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正确率60.0%已知$$\boldsymbol{a}=( 1， ~ 2+\operatorname{s i n} \， x )$$，$$b=( 2， ~ \operatorname{c o s} ~ x )$$，$$c=(-1， ~ 2 )$$，若$$( a-b ) / \! / c$$，则锐角$${{x}}$$等于（）
C
A.$${{1}{5}{°}}$$
B.$${{3}{0}{°}}$$
C.$${{4}{5}{°}}$$
D.$${{6}{0}{°}}$$
2、['辅助角公式'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知$${{α}}$$是锐角，$$\overrightarrow{a}=( \frac{3} {4}， \operatorname{s i n} \alpha)， \; \; \overrightarrow{b}=( \frac{\sqrt{3}} {4}， \operatorname{c o s} \alpha)$$，且$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$${{α}}$$为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$或$${{6}{0}^{∘}}$$
3、['平面向量共线的坐标表示'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$a=(-2， 1-\operatorname{c o s} \theta)， ~ b=( 1+\operatorname{c o s} \theta，-\frac{1} {4} )$$，且$${{a}{/}{/}{b}}$$，则锐角$${{θ}}$$等于 （）
A
A.$${{4}{5}^{∘}}$$
B.$${{3}{0}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$或$${{6}{0}^{∘}}$$
4、['平面向量共线的坐标表示']正确率80.0%若$$A ( 2， \ 3 )， \ B ( 3， \ a )， \ C ( 4， \ b )$$三点共线，则有（）
C
A.$$a=3， ~ b=-5$$
B.$$a-b+1=0$$
C.$$2 a-b=3$$
D.$$a-2 b=0$$
5、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%设向量$$\vec{a}=(-1， 2 )， \， \， \vec{b}=( m， 1 )，$$若$$\vec{a}+2 \vec{b}$$与$${{2}{{a}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}}$$平行，则$${{m}{=}{(}{)}}$$
B
A.$$- \frac{7} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '平面向量共线的坐标表示'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )，$$过其右焦点$${{F}}$$且平行于一条渐近线的直线$${{l}}$$与另一条渐近线交于点$${{A}{，}{l}}$$与双曲线交于点$${{B}}$$，若$$| B F |=2 | A B |$$，则双曲线的离心率为（）
B
A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
8、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '数量积的运算律'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知$$x， \， \， y \in R$$，向量$$\overrightarrow{a}=( x， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， y )， \; \; \overrightarrow{c}=( 2，-4 )，$$且$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{c}， ~ \overrightarrow{b} / / \overrightarrow{c}，$$则$${{x}{+}{y}}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
9、['向量的模'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{m}=( 1，-2 )， \; \; \overrightarrow{n}=( 3， \lambda) ( \lambda\in{\bf R} )，$$若$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$共线，则$${{|}{{n}^{→}}{|}{=}}$$（）
D
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{5}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {5}}}$$
10、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%设平面向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 2 )， \， \overrightarrow{b}=( 2， y )，$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$$\left| 2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=( \textit{} )$$
B
A.$${{3}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
1. 解析：
首先计算向量 $$a - b$$：
$$a - b = (1 - 2, (2 + \sin x) - \cos x) = (-1, 2 + \sin x - \cos x)$$
因为 $$a - b$$ 与 $$c$$ 平行，存在实数 $$k$$ 使得：
$$(-1, 2 + \sin x - \cos x) = k(-1, 2)$$
解得：
$$-1 = -k \Rightarrow k = 1$$
$$2 + \sin x - \cos x = 2 \Rightarrow \sin x - \cos x = 0 \Rightarrow \tan x = 1$$
因为 $$x$$ 是锐角，所以 $$x = 45°$$。答案为 C。
2. 解析：
因为 $$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，所以存在实数 $$k$$ 使得：
$$\left( \frac{3}{4}, \sin \alpha \right) = k \left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \cos \alpha \right)$$
解得：
$$\frac{3}{4} = k \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow k = \sqrt{3}$$
$$\sin \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt{3}$$
因为 $$\alpha$$ 是锐角，所以 $$\alpha = 60°$$。答案为 C。
3. 解析：
因为 $$a \parallel b$$，所以存在实数 $$k$$ 使得：
$$(-2, 1 - \cos \theta) = k \left( 1 + \cos \theta, -\frac{1}{4} \right)$$
解得：
$$-2 = k(1 + \cos \theta)$$
$$1 - \cos \theta = -\frac{k}{4}$$
将 $$k = -\frac{2}{1 + \cos \theta}$$ 代入第二式：
$$1 - \cos \theta = \frac{1}{2(1 + \cos \theta)}$$
整理得：
$$2(1 - \cos^2 \theta) = 1 \Rightarrow 2 \sin^2 \theta = 1 \Rightarrow \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因为 $$\theta$$ 是锐角，所以 $$\theta = 45°$$。答案为 A。
4. 解析：
因为 $$A, B, C$$ 三点共线，所以向量 $$\overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{AC}$$ 平行：
$$\overrightarrow{AB} = (1, a - 3)$$
$$\overrightarrow{AC} = (2, b - 3)$$
平行条件为：
$$1 \cdot (b - 3) = 2 \cdot (a - 3) \Rightarrow b - 3 = 2a - 6 \Rightarrow 2a - b = 3$$
答案为 C。
5. 解析：
计算 $$\vec{a} + 2\vec{b}$$ 和 $$2\vec{a} - \vec{b}$$：
$$\vec{a} + 2\vec{b} = (-1 + 2m, 2 + 2) = (2m - 1, 4)$$
$$2\vec{a} - \vec{b} = (-2 - m, 4 - 1) = (-m - 2, 3)$$
因为两者平行，所以：
$$(2m - 1) \cdot 3 = 4 \cdot (-m - 2)$$
整理得：
$$6m - 3 = -4m - 8 \Rightarrow 10m = -5 \Rightarrow m = -\frac{1}{2}$$
答案为 B。
7. 解析：
设双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，右焦点 $$F = (c, 0)$$。
直线 $$l$$ 平行于一条渐近线，斜率为 $$\frac{b}{a}$$，方程为 $$y = \frac{b}{a}(x - c)$$。
与另一条渐近线 $$y = -\frac{b}{a}x$$ 的交点 $$A$$ 满足：
$$\frac{b}{a}(x - c) = -\frac{b}{a}x \Rightarrow x = \frac{c}{2}, y = -\frac{bc}{2a}$$
与双曲线的交点 $$B$$ 满足双曲线方程和直线方程，代入后解得 $$B$$ 的坐标。
根据 $$|BF| = 2|AB|$$，利用距离公式化简可得离心率 $$e = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。答案为 A。
8. 解析：
因为 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$$，所以：
$$2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$$
因为 $$\overrightarrow{b} \parallel \overrightarrow{c}$$，所以：
$$\frac{1}{2} = \frac{y}{-4} \Rightarrow y = -2$$
因此 $$x + y = 0$$。答案为 A。
9. 解析：
因为 $$\overrightarrow{m}$$ 和 $$\overrightarrow{n}$$ 共线，所以：
$$\frac{1}{3} = \frac{-2}{\lambda} \Rightarrow \lambda = -6$$
因此 $$\overrightarrow{n} = (3, -6)$$，模长为：
$$\sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$
答案为 D。
10. 解析：
因为 $$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，所以：
$$\frac{1}{2} = \frac{2}{y} \Rightarrow y = 4$$
计算 $$2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$：
$$2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2 \cdot 1 + 2, 2 \cdot 2 + 4) = (4, 8)$$
模长为：
$$\sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$
答案为 B。