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正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2， 1 )$$，$$\vec{b}=( 2 \operatorname{c o s} \alpha， \operatorname{s i n} \alpha)$$且$$\alpha\in( 0， \pi)$$，若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$，则$${{α}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
2、['平面向量基本定理'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%下列各组向量中，可以构成一个基底的是（）
D
A.$$\boldsymbol{e}_{1}=( 0， ~ 0 )， ~ \boldsymbol{e}_{2}=( 1， ~-2 )$$
B.$$\boldsymbol{e}_{1}=( 1， \ 2 )， \ \boldsymbol{e}_{2}=(-1， \ -2 )$$
C.$$\boldsymbol{e}_{1}=( 2， \enskip3 )， \ \boldsymbol{e}_{2}=( 4， \6 )$$
D.$$\boldsymbol{e}_{1}=( 1， \enskip3 )， \enskip\boldsymbol{e}_{2}=( 2， \enskip-1 )$$
3、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%若向量$$\boldsymbol{a}=( 3， \ 4 )，$$且存在唯一实数$${{x}{，}{y}{，}}$$使得$$\boldsymbol{a}=x \boldsymbol{e}_{1}+y \boldsymbol{e}_{2}，$$则$${{e}_{1}{，}{{e}_{2}}}$$可以是（）
C
A.$$\boldsymbol{e}_{1}=( 0， ~ 0 )， ~ \boldsymbol{e}_{2}=(-1， ~ 2 )$$
B.$$\boldsymbol{e}_{1}=(-1， \enskip3 )， \enskip\boldsymbol{e}_{2}=( 2， \enskip-6 )$$
C.$$\boldsymbol{e}_{1}=(-1， \ 2 )， \ \boldsymbol{e}_{2}=( 3， \ -1 )$$
D.$$\boldsymbol{e}_{1}=\left(-\frac{1} {2}， \ 1 \right)， \ \boldsymbol{e}_{2}=(-1， \ 2 )$$
4、['平面向量共线的坐标表示']正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=(-1， 2 )， \boldsymbol{b}=( 2， m )，$$若$$\mathbf{a} / / \mathbf{b}，$$则$${{m}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{4}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{4}}$$
5、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%关于平面向量
下列判断中正确的是（）
C
A.若$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{c}，$$则$${{b}^{→}{=}{{c}^{→}}}$$
B.若$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ k ) \， \，， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( \ -2， \ 6 ) \， \，， \， \， \， \overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$$k=\frac{1} {3}$$
C.$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=0$$
D.若$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$是单位向量，则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=1$$
6、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量共线的坐标表示']正确率40.0%已知向量$$\vec{\bf a}=( {\bf1}， {\bf2} )， \; \; \vec{\bf b}=( {\bf2}， {\bf-3} ).$$若向量$${{c}^{→}}$$满足$$\overrightarrow{{\bf c}} \perp( \overrightarrow{{\bf a}}+\overrightarrow{{\bf b}} )，$$且$$\vec{\bf b} \parallel( \overrightarrow{{\bf a}}-\overrightarrow{{\bf c}} )，$$则$${{c}^{→}{=}{（}}$$）
A
A.$$( \frac{7} {9}， \frac{7} {3} )$$
B.$$(-\frac{7} {9}， \frac{7} {3} )$$
C.$$( \frac{7} {9}，-\frac{7} {3} )$$
D.$$(-\frac{7} {9}，-\frac{7} {3} )$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2， 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=( n， 1 )，$$若向量$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}}$$是平行向量，则$${{n}{=}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
8、['向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%svg异常
A
A.$$\left( \frac{1 0} {3}，+\infty\right)$$
B.$$[ \frac{1 0} {3}，+\infty)$$
C.$$(-\infty， \frac{1 0} {3} )$$
D.$$\left(-\infty， \frac{1 0} {3} \right]$$
9、['向量的模'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=( 1， 2 )， \， \， \， \vec{b}=(-2， m )，$$若$$\vec{a} / / \vec{b}，$$则$${{|}{{b}^{⃗}}{|}{=}}$$（）
C
