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正确率60.0%若$$\{\alpha， \ \beta\}$$是一组基底，向量$$\gamma=x \alpha+y \beta( x， ~ y \in{\bf R} )，$$则称$$( x， ~ y )$$为向量$${{γ}}$$在基底$${{\{}{{α}{，}{β}}{\}}}$$下的坐标.已知$$\boldsymbol{p}=( \boldsymbol{1}， \boldsymbol{-1} )， \ \boldsymbol{q}=( \boldsymbol{2}， \ \boldsymbol{1} )，$$$$\boldsymbol{m}=(-1， ~ 1 )， ~ \boldsymbol{n}=( 1， ~ 2 )，$$若向量$${{a}}$$在一组基底$${{\{}{{p}{，}{q}}{\}}}$$下的坐标为$$(-2， \ 2 )，$$则向量$${{a}}$$在另一组基底$${{\{}{{m}{，}{n}}{\}}}$$下的坐标为（）
D
A.$$( 2， \ 0 )$$
B.$$( 0， ~-2 )$$
C.$$(-2， \ 0 )$$
D.$$( 0， \ 2 )$$
2、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率40.0%已知平面向量$$\overrightarrow{A B}， \bar{A C}$$的模都为$${{2}}$$，且 < overrightarrow{AB}， overrightarrow{AC} >$${{=}{{9}{0}^{∘}}}$$，若$$\overrightarrow{B M}=\lambda\overrightarrow{M C} ( \lambda\neq0 )，$$则$$\overrightarrow{A M} \cdot( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} )=( \eta)$$
A
A.$${{4}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{0}}$$
3、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 0 ) \，， \overrightarrow{b}=( 0， 1 ) \，， \overrightarrow{c}=k \， \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ( k {\in} R ) \，， \overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \，，$$如果$$\overrightarrow{c} / / \overrightarrow{d}，$$那（）
D
A.$${{k}{=}{1}}$$且$${{c}^{→}}$$与$${{d}^{→}}$$同向
B.$${{k}{=}{1}}$$且$${{c}^{→}}$$与$${{d}^{→}}$$反向
C.$${{k}{=}{−}{1}}$$且$${{c}^{→}}$$与$${{d}^{→}}$$同向
D.$${{k}{=}{−}{1}}$$且$${{c}^{→}}$$与$${{d}^{→}}$$反向
4、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%svg异常
B
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{1}{1}}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{1}{3}}$$
5、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 2 )， \， \overrightarrow{b}=(-2， m )，$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$$| 2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b} |$$等于（）
B
A.$${\sqrt {{7}{0}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
6、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知平面向量$$\vec{{\bf a}}=( 1，-2 )， \; \; \vec{{\bf b}}=(-2， m )，$$且$$\overrightarrow{{\bf a}} / / \overrightarrow{{\bf b}}，$$则$$\mathbf{3 \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$$(-2， 1 )$$
B.$$( 1，-2 )$$
C.$$(-1， 2 )$$
D.$$( {\bf2}，-{\bf1} )$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知两不共线的向量$$\overrightarrow{a}=( \operatorname{c o s} \alpha， \; \; \operatorname{s i n} \alpha)， \; \; \overrightarrow{b}=( \operatorname{c o s} \beta， \; \; \operatorname{s i n} \beta)，$$则下列说法一定正确的是（）
D
A.$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{a}{−}{β}}$$
B.$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$的最大值为$${{1}}$$
C.$$| \vec{a}+\vec{b} | \leq\sqrt{2}$$
D.$$( \vec{a}+\vec{b} ) \perp( \vec{a}-\vec{b} )$$
8、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%svg异常
A
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
9、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%向量$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ \ -2 ) \ \，， \ \overrightarrow{b}=\ ( 2， \ -1 )$$，则$$( \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{a}=$$（）
C
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{1}}$$
C.$${{1}{3}}$$
D.$${{1}{5}}$$
10、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '导数与最值'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%点$${{M}}$$在曲线$$G_{\colon} \ y=3 \mathrm{l n} \ x$$上，过$${{M}}$$作$${{x}}$$轴垂线$${{l}}$$，设$${{l}}$$与曲线$$y=\frac{1} {x}$$交于点$${{N}}$$，若$$\overrightarrow{O P}=\frac{\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}} {3}$$，且$${{P}}$$点的纵坐标始终为$${{0}}$$，则称$${{M}}$$点为曲线$${{G}}$$上的$${{“}}$$水平黄金点$${{”}}$$则曲线$${{G}}$$上的$${{“}}$$水平黄金点$${{”}}$$的个数为（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
1. 首先根据题意，向量$$a$$在基底$$\{p, q\}$$下的坐标为$$(-2, 2)$$，因此可以表示为： $$a = -2p + 2q = -2(1, -1) + 2(2, 1) = (-2 + 4, 2 + 2) = (2, 4)$$
接下来，我们需要将$$a$$表示为基底$$\{m, n\}$$的线性组合，即$$a = x m + y n$$，其中$$m = (-1, 1)$$，$$n = (1, 2)$$。因此： $$(2, 4) = x(-1, 1) + y(1, 2) = (-x + y, x + 2y)$$
解方程组： $$\begin{cases} -x + y = 2 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$$
解得：$$x = 0$$，$$y = 2$$。因此，向量$$a$$在基底$$\{m, n\}$$下的坐标为$$(0, 2)$$，对应选项D。
由于$$\overrightarrow{BM} = \lambda \overrightarrow{MC}$$，设$$M$$的坐标为$$(x, y)$$，则： $$\overrightarrow{BM} = (x - 2, y)$$，$$\overrightarrow{MC} = (-x, 2 - y)$$
根据题意： $$(x - 2, y) = \lambda (-x, 2 - y)$$
解得： $$x = \frac{2}{1 + \lambda}$$，$$y = \frac{2\lambda}{1 + \lambda}$$
因此： $$\overrightarrow{AM} = \left(\frac{2}{1 + \lambda}, \frac{2\lambda}{1 + \lambda}\right)$$
计算点积： $$\overrightarrow{AM} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \left(\frac{2}{1 + \lambda}, \frac{2\lambda}{1 + \lambda}\right) \cdot (2, 2) = \frac{4}{1 + \lambda} + \frac{4\lambda}{1 + \lambda} = 4$$
因此答案为A。
3. 根据题意： $$\overrightarrow{c} = k \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (k, 1)$$，$$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (1, -1)$$
由于$$\overrightarrow{c} \parallel \overrightarrow{d}$$，存在实数$$\lambda$$使得： $$(k, 1) = \lambda (1, -1)$$
解得： $$k = \lambda$$，$$1 = -\lambda$$，即$$k = -1$$，$$\lambda = -1$$
此时$$\overrightarrow{c} = (-1, 1)$$，$$\overrightarrow{d} = (1, -1)$$，两者反向。因此答案为D。
5. 由于$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，存在实数$$k$$使得： $$(1, 2) = k(-2, m)$$
解得： $$1 = -2k$$，$$2 = k m$$，即$$k = -\frac{1}{2}$$，$$m = -4$$
因此： $$2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b} = 2(1, 2) + 3(-2, -4) = (2 - 6, 4 - 12) = (-4, -8)$$
其模长为： $$\sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$
因此答案为B。