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正确率40.0%点$${{Q}}$$在$${{x}}$$轴上，若存在过$${{Q}}$$的直线交函数$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$的图象于$${{A}{，}{B}}$$两点，满足$$\overrightarrow{Q A}=\overrightarrow{A B}，$$则称点$${{Q}}$$为$${{“}{Ω}}$$点$${{”}}$$，那么下列结论中正确的是（）
B
A.$${{x}}$$轴上仅有有限个点是$${{“}{Ω}}$$点$${{”}}$$
B.$${{x}}$$轴上所有的点都是$${{“}{Ω}}$$点$${{”}}$$
C.$${{x}}$$轴上所有的点都不是$${{“}{Ω}}$$点$${{”}}$$
D.$${{x}}$$轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是$${{“}{Ω}}$$点$${{”}}$$
2、['平面向量共线的坐标表示'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{2}{+}{{s}{i}{n}}{x}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{2}{，}{{c}{o}{s}}{x}{)}{，}{{c}^{→}}{=}{(}{−}{1}{，}{2}{)}{，}{(}{{a}^{→}}{−}{{c}^{→}}{)}{/}{/}{{b}^{→}}{，}}$$则锐角$${{x}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{5}^{∘}}$$
B.$${{3}{0}^{∘}}$$
C.$${{4}{5}^{∘}}$$
D.$${{6}{0}^{∘}}$$
3、['平面向量共线的坐标表示'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%设$$\vec{a}=( \frac{3} {2}， \operatorname{s i n} \alpha)， \， \， \， \vec{b}=( \operatorname{c o s} \alpha， \frac{1} {3} )，$$且$${{a}{⃗}{{/}{/}}{{b}^{⃗}}{，}}$$则锐角$${{α}}$$为（）
D
A.$${{3}{0}^{0}}$$
B.$${{6}{0}^{0}}$$
C.$${{7}{5}^{0}}$$
D.$${{4}{5}^{0}}$$
4、['平面向量基本定理'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%下列各组向量中，能构成表示它们所在平面内所有向量的一个基底的是（）
C
A.$${{e}_{1}{=}{(}{2}{，}{2}{)}{，}{{e}_{2}}{=}{(}{1}{，}{1}{)}}$$
B.$${{e}_{1}{=}{(}{1}{，}{−}{2}{)}{，}{{e}_{2}}{=}{(}{4}{，}{−}{8}{)}}$$
C.$${{e}_{1}{=}{(}{1}{，}{0}{)}{，}{{e}_{2}}{=}{(}{0}{，}{−}{1}{)}}$$
D.$$e_{1}=( 1，-2 )， e_{2}=\left(-\frac{1} {2}， 1 \right)$$
5、['平面向量基本定理'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%下列各组向量中，可以作为基底的是（）
C
A.$${{{e}_{1}}^{→}{=}{(}{0}{，}{0}{)}{，}{{{e}_{2}}^{→}}{=}{(}{1}{，}{2}{)}}$$
B.$$\vec{e_{1}}=( 2， \ \ -3 )， \ \vec{e_{2}}=( \frac{1} {2}， \ \ -\frac{3} {4} )$$
C.$${{{e}_{1}}^{→}{=}{(}{−}{1}{，}{2}{)}{，}{{{e}_{2}}^{→}}{=}{(}{5}{，}{7}{)}}$$
D.$${{{e}_{1}}^{→}{=}{(}{3}{，}{5}{)}{，}{{{e}_{2}}^{→}}{=}{(}{6}{，}{{1}{0}}{)}}$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{2}{，}{2}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{n}{，}{1}{)}{，}}$$若向量$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}}$$是平行向量，则$${{n}{=}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
8、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知平面向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{−}{2}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{−}{2}{，}{m}{)}{，}}$$且$${{a}^{→}{/}{/}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{3}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{(}{−}{2}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{1}{{，}{−}}{2}{)}}$$
