.jpg)
正确率19.999999999999996%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}{、}{B}{、}{C}}$$的对边分别为$${{a}{、}{b}{、}{c}{，}{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$内一点，若分别
满足下列四个条件：
$$\oplus\overrightarrow{a O A}+b \overrightarrow{O B}+c \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$$
$$\oplus\ \operatorname{t a n} A \cdot\overrightarrow{O A}+\operatorname{t a n} B \cdot\overrightarrow{O B}+\operatorname{t a n} C \cdot\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$$
$$\oplus\ \operatorname{s i n} 2 A \cdot\overrightarrow{O A}+\operatorname{s i n} 2 B \cdot\overrightarrow{O B}+\operatorname{s i n} 2 C \cdot\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$$
$$\oplus\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$$
则点$${{O}}$$分别为$${{△}{A}{B}{C}}$$的（）
D
A.外心$${、}$$内心$${、}$$垂心$${、}$$重心
B.内心$${、}$$外心$${、}$$垂心$${、}$$重心
C.垂心$${、}$$内心$${、}$$重心$${、}$$外心
D.内心$${、}$$垂心$${、}$$外心$${、}$$重心
2、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量基本定理']正确率60.0%已知$${{i}{，}{j}}$$是两个正交单位向量，若向量$${{a}{=}{−}{3}{i}{+}{4}{j}{，}{b}{=}{−}{8}{i}{−}{6}{j}{，}}$$则（）
D
A.$${{|}{a}{|}{>}{|}{b}{|}}$$
B.$${{a}{，}{b}}$$方向相同
C.$${{a}{，}{b}}$$方向相反
D.$${{|}{a}{|}{<}{|}{b}{|}}$$
3、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%若$${{\{}{α}{，}{β}{\}}}$$是一组基底，向量$${{γ}{=}{x}{α}{+}{y}{β}{(}{x}{，}{y}{∈}{R}{)}{，}}$$则称$${{(}{x}{，}{y}{)}}$$为向量$${{γ}}$$在基底$${{\{}{{α}{，}{β}}{\}}}$$下的坐标.已知$${{p}{=}{(}{1}{，}{−}{1}{)}{，}{q}{=}{(}{2}{，}{1}{)}{，}}$$$${{m}{=}{(}{−}{1}{，}{1}{)}{，}{n}{=}{(}{1}{，}{2}{)}{，}}$$若向量$${{a}}$$在一组基底$${{\{}{{p}{，}{q}}{\}}}$$下的坐标为$${{(}{−}{2}{，}{2}{)}{，}}$$则向量$${{a}}$$在另一组基底$${{\{}{{m}{，}{n}}{\}}}$$下的坐标为（）
D
A.$${{(}{2}{，}{0}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{−}{2}{)}}$$
C.$${{(}{−}{2}{，}{0}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$
4、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量共线的坐标表示'， '相反向量']正确率80.0%已知向量$${{a}{=}{(}{−}{3}{，}{4}{)}{，}}$$则与$${{a}}$$方向相反的单位向量是（）
C
A.$$\left( \frac{3} {5}， \enspace\frac{4} {5} \right)$$
B.$$\left(-\frac{3} {5}， \ \frac{4} {5} \right)$$
C.$$\left( \frac{3} {5}， ~-\frac{4} {5} \right)$$
D.$$\left(-\frac{3} {5}， ~-\frac{4} {5} \right)$$
5、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算']正确率80.0%设$${{i}{，}{j}}$$是平面直角坐标系内分别与$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴正方向同向的单位向量$${，{O}}$$为坐标原点，若$$\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{i}+2 \boldsymbol{j}， \: \: \overrightarrow{O B}=2 \boldsymbol{i}+4 \boldsymbol{j}，$$则$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$$的坐标是（）
C
A.$${{(}{8}{，}{{1}{1}}{)}}$$
B.$${{(}{9}{，}{{1}{4}}{)}}$$
C.$${{(}{3}{，}{6}{)}}$$
D.$${{(}{−}{5}{，}{−}{2}{)}}$$
6、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知$${{A}{(}{1}{，}{−}{1}{)}{，}{B}{(}{2}{，}{2}{)}{，}{C}{(}{3}{，}{0}{)}{，}}$$点$${{D}}$$满足$${{C}{D}{⊥}{A}{B}{，}}$$且$${{C}{B}{/}{/}{A}{D}{，}}$$则点$${{D}}$$的坐标是（）
D
A.$${{(}{1}{，}{0}{)}}$$
B.$${{(}{−}{1}{，}{0}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{−}{1}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
