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正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$是直线$${{l}}$$上的两个向量$${，{4}{a}{+}{3}{b}{=}{−}{a}{，}}$$且向量$${{b}}$$的坐标为$${{6}{，}}$$则向量$$\frac2 3 a-\frac1 2 b$$的坐标为（）
D
A.$$- \frac{1 8} {5}$$
B.$$\frac{1 8} {5}$$
C.$$\frac{2 7} {5}$$
D.$$- \frac{2 7} {5}$$
3、['平面向量坐标运算的综合应用'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$${{a}{⋅}{b}{=}{{1}{0}}{，}}$$且$${{b}{=}{(}{6}{，}{−}{8}{)}{，}}$$则向量$${{a}}$$在向量$${{b}}$$上的投影向量为（）
D
A.$${{(}{−}{6}{，}{8}{)}}$$
B.$${{(}{6}{，}{−}{8}{)}}$$
C.$$\left(-\frac{3} {5}， \ \frac{4} {5} \right)$$
D.$$\left( \frac{3} {5}， ~-\frac{4} {5} \right)$$
4、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%向量$${{a}{=}{(}{2}{，}{1}{)}{，}{b}{=}{(}{−}{3}{，}{4}{)}{，}}$$$${{c}{=}{(}{3}{m}{−}{1}{，}{1}{−}{2}{m}{)}{，}}$$若$${{(}{c}{+}{2}{b}{)}{⊥}{a}{，}}$$则实数$${{m}}$$等于（）
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$$\frac{7} {4}$$
D.$${{2}}$$
5、['双曲线的渐近线'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率19.999999999999996%已知点$${{P}}$$是双曲线$$C \colon~ \frac{y^{2}} {2}-\frac{x^{2}} {4}=1$$的一条渐近线上一点，$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是双曲线的下焦点和上焦点，且以$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$为直径的圆经过点$${{P}}$$，则点$${{P}}$$到$${{y}}$$轴的距离为（）
D
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
6、['平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$是直角边长为$${{2}}$$的等腰直角三角形，且$${{A}}$$为直角顶点，$${{P}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$内一点，则$$\overrightarrow{P A} \cdot( \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} )$$的最小值是（）
D
A.$${{−}{2}}$$
B.$$- \frac{3} {2}$$
C.$$- \frac{4} {3}$$
D.$${{−}{1}}$$
7、['向量在几何中的应用举例'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%设$${{P}{，}{Q}}$$为三角形$${{A}{B}{C}}$$内的两点，且$$\overrightarrow{A P}=\frac{2} {5} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {5} \overrightarrow{A C}， \; \; \overrightarrow{A Q}=\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}，$$则$${\frac{S_{\triangle A B P}} {S_{\triangle A B Q}}}=\c($$）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
8、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '向量的模'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{O A}=( 3， 1 )， \overrightarrow{O B}=(-1， 3 )， \ \overrightarrow{O C}=m \overrightarrow{O A}-n \overrightarrow{O B} ( m > 0， n > 0 ).$$若$${{m}{+}{n}{=}{1}}$$，则$$| \overrightarrow{O C} |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
9、['直线系方程'， '导数与最值'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '函数的对称性']正确率40.0%若函数$$f ( x )=\frac{2 x+3} {x-1}， \ g ( x )=\frac{3} {2 x}+l n x$$，在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，直线$${{a}{x}{−}{y}{+}{2}{−}{a}{=}{0}}$$与$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象交于$${{A}{，}{B}}$$两点，点$${{C}}$$在函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象上，则$$\overrightarrow{O C} \cdot( \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} )$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{8}{+}{4}{l}{n}{3}}$$
D.$${{1}{0}}$$
