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正确率80.0%设向量$$a=\left( \frac{1} {3}， \begin{array} {c} {\mathrm{t a n} \alpha} \\ \end{array} \right)， \ b=\left( \begin{array} {c} {\mathrm{c o s} \alpha，} \\ \end{array} \frac{3} {2} \right)，$$且向量$${{a}}$$与$${{b}}$$共线，则锐角$${{α}}$$的值为（）
B
A.$$\frac{\pi} {1 2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
2、['共线向量基本定理'， '平面向量共线的坐标表示']正确率80.0%若$$A (-1， ~-1 )， ~ B ( 1， 3 )， ~ C ( x， 5 )$$共线，且$$\overrightarrow{A B}=\lambda\overrightarrow{B C}$$，则$${{λ}}$$等于（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知$$A (-2，-3 )$$、$$B ( 1， 3 )$$、$$C ( 3， m )$$为同一平面内共线的三点，则实数$${{m}{=}}$$（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{7}}$$
4、['平面向量基本定理'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）
D
A.$$\overrightarrow{e_{1}}=( 0， 0 )$$，$$\overrightarrow{e_{2}}=( 1，-2 )$$
B.$$\overrightarrow{e_{1}}=( 2，-3 )$$，$$\overrightarrow{e_{2}}=\left( \frac{1} {2}，-\frac{3} {4} \right)$$
C.$$\overrightarrow{e_{1}}=( 3， 5 )$$，$$\overrightarrow{e_{2}}=( 6， 1 0 )$$
D.$$\overrightarrow{e_{1}}=(-1， 2 )$$，$$\overrightarrow{e_{2}}=( 5， 7 )$$
5、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{a}=( 2， \enskip3 )， \enskip\overrightarrow{b}=( x， \enskip-9 )，$$且$$\overrightarrow{b} / / \overrightarrow{a}，$$则实数$${{x}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{6}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{3}}$$
7、['向量坐标与向量的数量积'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=(-1， 3 )， \; \; \overrightarrow{b}=( m， m-4 )， \; \; \overrightarrow{c}=( 2 m， 3 )，$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$$\overrightarrow{b} \to\cdot\overrightarrow{c}=( \textit{} )$$
A
A.$${{−}{7}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{8}}$$
8、['向量的模'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{m}=( 1，-2 )， \; \; \overrightarrow{n}=( 3， \lambda) ( \lambda\in{\bf R} )，$$若$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$共线，则$${{|}{{n}^{→}}{|}{=}}$$（）
D
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{5}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {5}}}$$
9、['平面向量共线的坐标表示']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\begin{array} {c} {( 3， \ 2 )} \\ \end{array}， \begin{array} {c} {\rightarrow} \\ {\overrightarrow{b}} \\ \end{array}=\begin{array} {c} {( x， \ 4 )} \\ \end{array}$$且$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$，则$${{x}}$$的值是（）
B
A.$${{−}{6}}$$
B.$${{6}}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$$- \frac{8} {3}$$
10、['共线向量基本定理'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率40.0%已知$$\overrightarrow{O A}=( 1，-3 )$$，$$\overrightarrow{O B}=( 2，-1 )$$，$$\overrightarrow{O C}=( k+1， k-2 )$$，若$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$三点不能构成三角形，则实数$${{k}}$$应满足的条件是（）
C
A.$${{k}{=}{−}{2}}$$
B.$$k=\frac{1} {2}$$
C.$${{k}{=}{1}}$$
D.$${{k}{=}{−}{1}}$$
1. 向量$$a$$与$$b$$共线，则存在实数$$k$$使得$$a = k b$$，即：
$$\frac{1}{3} = k \cos \alpha$$
$$\tan \alpha = k \cdot \frac{3}{2}$$
联立解得：
$$\tan \alpha = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3 \cos \alpha} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{1}{2 \cos \alpha}$$
利用$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$，得：
$$\sin \alpha = \frac{1}{2}$$
因为$$\alpha$$为锐角，所以$$\alpha = \frac{\pi}{6}$$。
答案：B
2. 由题意，$$\overrightarrow{AB} = (2, 4)$$，$$\overrightarrow{BC} = (x - 1, 2)$$。
因为$$\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{BC}$$，所以：
$$2 = \lambda (x - 1)$$
$$4 = \lambda \cdot 2 \Rightarrow \lambda = 2$$
代入第一式得$$x = 2$$。
答案：B
3. 三点共线，则$$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{BC}$$共线。
$$\overrightarrow{AB} = (3, 6)$$，$$\overrightarrow{BC} = (2, m - 3)$$。
由共线条件得：
$$\frac{3}{2} = \frac{6}{m - 3} \Rightarrow m - 3 = 4 \Rightarrow m = 7$$。
答案：D
4. 能作为基底的向量组必须不共线。
A选项：$$e_1$$为零向量，不能作为基底。
B选项：$$e_2 = \frac{1}{4} e_1$$，共线。
C选项：$$e_2 = 2 e_1$$，共线。
D选项：$$e_1$$和$$e_2$$不共线，可以作为基底。
答案：D
5. 向量$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$共线，则：
$$\frac{2}{x} = \frac{3}{-9} \Rightarrow x = -6$$。
答案：A
7. 由$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$得：
$$\frac{-1}{m} = \frac{3}{m - 4} \Rightarrow -m + 4 = 3m \Rightarrow m = 1$$。
因此，$$\overrightarrow{b} = (1, -3)$$，$$\overrightarrow{c} = (2, 3)$$。
点积$$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 1 \times 2 + (-3) \times 3 = 2 - 9 = -7$$。
答案：A
8. 向量$$\overrightarrow{m}$$与$$\overrightarrow{n}$$共线，则：
$$\frac{1}{3} = \frac{-2}{\lambda} \Rightarrow \lambda = -6$$。
因此，$$\overrightarrow{n} = (3, -6)$$，模长为$$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = 3\sqrt{5}$$。
答案：D
9. 向量$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$共线，则：
$$\frac{3}{x} = \frac{2}{4} \Rightarrow x = 6$$。
答案：B
10. 三点不能构成三角形，则$$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{BC}$$共线。
$$\overrightarrow{AB} = (1, 2)$$，$$\overrightarrow{BC} = (k - 1, k - 1)$$。
由共线条件得：
$$\frac{1}{k - 1} = \frac{2}{k - 1} \Rightarrow k - 1 = 2(k - 1) \Rightarrow k = 1$$。
答案：C