平面向量基本定理-6.3 平面向量基本定理及坐标表示知识点专题基础自测题解析-河北省等高二数学必修,平均正确率66.0%

第1题解析：

已知$$i$$和$$j$$是正交单位向量，计算向量$$a$$和$$b$$的模长和方向：

1. 计算模长：

$$|a| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$$

$$|b| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = 10$$

因此$$|a| < |b|$$，选项D正确。

2. 判断方向：

$$a = -3i + 4j$$，$$b = -8i - 6j$$

存在标量$$k$$使得$$a = k b$$，即$$-3 = -8k$$且$$4 = -6k$$，解得$$k = \frac{3}{8}$$和$$k = -\frac{2}{3}$$矛盾，故方向不相同。

进一步验证反向关系：

设$$a = -k b$$，即$$-3 = 8k$$且$$4 = 6k$$，同样无解。

但观察比例关系，$$a$$与$$b$$的分量比例为$$\frac{-3}{-8} = \frac{4}{-6}$$，化简为$$\frac{3}{8} = -\frac{2}{3}$$不成立，因此方向既不相同也不相反。

综上，只有选项D正确。

第2题解析：

在$$△ABC$$中，$$M$$、$$N$$、$$E$$是中点，利用向量中点公式：

$$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$

$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$$

$$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$

将$$\overrightarrow{AE}$$表示为$$\lambda \overrightarrow{AM} + \mu \overrightarrow{AN}$$：

$$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \lambda \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \mu \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$

比较系数得$$\lambda = 1$$，$$\mu = 1$$，因此$$\lambda + \mu = 2$$，选项D正确。

第4题解析：

设等边三角形$$ABC$$，边长为2，$$M$$为$$BC$$中点，建立坐标系：

设$$A(0, \sqrt{3})$$，$$B(-1, 0)$$，$$C(1, 0)$$，则$$M(0, 0)$$。

向量$$\overrightarrow{AB} = (-1, -\sqrt{3})$$，$$\overrightarrow{AM} = (0, -\sqrt{3})$$。

计算$$|\overrightarrow{AB} - t \overrightarrow{AM}| = |(-1, -\sqrt{3} + t\sqrt{3})| = \sqrt{1 + 3(1 - t)^2} \geq 2$$。

化简得$$1 + 3(1 - t)^2 \geq 4$$，即$$(1 - t)^2 \geq 1$$，解得$$t \leq 0$$或$$t \geq 2$$。

因此，选项C正确。

第5题解析：

根据题意，点$$P_n$$满足面积比条件，利用向量关系：

$$\overrightarrow{P_n A} + \frac{1}{3}a_{n+1}\overrightarrow{P_n B} + (2a_n + 1)\overrightarrow{P_n C} = \overrightarrow{0}$$

由面积比条件，可得$$\frac{P_n B}{P_n C} = \frac{1}{3}$$，即$$\overrightarrow{P_n B} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{P_n C}$$。

代入向量方程，解得递推关系：$$a_{n+1} = 2a_n + 1$$。

解递推关系得通项公式：$$a_n = 2^n - 1$$。

因此，$$a_{10} = 2^{10} - 1 = 1023$$，选项A正确。

第6题解析：

设平行四边形$$ABCD$$，利用向量分解：

$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$$

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$

$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$$

将$$\overrightarrow{AC}$$表示为$$\lambda \overrightarrow{AM} + \mu \overrightarrow{BD}$$：

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \lambda (\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}) + \mu (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB})$$

比较系数得方程组：

$$1 = \lambda - \mu$$

$$1 = \frac{1}{2}\lambda + \mu$$

解得$$\lambda = \frac{4}{3}$$，$$\mu = \frac{1}{3}$$，因此$$\lambda + \mu = \frac{5}{3}$$，选项D正确。

第7题解析：

建立坐标系，设$$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$D(0,4)$$，$$C(2,4)$$。

动点$$P$$在圆$$(x-2)^2 + (y-4)^2 = 1$$上。

设$$P(2 + \cos\theta, 4 + \sin\theta)$$，则$$\overrightarrow{AP} = (2 + \cos\theta, 4 + \sin\theta)$$。

将其表示为$$\lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AD}$$，即：

$$2 + \cos\theta = 2\lambda$$

$$4 + \sin\theta = 4\mu$$

解得$$\lambda = 1 + \frac{\cos\theta}{2}$$，$$\mu = 1 + \frac{\sin\theta}{4}$$。

计算$$\lambda + 2\mu = 3 + \frac{\cos\theta}{2} + \frac{\sin\theta}{2}$$。

利用三角函数的范围，$$\frac{\cos\theta + \sin\theta}{2} \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$$。

因此，$$\lambda + 2\mu \in [3 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 3 + \frac{\sqrt{2}}{2}]$$，选项B正确。

第9题解析：

在$$△ABC$$中，$$\overrightarrow{BD} = 3\overrightarrow{DC}$$，利用向量分解：

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$$。

因此，$$\lambda_1 = \frac{1}{4}$$，$$\lambda_2 = \frac{3}{4}$$，乘积$$\lambda_1 \lambda_2 = \frac{3}{16}$$，选项B正确。

第10题解析：

设重心$$G$$，利用重心坐标公式：

$$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。

直线$$MN$$通过$$G$$，参数化直线方程为：

$$\overrightarrow{AG} = t \overrightarrow{AM} + (1 - t) \overrightarrow{AN}$$。

代入$$\overrightarrow{AM} = x \overrightarrow{AB}$$，$$\overrightarrow{AN} = y \overrightarrow{AC}$$，得：

$$\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = t x \overrightarrow{AB} + (1 - t) y \overrightarrow{AC}$$。

比较系数得$$t x = \frac{1}{3}$$，$$(1 - t) y = \frac{1}{3}$$。

消去$$t$$得$$\frac{1}{3x} + \frac{1}{3y} = 1$$，即$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$$。

利用不等式求$$x + 4y$$的最小值：

由$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$$，设$$y = kx$$，解得$$x = \frac{1 + k}{3k}$$。

代入$$x + 4y = \frac{1 + k}{3k} + \frac{4k(1 + k)}{3k} = \frac{1 + k + 4k + 4k^2}{3k} = \frac{4k^2 + 5k + 1}{3k}$$。

求导得极小值点$$k = \frac{1}{2}$$，此时$$x + 4y = 3$$，选项B正确。