10、['数量积的运算律'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{λ}{+}{2}{，}{λ}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{λ}{，}{1}{)}{，}}$$若$${{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}{=}{|}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}}$$，则实数$${{λ}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{0}{，}{−}{3}}$$
D.$${{0}{，}{3}}$$
2. 解析：
由题意，$$4a + 3b = -a$$，整理得 $$5a = -3b$$，即 $$a = -\frac{3}{5}b$$。已知 $$b$$ 的坐标为 $$6$$，则 $$a = -\frac{3}{5} \times 6 = -\frac{18}{5}$$。
计算 $$\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b = \frac{2}{3} \times \left(-\frac{18}{5}\right) - \frac{1}{2} \times 6 = -\frac{12}{5} - 3 = -\frac{27}{5}$$。
答案为 $$D$$。
3. 解析：
向量 $$a$$ 在 $$b$$ 上的投影向量为 $$\left( \frac{a \cdot b}{|b|^2} \right) b$$。已知 $$a \cdot b = 10$$，$$b = (6, -8)$$，则 $$|b| = 10$$。
投影向量为 $$\frac{10}{100} \times (6, -8) = \left( \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right)$$。
答案为 $$D$$。
4. 解析：
由题意，$$c + 2b = (3m - 1 + 2 \times (-3), 1 - 2m + 2 \times 4) = (3m - 7, 9 - 2m)$$。
因为 $$(c + 2b) \perp a$$，所以 $$(3m - 7) \times 2 + (9 - 2m) \times 1 = 0$$，解得 $$m = \frac{5}{4}$$。
答案为 $$B$$。
5. 解析：
双曲线 $$C$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$$。设 $$P(x, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x)$$。
焦点 $$F_1 = (0, -\sqrt{6})$$，$$F_2 = (0, \sqrt{6})$$。以 $$F_1F_2$$ 为直径的圆方程为 $$x^2 + y^2 = 6$$。
代入 $$P$$ 的坐标得 $$x^2 + \left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x \right)^2 = 6$$，解得 $$x = \pm 2$$。
点 $$P$$ 到 $$y$$ 轴的距离为 $$|x| = 2$$。
答案为 $$D$$。
6. 解析：
建立坐标系，设 $$A(0, 0)$$，$$B(2, 0)$$，$$C(0, 2)$$，$$P(x, y)$$。
计算 $$\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}) = (-x, -y) \cdot (2 - 2x, 2 - 2y) = -2x(1 - x) - 2y(1 - y)$$。
最小值为 $$-1$$，当 $$x = y = \frac{1}{2}$$ 时取得。
答案为 $$D$$。
7. 解析：
由题意，$$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$$，$$\overrightarrow{AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$。
面积比为 $$\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ABQ}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}$$。
答案为 $$D$$。
8. 解析：
由 $$m + n = 1$$，设 $$m = t$$，$$n = 1 - t$$，$$t \in (0, 1)$$。
$$\overrightarrow{OC} = t(3, 1) - (1 - t)(-1, 3) = (4t - 1, -2t + 3)$$。
$$|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{(4t - 1)^2 + (-2t + 3)^2} = \sqrt{20t^2 - 20t + 10}$$。
最小值为 $$\sqrt{5}$$，当 $$t = \frac{1}{2}$$ 时取得。
答案为 $$A$$。
9. 解析：
直线 $$ax - y + 2 - a = 0$$ 可化为 $$y = a(x - 1) + 2$$，与 $$f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$$ 的交点为 $$A$$ 和 $$B$$。
设 $$A$$ 和 $$B$$ 的中点为 $$M(1, 2)$$，则 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM} = (2, 4)$$。
$$\overrightarrow{OC} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = 2x + 4y$$，其中 $$C(x, y)$$ 在 $$g(x) = \frac{3}{2x} + \ln x$$ 上。
最小值为 $$8$$，当 $$x = 1$$ 时取得。
答案为 $$B$$。
10. 解析：
由 $$|a + b| = |a - b|$$，得 $$(a + b) \cdot (a + b) = (a - b) \cdot (a - b)$$，即 $$a \cdot b = 0$$。
代入 $$a = (\lambda + 2, \lambda)$$，$$b = (\lambda, 1)$$，得 $$(\lambda + 2)\lambda + \lambda \times 1 = 0$$，解得 $$\lambda = 0$$ 或 $$\lambda = -3$$。
答案为 $$C$$。