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正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a} \ =\ ( \ \cos x， \ \sqrt{3} \sin x ) \， \ \overrightarrow{b} \ =\ ( \ \sin x， \ \sin x ) \ \，， \ \ f ( x ) \ =\ \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} \，，$$当$$x \in[ 0， \ \frac{\pi} {2} ]$$时，函数$$y=f ~ ( x ) ~-k$$有两个零点，则$${{k}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ \sqrt{3}-1， ~ \sqrt{3} )$$
B.$$[ \frac{\sqrt{3}} {2}， \ 1 )$$
C.$$[ \frac{\sqrt3} 2， ~ 1+\frac{\sqrt3} 2 )$$
D.$$[ \sqrt{3}， \ 1+\frac{\sqrt{3}} {2} )$$
2、['函数的最大(小)值'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律'， '辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%svg异常
C
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
3、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%若$$a=( 1，-1 )， \， \， a-b=( 2， 1 )$$，则$$| b |=( \textsubscript{)}$$
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
4、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%已知等腰梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B / \! / D C， \， \， \， C D=2 A B=4， \， \， \， \angle A={\frac{2 \pi} {3}}$$，向量$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}}$$满足$$\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{a}， \， \， \， \overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，$$则下列式子不正确的是（）
D
A.$$| \overrightarrow{b} |=2$$
B.$$| 2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=2 \sqrt{3}$$
C.$$2 \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=-2$$
D.$$\overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )=1$$
5、['向量坐标与向量的数量积'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%若点$${{O}}$$和点$$F (-2， 0 )$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-y^{2}=1 ( a > 0 )$$的中心和左焦点，点$${{P}}$$为双曲线右支上的任意一点，则$$\overrightarrow{O P} \cdot\overrightarrow{F P}$$的取值范围为（）
A
A.$$[ 3+2 \sqrt{3}，+\infty)$$
B.$$[ 3-2 \sqrt{3}，+\infty)$$
C.$$[ \frac{7} {4}，+\infty)$$
D.$$[-\frac{7} {4}，+\infty)$$
6、['复平面内的点、复数及平面向量'， '向量坐标与向量的数量积'， '复数的乘法'， '复数的除法']正确率60.0%设复数$$z_{1}=\frac{\mathrm{i}} {1+\mathrm{i}}， \， \， z_{2}=z_{1} \mathrm{i}， \， \， z_{1}， z_{2}$$在复平面内对应的向量分别为$$\overrightarrow{O P}， \， \， \overrightarrow{O Q} ( O$$为原点)，则$$\overrightarrow{O P} \cdot\overrightarrow{O Q}=$$（）
B
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$${{0}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( \sqrt{3}， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 0，-1 )， \; \; \overrightarrow{c}=( k， \sqrt{3} )，$$若$$( \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b} ) \bot\overrightarrow{c}$$，则$${{k}}$$等于（）
C
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{1}}$$
8、['向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角']正确率60.0%设$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ \sqrt{3} ) \， \，， \， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( 1， \ 0 ) \， \， \，， \， \， \， \， \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b} \，.$$若$$\overrightarrow{b} \perp\overrightarrow{c}，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{c}^{→}}$$的夹角为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
9、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle C=9 0^{\circ}， \ \overrightarrow{A B}=( k， 1 )， \overrightarrow{A C}=( 2， 3 )$$，则角$${{A}}$$的大小为 （）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.与$${{k}}$$有关
10、['数量积的性质'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， \; \; x )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2， \; \;-4 )$$，若$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为锐角，则实数$${{x}}$$的取值范围为（）
C
A.$$\{x | x < \frac{1} {2} \}$$
B.$$\{x | x > \frac{1} {2} \}$$
C.$$\{x | x < \frac{1} {2} \ss x \neq-2 \}$$
D.$$\{x | x > \frac{1} {2} \ss x \neq2 \}$$
1. 首先计算点积 $$f(x) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \cos x \sin x + \sqrt{3} \sin^2 x$$。利用三角恒等式化简：
