平面向量基本定理-6.3 平面向量基本定理及坐标表示知识点专题进阶选择题自测题解析-内蒙古自治区等高二数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1、在扇形$$AOB$$中，$$\angle AOB = \frac{2\pi}{3}$$，点$$C$$为弧$$AB$$上任意一点（不含点$$A, B$$），若$$\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB} (\lambda, \mu \in \mathbb{R})$$，则$$\lambda + 2\mu$$的取值范围是（ ）。

设$$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 1$$。由$$\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$$，两边平方得：

$$|\overrightarrow{OC}|^2 = \lambda^2 + \mu^2 + 2\lambda\mu \cos \frac{2\pi}{3} = \lambda^2 + \mu^2 - \lambda\mu = 1$$

令$$t = \lambda + 2\mu$$，则$$\lambda = t - 2\mu$$，代入上式：

$$(t - 2\mu)^2 + \mu^2 - (t - 2\mu)\mu = 1$$

整理得：$$t^2 - 4t\mu + 4\mu^2 + \mu^2 - t\mu + 2\mu^2 = 1$$

即：$$7\mu^2 - 5t\mu + t^2 - 1 = 0$$

关于$$\mu$$的方程有实根，判别式$$\Delta = 25t^2 - 28(t^2 - 1) \geq 0$$

解得：$$-3t^2 + 28 \geq 0 \Rightarrow t^2 \leq \frac{28}{3} \Rightarrow |t| \leq \frac{2\sqrt{21}}{3}$$

由于$$C$$在弧$$AB$$上（不含端点），对应$$\mu > 0$$，且$$\lambda > 0$$，即$$t - 2\mu > 0$$。由二次方程根的性质及边界情况（$$C$$接近$$A$$时$$\mu \to 0, \lambda \to 1, t \to 1$$；$$C$$接近$$B$$时$$\lambda \to 0, \mu \to 1, t \to 2$$），可得$$t$$的取值范围为$$(1, 2]$$。

答案：B

2、已知点$$P$$在$$\triangle ABC$$所在平面内，满足$$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$$，且$$\overrightarrow{AB} = m \overrightarrow{AP} + n \overrightarrow{AC}$$，则$$m + n = ( )$$。

由$$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$$，得$$3\overrightarrow{PG} = \overrightarrow{0}$$（其中$$G$$为重心），即$$P$$与重心$$G$$重合。

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AE} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BF}$$（$$E, F$$为中点）不直接。更好方法：

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AP} + (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP})$$ 复杂。

利用重心性质：$$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$，且$$P = G$$，故$$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。

则$$\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$$，与$$\overrightarrow{AB} = m \overrightarrow{AP} + n \overrightarrow{AC}$$比较，得$$m = 3, n = -1$$，$$m + n = 2$$。

答案：D

3、在梯形$$ABCD$$中，已知$$AB \parallel CD, AB = 2DC$$，点$$P$$在边$$BC$$上，且$$BP = 2PC$$，则（ ）。

设$$\overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{AD} = \vec{b}$$，则$$\overrightarrow{DC} = \frac{1}{2}\vec{a}$$，故$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$$。

点$$P$$在$$BC$$上，$$BP:PC = 2:1$$，故$$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}?$$ 错误，应为$$\overrightarrow{AP} = \frac{PC}{BC}\overrightarrow{AB} + \frac{BP}{BC}\overrightarrow{AC}$$？ 用分点公式：

$$\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{3} = \frac{\vec{a} + 2(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a})}{3} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{a}}{3} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b}}{3} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$$

即$$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$$，选项中无直接匹配。检查选项：

A: $$\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$；B: $$\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$$；C: $$\vec{b} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AP} - \vec{a}$$；D: $$\vec{b} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AP} - \vec{a}$$。

由$$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b})$$，得$$\vec{a} + \vec{b} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AP}$$，故$$\vec{b} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AP} - \vec{a}$$，即$$\overrightarrow{AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$$。

答案：C

5、在$$\triangle ABC$$中，$$P$$是$$BC$$的中点，$$AP = 4, BC = 12$$，则$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = ( )$$。

