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正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}}$$为$${{A}{C}}$$的中点，$${{E}}$$为线段$${{C}{B}}$$上靠近$${{B}}$$的三等分点，则$$\overrightarrow{D E}=($$）
D
A.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {6} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {6} \overrightarrow{A C}$$
C.$$\frac{1} {6} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {6} \overrightarrow{A C}$$
7、['共线向量基本定理'， '平面向量的概念'， '平面向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率60.0%$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$为平面的一组基底向量，已知向量$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{e_{1}}-k \overrightarrow{e_{2}}， \， \， \， \overrightarrow{C B}=2 \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}， \， \， \， \overrightarrow{C D}=3 \overrightarrow{e_{1}}-3 \overrightarrow{e_{2}}，$$若$$A， ~ B， ~ D$$三点共线，则实数$${{k}}$$的值是（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{4}}$$
8、['向量加法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理'， '投影向量（投影）'， '向量的夹角']正确率60.0%下列说法中，正确的个数为$${{(}{)}}$$
$$( 1 ) \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{C O}=\overrightarrow{A B}$$；
$${{(}{2}{)}}$$已知向量$$\overrightarrow{a}=( 6， 2 )$$与$$\vec{b}=(-3， k )$$的夹角是钝角，则$${{k}}$$的取值范围是$${{k}{<}{0}}$$；
$${{(}{3}{)}}$$向量$$\overrightarrow{e_{1}}=( 2，-3 )， \overrightarrow{e_{2}}=( \frac{1} {2}，-\frac{3} {4} )$$不能作为平面内所有向量的一组基底；
$${{(}{4}{)}}$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$上的投影为$${{|}{{a}^{→}}{|}}$$．
B
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
10、['平面向量基本定理']正确率80.0%若$${{{e}_{1}}^{→}}$$，$${{{e}_{2}}^{→}}$$是平面$${{α}}$$内的一组基底，则下列四组向量能作为平面$${{α}}$$的一组基底的是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{{e}_{1}}^{→}{−}{{{e}_{2}}^{→}}}$$，$${{{e}_{2}}^{→}{−}{{{e}_{1}}^{→}}}$$
B.$${{{e}_{1}}^{→}{+}{{{e}_{2}}^{→}}}$$，$${{{e}_{1}}^{→}{−}{{{e}_{2}}^{→}}}$$
C.$$2 \vec{e_{2}}-3 \vec{e_{1}}$$，$$- 6 \vec{e_{1}}+4 \vec{e_{2}}$$
D.$${{2}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{{{e}_{2}}^{→}}}$$，$$\vec{e_{1}}+\frac{1} {2} \vec{e_{2}}$$
6. 解析：
在三角形 $$ABC$$ 中，设 $$A$$ 为坐标原点，$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{u}$$，$$\overrightarrow{AC} = \mathbf{v}$$。
1. $$D$$ 是 $$AC$$ 的中点，故 $$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{v}$$，$$\overrightarrow{DC} = \frac{1}{2}\mathbf{v}$$。
2. $$E$$ 是 $$CB$$ 上靠近 $$B$$ 的三等分点，故 $$\overrightarrow{CE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$$。
3. $$\overrightarrow{CB} = \mathbf{u} - \mathbf{v}$$，因此 $$\overrightarrow{CE} = \frac{2}{3}(\mathbf{u} - \mathbf{v})$$。
4. $$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE} = \frac{1}{2}\mathbf{v} + \frac{2}{3}(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = \frac{2}{3}\mathbf{u} - \frac{1}{6}\mathbf{v}$$。
5. 用 $$\overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{AC}$$ 表示，即 $$\overrightarrow{DE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$$。
正确答案是 D。
7. 解析：
1. 由题意，$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{e_1} - k\mathbf{e_2}$$，$$\overrightarrow{CB} = 2\mathbf{e_1} + \mathbf{e_2}$$，$$\overrightarrow{CD} = 3\mathbf{e_1} - 3\mathbf{e_2}$$。
2. 因为 $$A, B, D$$ 三点共线，所以 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\overrightarrow{BD}$$ 共线。
3. 计算 $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB} = (3\mathbf{e_1} - 3\mathbf{e_2}) - (2\mathbf{e_1} + \mathbf{e_2}) = \mathbf{e_1} - 4\mathbf{e_2}$$。
4. 设 $$\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{BD}$$，即 $$\mathbf{e_1} - k\mathbf{e_2} = \lambda (\mathbf{e_1} - 4\mathbf{e_2})$$。
5. 解得 $$\lambda = 1$$，$$-k = -4$$，故 $$k = 4$$。
正确答案是 D。
8. 解析：
逐条分析：
(1) $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CO}) + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AB}$$，正确。
(2) 向量 $$\mathbf{a} = (6, 2)$$ 与 $$\mathbf{b} = (-3, k)$$ 的夹角为钝角，需满足 $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$$ 且不共线。计算得 $$6 \times (-3) + 2 \times k < 0$$，即 $$k < 9$$，且 $$k \neq -1$$（共线条件）。题目中 $$k < 0$$ 不全面，错误。
(3) 向量 $$\mathbf{e_1} = (2, -3)$$ 和 $$\mathbf{e_2} = \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$$ 满足 $$2 \times (-\frac{3}{4}) - (-3) \times \frac{1}{2} = 0$$，即共线，不能作为基底，正确。
(4) 若 $$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$$，则 $$\mathbf{a}$$ 在 $$\mathbf{b}$$ 上的投影为 $$\pm |\mathbf{a}|$$，而非 $$|\mathbf{a}|$$，错误。
综上，(1)(3) 正确，共 2 个。
正确答案是 B。
10. 解析：
基底要求两个向量不共线。
A: $$\mathbf{e_1} - \mathbf{e_2}$$ 和 $$\mathbf{e_2} - \mathbf{e_1}$$ 共线（互为相反数），不符合。
B: $$\mathbf{e_1} + \mathbf{e_2}$$ 和 $$\mathbf{e_1} - \mathbf{e_2}$$ 不共线，可以作为基底。
C: $$2\mathbf{e_2} - 3\mathbf{e_1}$$ 和 $$-6\mathbf{e_1} + 4\mathbf{e_2}$$ 满足 $$(2\mathbf{e_2} - 3\mathbf{e_1}) \times 2 = -6\mathbf{e_1} + 4\mathbf{e_2}$$，共线，不符合。
D: $$2\mathbf{e_1} + \mathbf{e_2}$$ 和 $$\mathbf{e_1} + \frac{1}{2}\mathbf{e_2}$$ 满足 $$2\mathbf{e_1} + \mathbf{e_2} = 2(\mathbf{e_1} + \frac{1}{2}\mathbf{e_2})$$，共线，不符合。
正确答案是 B。