A.$${\sqrt {{6}{5}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{5}}$$
10、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{m}=( a，-2 )， \; \; \overrightarrow{n}=( 1， 1-a )，$$且$$\overrightarrow{m} / / \overrightarrow{n}，$$则$${{a}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{2}}$$或$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
1. 解析：
向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 平行，则存在实数 $$k$$ 使得 $$\overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a}$$，即：
$$(2 \cos \alpha, \sin \alpha) = k (2, 1)$$
解得：
$$2 \cos \alpha = 2k \quad \text{且} \quad \sin \alpha = k$$
代入得 $$\cos \alpha = \sin \alpha$$，即 $$\tan \alpha = 1$$。由于 $$\alpha \in (0, \pi)$$，故 $$\alpha = \frac{\pi}{4}$$ 或 $$\frac{3\pi}{4}$$。
但 $$\alpha = \frac{3\pi}{4}$$ 时，$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$，此时 $$k = \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，但 $$2 \cos \alpha = -\sqrt{2} \neq 2k = \sqrt{2}$$，矛盾。因此唯一解为 $$\alpha = \frac{\pi}{4}$$，选 A。
2. 解析：
基底要求两个向量不共线（即不成比例关系）。
A 选项中 $$\boldsymbol{e}_1 = (0, 0)$$ 为零向量，不能构成基底；
B 选项中 $$\boldsymbol{e}_2 = -\boldsymbol{e}_1$$，共线；
C 选项中 $$\boldsymbol{e}_2 = 2 \boldsymbol{e}_1$$，共线；
D 选项中 $$\boldsymbol{e}_1$$ 和 $$\boldsymbol{e}_2$$ 不成比例，可以构成基底，选 D。
3. 解析：
要使 $$\boldsymbol{a} = x \boldsymbol{e}_1 + y \boldsymbol{e}_2$$ 有唯一解，$$\boldsymbol{e}_1$$ 和 $$\boldsymbol{e}_2$$ 必须不共线（即行列式不为零）。
计算各选项的行列式：
A：$$\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$$（共线）；
B：$$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -6 \end{vmatrix} = 0$$（共线）；
C：$$\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5 \neq 0$$（不共线）；
D：$$\begin{vmatrix} -\frac{1}{2} & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1 + 1 = 0$$（共线）。
只有 C 选项满足条件，选 C。
4. 解析：
向量 $$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{b}$$ 平行，则对应分量成比例：
$$\frac{-1}{2} = \frac{2}{m}$$
解得 $$m = -4$$，选 A。
5. 解析：
A 错误，例如 $$\overrightarrow{b}$$ 和 $$\overrightarrow{c}$$ 可以垂直于 $$\overrightarrow{a}$$ 且不相等；
B 错误，由平行条件 $$\frac{1}{-2} = \frac{k}{6}$$ 得 $$k = -3$$；
C 正确，$$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$ 平方后化简得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$；
D 错误，单位向量的点积为 $$\cos \theta$$，不一定为 1。
选 C。
6. 解析：
设 $$\overrightarrow{c} = (x, y)$$，由条件：
1. $$\overrightarrow{c} \perp (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$$：$$(x, y) \cdot (3, -1) = 0 \Rightarrow 3x - y = 0$$；
2. $$\overrightarrow{b} \parallel (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c})$$：$$\frac{2}{1 - x} = \frac{-3}{2 - y}$$，结合 $$y = 3x$$ 解得 $$x = \frac{7}{9}$$，$$y = \frac{7}{3}$$。
因此 $$\overrightarrow{c} = \left( \frac{7}{9}, \frac{7}{3} \right)$$，选 A。
7. 解析：
$$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2 - n, 1)$$ 与 $$\overrightarrow{a} = (2, 2)$$ 平行，则：
$$\frac{2 - n}{2} = \frac{1}{2}$$
解得 $$n = 1$$，选 A。
8. 解析：
题目不完整，无法解析。
9. 解析：
向量 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$\overrightarrow{b}$$ 平行，则：
$$\frac{1}{-2} = \frac{2}{m}$$
解得 $$m = -4$$，故 $$\overrightarrow{b} = (-2, -4)$$，模长为 $$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = 2\sqrt{5}$$，选 C。
10. 解析：
向量 $$\overrightarrow{m}$$ 和 $$\overrightarrow{n}$$ 平行，则：
$$\frac{a}{1} = \frac{-2}{1 - a}$$
解得 $$a(1 - a) = -2$$，即 $$a^2 - a - 2 = 0$$，故 $$a = 2$$ 或 $$a = -1$$，选 B。