$$f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x + \sqrt{3} \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
进一步化为单一三角函数形式：
$$f(x) = \sin \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
当 $$x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$$ 时，$$2x - \frac{\pi}{3} \in \left[ -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right]$$，因此 $$f(x)$$ 的取值范围为 $$\left[ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \left[ 0, 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right]$$。
函数 $$y = f(x) - k$$ 有两个零点，即 $$f(x) = k$$ 有两个解，因此 $$k$$ 的取值范围为 $$\left[ \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$，对应选项 B。
3. 由题意，$$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = (1, -1) - (2, 1) = (-1, -2)$$。
计算模长：$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$$，对应选项 B。
4. 建立坐标系，设点 $$A(0, 0)$$，$$B(2, 0)$$，$$D(0, 2\sqrt{3})$$（因为 $$\angle A = \frac{2\pi}{3}$$，高为 $$2\sqrt{3}$$）。
由 $$CD = 4$$ 且 $$AB \parallel CD$$，得 $$C(4, 2\sqrt{3})$$。
根据题意：
$$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{a} = (0, 2\sqrt{3}) \Rightarrow \overrightarrow{a} = (0, \sqrt{3})$$
$$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2, 2\sqrt{3}) \Rightarrow \overrightarrow{b} = (2, 0)$$
验证选项：
A. $$|\overrightarrow{b}| = 2$$（正确）
B. $$|2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = |(-2, 2\sqrt{3})| = \sqrt{4 + 12} = 4 \neq 2\sqrt{3}$$（错误）
C. $$2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2(0 \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 0) = 0 \neq -2$$（错误）
D. $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = (0, \sqrt{3}) \cdot (2, \sqrt{3}) = 3 \neq 1$$（错误）
题目要求选择不正确的选项，因此选项 B 符合题意。
5. 双曲线标准方程为 $$\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$$，左焦点 $$F(-2, 0)$$，因此 $$c = 2$$，$$a^2 + 1 = 4 \Rightarrow a = \sqrt{3}$$。
设点 $$P(x, y)$$ 在右支上，满足 $$\frac{x^2}{3} - y^2 = 1$$ 且 $$x \geq \sqrt{3}$$。
计算点积：
$$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} = x(x + 2) + y^2 = x^2 + 2x + y^2$$
由双曲线方程得 $$y^2 = \frac{x^2}{3} - 1$$，代入得：
$$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} = x^2 + 2x + \frac{x^2}{3} - 1 = \frac{4x^2}{3} + 2x - 1$$
设 $$f(x) = \frac{4x^2}{3} + 2x - 1$$，在 $$x \geq \sqrt{3}$$ 时单调递增，最小值为 $$f(\sqrt{3}) = 3 + 2\sqrt{3}$$。
因此取值范围为 $$\left[ 3 + 2\sqrt{3}, +\infty \right)$$，对应选项 A。
6. 计算复数：
$$z_1 = \frac{i}{1 + i} = \frac{i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$$
$$z_2 = z_1 i = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \right) i = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$$
向量点积：
$$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \cdot \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$$
对应选项 B。
7. 计算 $$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (\sqrt{3}, 1) - 2(0, -1) = (\sqrt{3}, 3)$$。
由垂直条件：
$$(\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = \sqrt{3}k + 3\sqrt{3} = 0 \Rightarrow k = -3$$
对应选项 C。
8. 由 $$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$$ 得：
$$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = (1, 0) \cdot (1 + k, \sqrt{3}) = 1 + k = 0 \Rightarrow k = -1$$
因此 $$\overrightarrow{c} = (0, \sqrt{3})$$。
计算夹角：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{c}|} = \frac{1 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
故 $$\theta = \frac{\pi}{6}$$，对应选项 A。
9. 由直角条件 $$\angle C = 90^\circ$$，$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}$$，但直接计算角 $$A$$ 更方便：
$$\cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{2k + 3}{\sqrt{k^2 + 1} \cdot \sqrt{13}}$$
题目未给出具体 $$k$$ 值，因此角 $$A$$ 的大小与 $$k$$ 有关，对应选项 D。
10. 夹角为锐角的条件为 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} > 0$$ 且不共线：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 2 + x \cdot (-4) = 2 - 4x > 0 \Rightarrow x < \frac{1}{2}$$
不共线条件：$$\frac{1}{2} \neq \frac{x}{-4} \Rightarrow x \neq -2$$
因此 $$x$$ 的取值范围为 $$\{x | x < \frac{1}{2} \text{且} x \neq -2\}$$，对应选项 C。