C.$${{(}{−}{1}{，}{2}{)}}$$
D.$${{(}{2}{{，}{−}}{1}{)}}$$
9、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{x}{−}{1}{，}{2}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{2}{，}{1}{)}{，}}$$则$${{a}^{→}{/}{/}{{b}^{→}}}$$时$${{x}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{0}}$$
10、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}=( 2， \ 3 )， \ \overrightarrow{B C}=( 1， \ t-3 )，$$$$\overrightarrow{A B} / / \overrightarrow{A C}$$，则$${{t}{=}}$$（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{9} {2}$$
C.$$\frac{7} {3}$$
D.$$\frac{1 1} {3}$$
1. 设点 $$Q$$ 的坐标为 $$(q, 0)$$，直线方程为 $$y = k(x - q)$$。与 $$y = 2^x$$ 联立得 $$2^x = k(x - q)$$。设交点为 $$A(x_1, 2^{x_1})$$ 和 $$B(x_2, 2^{x_2})$$，由 $$\overrightarrow{QA} = \overrightarrow{AB}$$ 得 $$B$$ 是 $$A$$ 关于 $$Q$$ 的对称点，即 $$x_2 = 2x_1 - q$$ 且 $$2^{x_2} = 2 \cdot 2^{x_1}$$。代入得 $$2^{2x_1 - q} = 2^{x_1 + 1}$$，即 $$2x_1 - q = x_1 + 1$$，解得 $$x_1 = q + 1$$。因此，$$2^{q + 1} = k(q + 1 - q) = k$$，即 $$k = 2^{q + 1}$$。直线方程为 $$y = 2^{q + 1}(x - q)$$。由于 $$y = 2^x$$ 是严格递增的，对于任意 $$q$$，总存在 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 满足条件，因此 $$x$$ 轴上所有点都是“Ω点”。正确答案是 B。
2. 向量 $$\vec{a} - \vec{c} = (1 - (-1), 2 + \sin x - 2) = (2, \sin x)$$。由 $$\vec{a} - \vec{c} \parallel \vec{b}$$，得 $$\frac{2}{2} = \frac{\sin x}{\cos x}$$，即 $$\tan x = 1$$。锐角 $$x$$ 为 $$45^\circ$$。正确答案是 C。
3. 由 $$\vec{a} \parallel \vec{b}$$，得 $$\frac{3/2}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1/3}$$，即 $$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \sin \alpha \cos \alpha$$，化简为 $$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}$$。利用 $$\sin 2\alpha = 1$$，得 $$2\alpha = 90^\circ$$，即 $$\alpha = 45^\circ$$。正确答案是 D。
4. 基底要求两个向量不共线。选项 A 中 $$e_2 = \frac{1}{2} e_1$$，共线；选项 B 中 $$e_2 = 4 e_1$$，共线；选项 D 中 $$e_2 = -\frac{1}{2} e_1$$，共线；选项 C 中 $$e_1$$ 和 $$e_2$$ 不共线，可以构成基底。正确答案是 C。
5. 基底要求两个向量不共线。选项 A 中 $$e_1$$ 为零向量，无效；选项 B 中 $$e_2 = \frac{1}{4} e_1$$，共线；选项 D 中 $$e_2 = 2 e_1$$，共线；选项 C 中 $$e_1$$ 和 $$e_2$$ 不共线，可以构成基底。正确答案是 C。
7. 向量 $$\vec{a} - \vec{b} = (2 - n, 2 - 1) = (2 - n, 1)$$。由 $$\vec{a} - \vec{b} \parallel \vec{a}$$，得 $$\frac{2 - n}{2} = \frac{1}{2}$$，解得 $$n = 1$$。正确答案是 A。
8. 由 $$\vec{a} \parallel \vec{b}$$，得 $$\frac{1}{-2} = \frac{-2}{m}$$，解得 $$m = 4$$。因此 $$\vec{b} = (-2, 4)$$，$$3\vec{a} + 2\vec{b} = 3(1, -2) + 2(-2, 4) = (3 - 4, -6 + 8) = (-1, 2)$$。正确答案是 C。
9. 由 $$\vec{a} \parallel \vec{b}$$，得 $$\frac{x - 1}{2} = \frac{2}{1}$$，解得 $$x = 5$$。正确答案是 C。
10. 向量 $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (2 + 1, 3 + t - 3) = (3, t)$$。由 $$\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}$$，得 $$\frac{2}{3} = \frac{3}{t}$$，解得 $$t = \frac{9}{2}$$。正确答案是 B。