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正确率60.0%在$${{R}{t}{△}{A}{B}{C}}$$中$${{，}{A}{=}{{9}{0}^{∘}}{，}{A}{B}{=}{6}{，}{A}{C}{=}{8}{，}{D}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的内心，则$$\overrightarrow{B D}=$$（）
A
A.$$- \frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {4} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {4} \overrightarrow{A C}$$
C.$$- \frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\frac2 3 \overrightarrow{A B}-\frac1 3 \overrightarrow{A C}$$
4、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理']正确率60.0%$${{[}{{2}{0}{1}{5}}{⋅}}$$全国卷Ⅰ]设$${{D}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点$$， \ B C=3 \overrightarrow{C D}，$$则（）
A
A.$$A D=-\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{4} {3} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\overrightarrow{A D}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{4} {3} \overrightarrow{A C}$$
C.$$\overrightarrow{A D}=\frac{4} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\overrightarrow{A D}=\frac{4} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
6、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量基本定理']正确率60.0%已知平面向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{−}{1}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{−}{1}{，}{2}{)}{，}{{c}^{→}}{=}{(}{3}{，}{−}{5}{)}{，}}$$则用$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$表示向量$${{c}^{→}}$$为（）
C
A.$${{2}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}}$$
B.$${{−}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}}$$
C.$${{a}^{→}{−}{2}{{b}^{→}}}$$
D.$${{a}^{→}{+}{2}{{b}^{→}}}$$
7、['共线向量基本定理'， '平面向量基本定理'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，点$${{D}}$$满足$$\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{D C}， \; \; E$$为$${{A}{D}}$$上一点，且$$\overrightarrow{B E}=m \overrightarrow{B A}+n \overrightarrow{B C} \left( m > 0， n > 0 \right)，$$则$${{m}{n}}$$的最大值为
A
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
8、['向量加法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理'， '三角形的“四心”'， '向量数乘的定义与运算律'， '向量的线性运算']正确率40.0%已知$${{D}{，}{E}}$$分别是$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$${{B}{C}{，}{A}{C}}$$上的中点，$${{A}{D}{、}{B}{E}}$$交于点$${{F}}$$，则$$\overrightarrow{A F}=($$）
A
A.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\frac2 3 \overrightarrow{A B}+\frac1 3 \overrightarrow{A C}$$
C.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
9、['平面向量基本定理']正确率80.0%已知锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$满足$${{A}{B}{=}{2}{\sqrt {3}}}$$，$${{∠}{C}{=}{{6}{0}}{°}}$$且$${{O}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的外接圆圆心，若$$\overrightarrow{O C}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B}$$，则$${{2}{λ}{−}{μ}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{−}{2}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{−}{1}{，}{2}{)}}$$
C.$${{[}{−}{2}{，}{2}{)}}$$
D.$${{(}{−}{2}{，}{2}{)}}$$
10、['平面向量基本定理']正确率40.0%已知$${{D}}$$，$${{E}}$$分别为$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$${{A}{B}}$$，$${{A}{C}}$$上的点，线段$${{B}{E}}$$和线段$${{C}{D}}$$相交于点$${{P}}$$，若$$\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{D B}$$，且$$\overrightarrow{D P}=\lambda\overrightarrow{P C}$$，$$\overrightarrow{C E}=\mu\overrightarrow{E A}$$，其中$${{λ}{>}{0}}$$，$${{μ}{>}{0}}$$，则$$\frac{1} {\lambda}+\frac{1} {\mu}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{6}}$$
以下是各题的详细解析：
3. 解析：
在直角三角形 $$△ABC$$ 中，$$∠A = 90°$$，$$AB = 6$$，$$AC = 8$$。内心 $$D$$ 到各边的距离相等，设为 $$r$$。利用面积法：
$$r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$$
因此，$$D$$ 的坐标为 $$(2, 2)$$。向量 $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = (2, 2) - (6, 0) = (-4, 2)$$。
用 $$\overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{AC}$$ 表示：
$$\overrightarrow{BD} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$$
答案为 A。
4. 解析：
由题意 $$\overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{CD}$$，即 $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \frac{4}{3}\overrightarrow{BC}$$。
因此，$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$$。
答案为 A。
6. 解析：
设 $$\overrightarrow{c} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}$$，则：
$$ \begin{cases} 3 = x(1) + y(-1) \\ -5 = x(-1) + y(2) \end{cases} $$
解得 $$x = 1$$，$$y = -2$$，因此 $$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$$。
答案为 C。
7. 解析：
由 $$\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}$$，得 $$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$。
设 $$\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AD}$$，则 $$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} + k\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)$$。
整理得 $$\overrightarrow{BE} = \left(-1 + \frac{k}{3}\right)\overrightarrow{AB} + \frac{2k}{3}\overrightarrow{AC}$$。
由题意，$$m = -1 + \frac{k}{3}$$，$$n = \frac{2k}{3}$$。由于 $$m > 0$$，$$n > 0$$，解得 $$k > 3$$。
$$mn = \left(-1 + \frac{k}{3}\right)\left(\frac{2k}{3}\right) = \frac{2k^2}{9} - \frac{2k}{3}$$，在 $$k = 3$$ 时取得最大值 $$\frac{1}{6}$$。
答案为 A。
8. 解析：
$$D$$ 和 $$E$$ 是中点，因此 $$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$，$$\overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$。
设 $$\overrightarrow{AF} = \lambda \overrightarrow{AD}$$，由共线条件解得 $$\lambda = \frac{2}{3}$$，因此 $$\overrightarrow{AF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$。
答案为 A。
9. 解析：
由正弦定理，外接圆半径 $$R = \frac{AB}{2\sin C} = 2$$。
设 $$O$$ 为原点，利用向量分解得 $$\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$$，且 $$\lambda + \mu = 1$$。
由于 $$△ABC$$ 为锐角三角形，$$2\lambda - \mu$$ 的取值范围为 $$(-2, 2)$$。
答案为 D。
10. 解析：
由题意，$$\overrightarrow{DP} = \lambda \overrightarrow{PC}$$ 和 $$\overrightarrow{CE} = \mu \overrightarrow{EA}$$，利用向量分解和共线条件可得 $$\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\mu} = 3$$。
由不等式 $$\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\mu} \geq \frac{4}{\lambda + \mu}$$，当 $$\lambda = \mu = \frac{2}{3}$$ 时取最小值 $$4$$。
答案为 B。