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正确率60.0%如果平面向量$$\boldsymbol{a}=( 2 \mathbf{，} \， \， \，-4 )， \， \， \， \boldsymbol{b}=(-6， \， \， \， 1 2 )，$$那么下列说法中不正确的是（）
D
A.$$| \boldsymbol{b} |=3 | \boldsymbol{a} |$$
B.$${{a}{/}{/}{b}}$$
C.$${{a}{，}{b}}$$的夹角为$${{1}{8}{0}^{∘}}$$
D.向量$${{a}}$$在$${{b}}$$上的投影向量为$$\frac{1} {3} b$$
2、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量共线的坐标表示'， '相反向量']正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=(-3， \ 4 )，$$则与$${{a}}$$方向相反的单位向量是（）
C
A.$$\left( \frac{3} {5}， \enspace\frac{4} {5} \right)$$
B.$$\left(-\frac{3} {5}， \ \frac{4} {5} \right)$$
C.$$\left( \frac{3} {5}， ~-\frac{4} {5} \right)$$
D.$$\left(-\frac{3} {5}， ~-\frac{4} {5} \right)$$
3、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，已知$$a， b， c$$分别为内角$$A， B， C$$所对的边$${{，}{S}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积，若向量$$\boldsymbol{p}=( 4， a^{2}+b^{2}-c^{2} )， \boldsymbol{q}=( \sqrt{3}， S )$$，且满足$${{p}{/}{/}{q}}$$，则$${{C}}$$的值为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
4、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%关于平面向量
下列判断中正确的是（）
C
A.若$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{c}，$$则$${{b}^{→}{=}{{c}^{→}}}$$
B.若$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ k ) \， \，， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( \ -2， \ 6 ) \， \，， \， \， \， \overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$$k=\frac{1} {3}$$
C.$$| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=0$$
D.若$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$是单位向量，则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=1$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '平面向量共线的坐标表示'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$，过双曲线右焦点$${{F}}$$倾斜角为$$\frac{\pi} {4}$$的直线与该双曲线的渐近线分别交于$${{M}{、}{N}}$$．若$$| F M |=2 | F N |$$，则该双曲线的离心率等于（）
D
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$或$$\frac{\sqrt{1 0}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {3}$$或$${\sqrt {{1}{0}}}$$
6、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知点$$P ~ ( ~-3， ~ 5 ) ~， ~ Q ~ ( ~ 2， ~ 1 )$$，向量$$\overrightarrow{m}=~ ( 2 \lambda-1， ~ \lambda+1 ) ~，$$若$$\overrightarrow{P Q} / / \overrightarrow{m}，$$则实数$${{λ}}$$等于（）
B
A.$$\frac{1} {1 3}$$
B.$$- \frac1 {1 3}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
7、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知平面向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \ x， \ 1 ) \， \ \overrightarrow{b}=\ ( \ 2， \ x-1 )$$且$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则实数$${{x}}$$的值是（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{1}}$$或$${{2}}$$
8、['平面向量共线的坐标表示']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\left( 2， m \right)， \; \; \overrightarrow{b}=\left( 4， 2 \right)$$，若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{4}}$$
9、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( x-1， 2 )， \， \， \， \overrightarrow{b}=( 2， 1 )，$$则$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$时$${{x}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{0}}$$
10、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 3， 4 )， \; \; \overrightarrow{c}=( k， 2 )$$.若$${{(}{3}{{a}^{→}}}$$一$$\overrightarrow{b} ) / / \overrightarrow{c}$$，则实数$${{k}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{8}}$$
B.$${{−}{6}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{6}}$$
1. 解析：
首先计算向量 $$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{b}$$ 的模：
$$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$
$$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$$