7、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量坐标与向量的数量积'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率40.0%在直角梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，已知$${{A}{B}{/}{/}{D}{C}{，}{A}{B}{⊥}{A}{D}{，}{A}{B}{=}{2}{，}{B}{C}{=}{1}{，}{∠}{A}{B}{C}{=}{{6}{0}^{∘}}}$$，点$${{E}}$$和点$${{F}}$$分别在线段$${{B}{C}}$$和$${{C}{D}}$$上，且$$\overrightarrow{B E}=\frac{1} {2} \overrightarrow{B C}， \， \， \， \overrightarrow{D F}=\frac{1} {3} \overrightarrow{D C}，$$则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{A F}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{5} {2}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$\frac{5} {4}$$
D.$${{1}}$$
8、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量的概念']正确率60.0%已知$${{i}{，}{j}}$$分别为与$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴方向相同的单位向量$${，{O}}$$为坐标原点，若$$\overrightarrow{O A}=3 i-j.$$点$${{B}}$$的坐标为$$( 1， ~ 3 )， ~ \overrightarrow{O C}$$是$$\overrightarrow{A B}$$的相等向量，则点$${{C}}$$的坐标为
（）
A
A.$${{(}{−}{2}{，}{4}{)}}$$
B.$${{(}{2}{，}{−}{4}{)}}$$
C.$${{(}{4}{，}{2}{)}}$$
D.$${{(}{2}{，}{0}{)}}$$
10、['平面向量的正交分解和坐标表示']正确率60.0%已知$${{A}{(}{1}{，}{0}{)}{，}{B}{(}{2}{，}{4}{)}}$$，则$$\overrightarrow{A B}=($$）
D
A.$${{(}{−}{1}{，}{4}{)}}$$
B.$${{(}{1}{{，}{−}}{4}{)}}$$
C.$${{(}{−}{1}{，}{−}{4}{)}}$$
D.$${{(}{1}{，}{4}{)}}$$
1. 解析：
对于条件⊕，$$\tan A \cdot \overrightarrow{OA} + \tan B \cdot \overrightarrow{OB} + \tan C \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$，这是垂心的向量表示，因为垂心与顶点的连线满足角度关系。
对于条件⊕，$$\sin 2A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin 2B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin 2C \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$，这是外心的向量表示，因为外心与顶点的连线满足正弦定理的关系。
对于条件⊕，$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$，这是重心的向量表示，因为重心是三角形中线的交点。
因此，顺序为内心、垂心、外心、重心，对应选项 D。
2. 解析：
向量 $$b = -8i - 6j$$，其模为 $$|b| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = 10$$。
由于 $$a$$ 和 $$b$$ 的方向系数比为 $$(-3)/(-8) = 3/8$$ 和 $$4/(-6) = -2/3$$，不相等，故方向相反。因此选项 C 正确。
3. 解析：
接下来，设 $$a$$ 在基底 $$\{m, n\}$$ 下的坐标为 $$(x, y)$$，则 $$a = xm + yn = x(-1, 1) + y(1, 2) = (-x + y, x + 2y)$$。
解方程组： $$-x + y = 2$$ $$x + 2y = 4$$ 解得 $$x = 0$$，$$y = 2$$。因此坐标为 $$(0, 2)$$，对应选项 D。
4. 解析：
方向相反的单位向量为 $$\left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$$，对应选项 C。
5. 解析：
$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (1+2)i + (2+4)j = 3i + 6j$$，对应坐标 $$(3, 6)$$，选项 C 正确。
6. 解析：
向量 $$\overrightarrow{AB} = (1, 3)$$，$$\overrightarrow{CD} = (x-3, y)$$。
由 $$CD \perp AB$$，得 $$1(x-3) + 3y = 0$$，即 $$x + 3y = 3$$。
向量 $$\overrightarrow{CB} = (-1, 2)$$，$$\overrightarrow{AD} = (x-1, y+1)$$。
由 $$CB \parallel AD$$，得 $$\frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2}$$，即 $$2x + y = 1$$。
解方程组： $$x + 3y = 3$$ $$2x + y = 1$$ 解得 $$x = 0$$，$$y = 1$$。因此 $$D = (0, 1)$$，对应选项 D。
7. 解析：
由 $$AB \perp AD$$，得 $$D = (0, y)$$。
由 $$BC = 1$$ 和 $$\angle ABC = 60^\circ$$，得 $$C = (2.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$$。
点 $$E$$ 为 $$BC$$ 的中点，$$E = (2.25, \frac{\sqrt{3}}{4})$$。
点 $$F$$ 在 $$DC$$ 上，$$DC$$ 向量为 $$(2.5, \frac{\sqrt{3}}{2} - y)$$，$$DF = \frac{1}{3}DC$$，故 $$F = (0.833, y + \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{y}{3})$$。
计算 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$$ 得 $$\frac{5}{2}$$，对应选项 A。
8. 解析：
$$\overrightarrow{AB} = (1-3, 3-(-1)) = (-2, 4)$$。
$$\overrightarrow{OC}$$ 是 $$\overrightarrow{AB}$$ 的相等向量，故 $$C = (-2, 4)$$，对应选项 A。
10. 解析：