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正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=\left( \operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {6} \right)， \ 1 \right)，$$$$b=( 4， ~ 4 \operatorname{c o s} \alpha-\sqrt{3} )，$$若$${{a}{⊥}{b}{，}}$$则$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{4 \pi} {3} \right)$$等于（）
B
A.$$- \frac{\sqrt{3}} {4}$$
B.$$- \frac{1} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
2、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \lambda+2， \ \lambda) \， \， \，， \， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( \lambda， \ 1 ) \， \， \，，$$若$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则实数$${{λ}}$$的值为（）
B
A.$${{0}}$$或$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$或$${{0}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{3}}$$
3、['平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=\left( m-1，-3 \right)， \vec{b}=\left( m， 2 \right)，$$若$$\vec{a} \perp\vec{b}，$$则实数$${{m}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{2}}$$或$${{3}}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$${{2}}$$或$${{−}{3}}$$
D.$${{3}}$$
4、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{2}， \， \， \， | \overrightarrow{b} |=2， \， \， \， ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \perp\overrightarrow{a}$$，则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
C
A.$$\frac{5 \pi} {1 2}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
5、['双曲线的离心率'， '一元二次方程的解集'， '双曲线的渐近线'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知双曲线$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右顶点为$${{A}}$$，抛物线$$C_{\colon} \; y^{2}=1 6 a x$$的焦点为$${{F}}$$，若在$${{E}}$$的渐近线上存在点$${{P}}$$，使得$$P A \perp P F$$，则$${{E}}$$的离心率的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 1， 2 )$$
B.$$( 1， \frac{5} {4} ]$$
C.$$( 2，+\infty)$$
D.$$[ \frac{5} {4}，+\infty)$$
6、['向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的夹角']正确率60.0%设向量$$\overrightarrow{a}=\left( x， 1 \right)， \， \overrightarrow{b}=\left( 1，-\sqrt{3} \right)，$$且$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则向量$$\overrightarrow{a}-\sqrt{3} \overrightarrow{b}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
7、['向量的模'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%设$${{x}{∈}{R}}$$，向量$$\overrightarrow{a}=( x， 1 )， \overrightarrow{b}=( 1，-2 )，$$且$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$${{|}{{a}^{→}}{{|}{=}}{（}}$$）
A
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
8、['数量积的性质'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的夹角']正确率60.0%若$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$是非零向量且满足$$( \vec{a}-2 \vec{b} ) \perp\vec{a}， \， \， \， ( \vec{b}-2 \vec{a} ) \perp\vec{b}$$，则$${{a}{⃗}}$$与$${{b}^{⃗}}$$的夹角是（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
9、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知平面向量$$\vec{a}=(-2， m )， \vec{b}=( 1， \sqrt{3} ) \mathbb{H} ( \vec{a}-\vec{b} ) \perp\vec{b}，$$则实数$${{m}}$$的值为
B
A.$${{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
10、['向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%若$$\overrightarrow{a}=\left( 0， \ 1， \right.-1 )， \ \overrightarrow{b}=\left( 1， \ 1， \ 0 \right)，$$且$$\left( \overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b} \right) \perp\overrightarrow{a}，$$则实数$${{λ}}$$的值是
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
1. 解析：
由向量垂直条件 $$a \perp b$$，得点积为零：
$$4 \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) + 1 \cdot (4 \cos \alpha - \sqrt{3}) = 0$$
展开并整理：
$$4 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} + 4 \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6} + 4 \cos \alpha - \sqrt{3} = 0$$
$$2\sqrt{3} \sin \alpha + 2 \cos \alpha + 4 \cos \alpha - \sqrt{3} = 0$$
$$2\sqrt{3} \sin \alpha + 6 \cos \alpha = \sqrt{3}$$
两边除以 $$2\sqrt{3}$$：
$$\sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha = \frac{1}{2}$$
利用和角公式：
$$2 \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$$