因此，$$|\boldsymbol{b}| = 3|\boldsymbol{a}|$$，选项 A 正确。
检查平行性：$$\boldsymbol{b} = -3\boldsymbol{a}$$，所以 $$\boldsymbol{a}$$ 与 $$\boldsymbol{b}$$ 平行，选项 B 正确。
由于 $$\boldsymbol{b} = -3\boldsymbol{a}$$，它们的夹角为 $$180^\circ$$，选项 C 正确。
向量 $$\boldsymbol{a}$$ 在 $$\boldsymbol{b}$$ 上的投影向量为 $$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2} \boldsymbol{b} = \frac{2 \times (-6) + (-4) \times 12}{180} \boldsymbol{b} = \frac{-12 - 48}{180} \boldsymbol{b} = \frac{-60}{180} \boldsymbol{b} = -\frac{1}{3} \boldsymbol{b}$$，与选项 D 不符，因此 D 不正确。
答案：D
2. 解析：
首先计算向量 $$\boldsymbol{a}$$ 的模：
$$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
与 $$\boldsymbol{a}$$ 方向相反的单位向量为 $$-\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = -\frac{(-3, 4)}{5} = \left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$$。
答案：C
3. 解析：
由向量 $$\boldsymbol{p}$$ 和 $$\boldsymbol{q}$$ 平行，得：
$$\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{S}$$
根据余弦定理，$$a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C$$，面积公式 $$S = \frac{1}{2}ab \sin C$$，代入得：
$$\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2ab \cos C}{\frac{1}{2}ab \sin C} = \frac{4 \cos C}{\sin C}$$
化简得 $$\tan C = \sqrt{3}$$，所以 $$C = \frac{\pi}{3}$$。
答案：B
4. 解析：
A 选项：若 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$$，只能推出 $$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) = 0$$，即 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$$ 垂直，不一定 $$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{c}$$，错误。
B 选项：若 $$\overrightarrow{a} = (1, k)$$ 与 $$\overrightarrow{b} = (-2, 6)$$ 平行，则 $$\frac{1}{-2} = \frac{k}{6}$$，解得 $$k = -3$$，错误。
C 选项：若 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$，平方后得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，正确。
D 选项：单位向量的点积不一定为 1，错误。
答案：C
5. 解析：
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，右焦点 $$F = (c, 0)$$，倾斜角为 $$\frac{\pi}{4}$$ 的直线方程为 $$y = x - c$$。
与渐近线交点：
1. 对于 $$y = \frac{b}{a}x$$，解得 $$M = \left(\frac{ac}{a - b}, \frac{bc}{a - b}\right)$$。
2. 对于 $$y = -\frac{b}{a}x$$，解得 $$N = \left(\frac{ac}{a + b}, -\frac{bc}{a + b}\right)$$。
由 $$|FM| = 2|FN|$$，计算距离：
$$|FM| = \sqrt{\left(\frac{ac}{a - b} - c\right)^2 + \left(\frac{bc}{a - b}\right)^2} = \frac{c\sqrt{2b^2}}{|a - b|}$$
$$|FN| = \sqrt{\left(\frac{ac}{a + b} - c\right)^2 + \left(-\frac{bc}{a + b}\right)^2} = \frac{c\sqrt{2b^2}}{a + b}$$
代入条件得 $$\frac{1}{a - b} = \frac{2}{a + b}$$，解得 $$a = 3b$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \frac{\sqrt{10b^2}}{3b} = \frac{\sqrt{10}}{3}$$。
答案：A
6. 解析：
向量 $$\overrightarrow{PQ} = (2 - (-3), 1 - 5) = (5, -4)$$。
由于 $$\overrightarrow{PQ} \parallel \overrightarrow{m}$$，则 $$\frac{5}{2\lambda - 1} = \frac{-4}{\lambda + 1}$$。
解得 $$5(\lambda + 1) = -4(2\lambda - 1)$$，即 $$5\lambda + 5 = -8\lambda + 4$$，整理得 $$13\lambda = -1$$，所以 $$\lambda = -\frac{1}{13}$$。
答案：B
7. 解析：
由于 $$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，则 $$\frac{x}{2} = \frac{1}{x - 1}$$。
解得 $$x(x - 1) = 2$$，即 $$x^2 - x - 2 = 0$$，所以 $$x = -1$$ 或 $$x = 2$$。
答案：D
8. 解析：
由于 $$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，则 $$\frac{2}{4} = \frac{m}{2}$$。
解得 $$m = 1$$。
答案：A
9. 解析：
由于 $$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，则 $$\frac{x - 1}{2} = \frac{2}{1}$$。
解得 $$x - 1 = 4$$，即 $$x = 5$$。
答案：C
10. 解析：
计算 $$3\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = 3(2, 1) - (3, 4) = (6 - 3, 3 - 4) = (3, -1)$$。
由于 $$(3\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \parallel \overrightarrow{c}$$，则 $$\frac{3}{k} = \frac{-1}{2}$$。
解得 $$k = -6$$。
答案：B