {6} \overrightarrow{B C}$$
D.$$\overrightarrow{B M}=-\frac{2} {3} \overrightarrow{B A}+\frac{1} {6} \overrightarrow{B C}$$
2、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率60.0%在正六边形$$A B C D E F$$中，点$${{G}}$$是线段$${{D}{E}}$$的中点，则$$\overrightarrow{F G}=$$（）
B
A.$$\frac1 3 \overrightarrow{B D}-\frac3 4 \overrightarrow{C A}$$
B.$$\frac{1} {6} \overrightarrow{B D}-\frac{2} {3} \overrightarrow{C A}$$
C.$$\frac1 2 \overrightarrow{B D}-\frac1 3 \overrightarrow{C A}$$
D.$$\frac{1} {6} \overrightarrow{B D}-\frac{3} {4} \overrightarrow{C A}$$
4、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$在边$${{A}{B}}$$上，$$B D=2 D A$$．记$$\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{m}， \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{n}$$，则$$\overrightarrow{C B}=$$（）
B
A.$$3 \overrightarrow{m}-2 \overrightarrow{n}$$
B.$$- 2 \overrightarrow{m}+3 \overrightarrow{n}$$
C.$$3 \overrightarrow{m}+2 \overrightarrow{n}$$
D.$$2 \overrightarrow{m}+3 \overrightarrow{n}$$
7、['向量的模'， '平面向量基本定理'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '向量与其他知识的综合应用']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=3， \， \， \， A C=2， \， \， \， \angle B A C=6 0^{\circ}$$，点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$内一点（含边界），若$$\overrightarrow{A P}=\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\lambda\overrightarrow{A C}，$$则$$| \overrightarrow{A P} |$$的最大值为（）
D
A.$$\frac{2 \sqrt{7}} {3}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{1 9}} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{1 3}} {3}$$
8、['平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，$${{M}}$$是$${{B}{C}}$$的中点，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}， \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{b}$$，若用$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$表示$$\overrightarrow{A M}，$$则
C
A.$$\frac1 2 ( \vec{a}-\vec{b} )$$
B.$${{a}{⃗}{−}{{b}^{⃗}}}$$
C.$$\frac{1} {2} ( \vec{a}+\vec{b} )$$
D.$${{a}{⃗}{+}{{b}^{⃗}}}$$
9、['平面向量基本定理'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，点$${{O}}$$是$${{B}{C}}$$的中点，过点$${{O}}$$的直线分别交直线$$A B， \ A C$$于不同两点$${{M}{，}{N}}$$，若$$\overrightarrow{A B}=m \overrightarrow{A M}， \， \， \， \overrightarrow{A C}=n \overrightarrow{A N}， \， \， \， m， n$$为正数，则$$\frac{1} {m}+\frac{1} {n}$$的最小值为（）
D
A.$$1+\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$$1+\frac{\sqrt2} {3}$$
C.$$1+\frac{2 \sqrt2} {3}$$
D.$${{2}}$$
10、['平面向量基本定理']正确率0.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A=\frac{\pi} {2}$$，$$A B=A C=2$$，有下述四个结论：
①若$${{G}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，则$$\overrightarrow{A G}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$；
②若$${{P}}$$为$${{B}{C}}$$边上的一个动点，则$$\overrightarrow{A P} \cdot( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} )$$为定值$${{2}}$$；
③若$${{M}}$$，$${{N}}$$为$${{B}{C}}$$边上的两个动点，且$${{M}{N}{=}{\sqrt {2}}}$$，则$$\overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{A N}$$的最小值为$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$；
④已知$${{P}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$内一点，若$${{B}{P}{=}{1}}$$，且$$\overrightarrow{A P}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{A C}$$，则$${{λ}{+}{\sqrt {3}}{μ}}$$的最大值为$${{2}{.}}$$
其中所有正确结论的编号是$${{(}{)}}$$
A
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
1. 在三角形 $$ABC$$ 中，点 $$G$$ 满足 $$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \mathbf{0}$$，说明 $$G$$ 是三角形的重心。点 $$M$$ 满足 $$\overrightarrow{AG} = 3\overrightarrow{AM}$$，即 $$M$$ 是 $$AG$$ 的三等分点。我们需要求 $$\overrightarrow{BM}$$ 的表达式。
解析步骤：
1. 重心性质：$$\overrightarrow{G} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})$$。
2. 由 $$\overrightarrow{AG} = 3\overrightarrow{AM}$$，得 $$\overrightarrow{M} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{G}$$。
3. 代入重心坐标：$$\overrightarrow{M} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C}\right) = \frac{7}{9}\overrightarrow{A} + \frac{1}{9}\overrightarrow{B} + \frac{1}{9}\overrightarrow{C}$$。
4. 计算 $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} = \frac{7}{9}\overrightarrow{A} - \frac{8}{9}\overrightarrow{B} + \frac{1}{9}\overrightarrow{C}$$。
5. 用 $$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$$ 和 $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}$$ 表示：$$\overrightarrow{BM} = \frac{7}{9}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{9}\overrightarrow{BC}$$。
因此，正确答案是 A。
2. 在正六边形 $$ABCDEF$$ 中，点 $$G$$ 是线段 $$DE$$ 的中点，求 $$\overrightarrow{FG}$$。
解析步骤：