求 $$\sin\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right)$$：
$$\alpha + \frac{4\pi}{3} = \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \pi$$
由正弦性质：
$$\sin\left(\alpha + \frac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{4}$$
故选 B。
2. 解析：
由向量垂直条件 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，得点积为零：
$$(\lambda + 2) \cdot \lambda + \lambda \cdot 1 = 0$$
展开并整理：
$$\lambda^2 + 2\lambda + \lambda = 0$$
$$\lambda^2 + 3\lambda = 0$$
解得 $$\lambda = 0$$ 或 $$\lambda = -3$$。
故选 B。
3. 解析：
由向量垂直条件 $$\vec{a} \perp \vec{b}$$，得点积为零：
$$(m - 1) \cdot m + (-3) \cdot 2 = 0$$
展开并整理：
$$m^2 - m - 6 = 0$$
解得 $$m = 3$$ 或 $$m = -2$$。
故选 A。
4. 解析：
由 $$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{a}$$，得点积为零：
$$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = 0$$
展开：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = 0$$
即 $$|\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$
代入已知 $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2}$$：
$$2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2$$
设夹角为 $$\theta$$，则：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
故 $$\theta = \frac{\pi}{4}$$。
故选 C。
5. 解析：
双曲线 $$E$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，右顶点 $$A(a, 0)$$，抛物线 $$C$$ 的焦点 $$F(4a, 0)$$。
设点 $$P$$ 在渐近线上，坐标为 $$(x, \frac{b}{a}x)$$。
由 $$PA \perp PF$$，得向量 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PF} = 0$$：
$$(a - x)(4a - x) + \left(-\frac{b}{a}x\right)\left(-\frac{b}{a}x\right) = 0$$
展开并整理：
$$x^2 - 5a x + 4a^2 + \frac{b^2}{a^2}x^2 = 0$$
合并同类项：
$$\left(1 + \frac{b^2}{a^2}\right)x^2 - 5a x + 4a^2 = 0$$
判别式 $$\Delta \geq 0$$ 保证有解：
$$25a^2 - 16a^2 \left(1 + \frac{b^2}{a^2}\right) \geq 0$$
化简得：
$$9a^2 - 16b^2 \geq 0$$
$$\frac{b^2}{a^2} \leq \frac{9}{16}$$
由离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$，得：
$$1 < e \leq \frac{5}{4}$$。
故选 B。
6. 解析：
由 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，得点积为零：
$$x \cdot 1 + 1 \cdot (-\sqrt{3}) = 0$$
解得 $$x = \sqrt{3}$$。
故 $$\overrightarrow{a} = (\sqrt{3}, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, -\sqrt{3})$$。
计算 $$\overrightarrow{a} - \sqrt{3} \overrightarrow{b} = (\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1, 1 - \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3})) = (0, 4)$$。
设夹角为 $$\theta$$，则：
$$\cos \theta = \frac{(\overrightarrow{a} - \sqrt{3} \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a} - \sqrt{3} \overrightarrow{b}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{0 \cdot 1 + 4 \cdot (-\sqrt{3})}{4 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
故 $$\theta = \frac{5\pi}{6}$$。
故选 D。
7. 解析：
由 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，得点积为零：
$$x \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 0$$
解得 $$x = 2$$。
故 $$\overrightarrow{a} = (2, 1)$$，其模长为：
$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$。
故选 A。
8. 解析：
由 $$(\vec{a} - 2\vec{b}) \perp \vec{a}$$，得点积为零：
$$\vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{a} = 0$$
即 $$|\vec{a}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{b}$$。
由 $$(\vec{b} - 2\vec{a}) \perp \vec{b}$$，得点积为零：
$$\vec{b} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$
即 $$|\vec{b}|^2 = 2\vec{a} \cdot \vec{b}$$。
联立得 $$|\vec{a}| = |\vec{b}|$$。
设夹角为 $$\theta$$，则：
$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|^2 / 2}{|\vec{a}|^2} = \frac{1}{2}$$
故 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$。
故选 B。
9. 解析：
由 $$(\vec{a} - \vec{b}) \perp \vec{b}$$，得点积为零：
$$(-2 - 1)(1) + (m - \sqrt{3})(\sqrt{3}) = 0$$
展开并整理：
$$-3 + \sqrt{3}m - 3 = 0$$
$$\sqrt{3}m = 6$$
$$m = 2\sqrt{3}$$。
故选 B。
10. 解析：
由 $$(\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{a}$$，得点积为零：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = 0$$
计算 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 2$$，
$$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) = 1$$。
代入得：
$$2 + \lambda \cdot 1 = 0$$
解得 $$\lambda = -2$$。
故选 D。