1. 设正六边形中心为 $$O$$，边长为 $$1$$，建立坐标系：$$A(1,0)$$，$$B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，$$C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，$$D(-1,0)$$，$$E\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，$$F\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。
2. $$G$$ 是 $$DE$$ 的中点，坐标为 $$\left(-\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$$。
3. $$\overrightarrow{FG} = G - F = \left(-1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。
4. 计算 $$\overrightarrow{BD} = D - B = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ 和 $$\overrightarrow{CA} = A - C = \left(\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。
5. 设 $$\overrightarrow{FG} = x\overrightarrow{BD} + y\overrightarrow{CA}$$，解得 $$x = \frac{1}{6}$$，$$y = -\frac{2}{3}$$。
因此，正确答案是 B。
4. 在三角形 $$ABC$$ 中，点 $$D$$ 在边 $$AB$$ 上，$$BD = 2DA$$。记 $$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{m}$$，$$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{n}$$，求 $$\overrightarrow{CB}$$。
解析步骤：
1. 由 $$BD = 2DA$$，得 $$\overrightarrow{D} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{B}$$。
2. $$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = \overrightarrow{n}$$。
3. $$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = \overrightarrow{m}$$，所以 $$\overrightarrow{A} = \overrightarrow{C} + \overrightarrow{m}$$。
4. 代入 $$\overrightarrow{CD}$$ 的表达式：$$\frac{1}{3}(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{m}) + \frac{2}{3}\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = \overrightarrow{n}$$。
5. 解得 $$\overrightarrow{B} = \frac{3}{2}\overrightarrow{n} - \frac{1}{2}\overrightarrow{m} + \overrightarrow{C}$$。
6. 因此，$$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = \frac{3}{2}\overrightarrow{n} - \frac{1}{2}\overrightarrow{m}$$，即 $$3\overrightarrow{n} - 2\overrightarrow{m}$$。
因此，正确答案是 B。
7. 在三角形 $$ABC$$ 中，$$AB = 3$$，$$AC = 2$$，$$\angle BAC = 60^\circ$$，点 $$P$$ 是三角形内一点（含边界），若 $$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \lambda\overrightarrow{AC}$$，求 $$|\overrightarrow{AP}|$$ 的最大值。
解析步骤：
1. 建立坐标系：设 $$A$$ 在原点，$$AB$$ 沿 $$x$$-轴，则 $$\overrightarrow{AB} = (3,0)$$，$$\overrightarrow{AC} = (1,\sqrt{3})$$。
2. $$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}(3,0) + \lambda(1,\sqrt{3}) = (2 + \lambda, \lambda\sqrt{3})$$。
3. 点 $$P$$ 在三角形内，需满足 $$0 \leq \lambda \leq \frac{1}{3}$$（边界条件）。
4. $$|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{(2 + \lambda)^2 + 3\lambda^2} = \sqrt{4 + 4\lambda + 4\lambda^2}$$。
5. 最大值在 $$\lambda = \frac{1}{3}$$ 时取得：$$|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{4 + \frac{4}{3} + \frac{4}{9}} = \frac{2\sqrt{19}}{3}$$。
因此，正确答案是 C。
8. 在三角形 $$ABC$$ 中，$$M$$ 是 $$BC$$ 的中点，$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$$，$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}$$，用 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 表示 $$\overrightarrow{AM}$$。
解析步骤：
1. 中点公式：$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$$。
因此，正确答案是 C。
9. 在三角形 $$ABC$$ 中，点 $$O$$ 是 $$BC$$ 的中点，过点 $$O$$ 的直线分别交直线 $$AB$$、$$AC$$ 于 $$M$$、$$N$$，若 $$\overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{AM}$$，$$\overrightarrow{AC} = n\overrightarrow{AN}$$，求 $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$$ 的最小值。
解析步骤：
1. 设 $$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。
2. 直线 $$MN$$ 通过 $$O$$，设 $$\overrightarrow{MO} = k\overrightarrow{ON}$$，则 $$\overrightarrow{AO} = \frac{k\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AM}}{k + 1}$$。
3. 代入 $$\overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{AM}$$ 和 $$\overrightarrow{AC} = n\overrightarrow{AN}$$，得 $$\frac{1}{2}(m\overrightarrow{AM} + n\overrightarrow{AN}) = \frac{k\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AM}}{k + 1}$$。
4. 比较系数得 $$\frac{m}{2} = \frac{1}{k + 1}$$ 和 $$\frac{n}{2} = \frac{k}{k + 1}$$。
5. 解得 $$m = \frac{2}{k + 1}$$，$$n = \frac{2k}{k + 1}$$。
6. $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{k + 1}{2} + \frac{k + 1}{2k} = 1 + \frac{1}{2}\left(k + \frac{1}{k}\right) \geq 1 + 1 = 2$$（当 $$k = 1$$ 时取等）。
因此，正确答案是 D。
10. 在直角三角形 $$ABC$$ 中，$$\angle A = \frac{\pi}{2}$$，$$AB = AC = 2$$，判断四个结论的正确性。
解析步骤：
1. 结论①：重心 $$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$ 正确。
2. 结论②：$$\overrightarrow{AP} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$ 为定值 $$2$$ 错误（实际为 $$4$$）。
3. 结论③：$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN}$$ 的最小值为 $$\frac{3}{2}$$ 正确。
4. 结论④：$$\lambda + \sqrt{3}\mu$$ 的最大值为 $$2$$ 正确。
因此，正确答案是 B（①④正确）。