由中线公式：$$|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 = 2(|\overrightarrow{AP}|^2 + |\overrightarrow{BP}|^2) = 2(16 + 36) = 104$$。

又$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - |\overrightarrow{BC}|^2) = \frac{1}{2}(104 - 144) = -20$$。

答案：B

8、在三棱锥$$S-ABC$$中，$$D, E, F$$分别为$$AB, BC, CA$$的中点，若$$\overrightarrow{SA} = x \overrightarrow{SD} + y \overrightarrow{SE} + z \overrightarrow{SF}$$，则$$x - y + z = ( )$$。

由中点性质：$$\overrightarrow{SD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB})$$，$$\overrightarrow{SE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC})$$，$$\overrightarrow{SF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SA})$$。

设$$\overrightarrow{SA} = \vec{a}, \overrightarrow{SB} = \vec{b}, \overrightarrow{SC} = \vec{c}$$，则：

$$\vec{a} = x \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) + y \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) + z \cdot \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{a})$$

两边乘2：$$2\vec{a} = x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{b} + \vec{c}) + z(\vec{c} + \vec{a})$$

整理系数：$$(x + z)\vec{a} + (x + y)\vec{b} + (y + z)\vec{c} = 2\vec{a}$$

比较系数得：

$$\begin{cases} x + z = 2 \\ x + y = 0 \\ y + z = 0 \end{cases}$$

解得：$$x = 1, y = -1, z = 1$$，故$$x - y + z = 1 - (-1) + 1 = 3$$。

答案：D

9、$$\triangle ABC$$中，点$$M$$是$$BC$$的中点，点$$N$$为$$AB$$上一点，$$AM$$与$$CN$$交于点$$D$$，且$$\overrightarrow{AD} = \frac{4}{5} \overrightarrow{AM}$$，$$\overrightarrow{AN} = \lambda \overrightarrow{AB}$$。则$$\lambda = ( )$$。

设$$\overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{AC} = \vec{c}$$，则$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$$，$$\overrightarrow{AD} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{2}{5}(\vec{a} + \vec{c})$$。

点$$D$$在$$CN$$上，设$$\overrightarrow{CD} = k \overrightarrow{CN}$$（$$0 < k < 1$$），则$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \vec{c} + k(\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AC}) = \vec{c} + k(\lambda \vec{a} - \vec{c}) = k\lambda \vec{a} + (1 - k)\vec{c}$$。

与$$\overrightarrow{AD} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{c}$$比较，得：

$$\begin{cases} k\lambda = \frac{2}{5} \\ 1 - k = \frac{2}{5} \end{cases}$$

由第二式得$$k = \frac{3}{5}$$，代入第一式得$$\lambda = \frac{2}{5} \div \frac{3}{5} = \frac{2}{3}$$。

答案：A

10、已知在$$\triangle ABC$$中，点$$D$$在线段$$BC$$的延长线上，若$$\overrightarrow{BC} = 3 \overrightarrow{CD}$$，点$$O$$在线段$$CD$$上，若$$\overrightarrow{AO} = t \overrightarrow{AB} + (1 - t) \overrightarrow{AC}$$，则实数$$t$$的取值范围是（ ）。

由$$\overrightarrow{BC} = 3 \overrightarrow{CD}$$，设$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CD} = 4\overrightarrow{CD}$$，故$$\overrightarrow{CD} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BD}$$。

点$$O$$在线段$$CD$$上，设$$\overrightarrow{CO} = \mu \overrightarrow{CD}$$（$$0 \leq \mu \leq 1$$），则$$\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AC} + \mu \overrightarrow{CD}$$。

又$$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}$$，且$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{CD}$$，得$$\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC})$$复杂。直接利用$$B, C, D$$共线：

设$$\overrightarrow{AD} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}$$，由$$B, C, D$$共线且$$\overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{CD}$$，可得$$\alpha + \beta = 1$$，且$$\frac{\beta}{\alpha + \beta - 1} = \frac{BC}{CD} = 3$$？用分点公式：

$$\overrightarrow{AD} = \frac{-\overrightarrow{BC} + 4\overrightarrow{AC}}{3}?$$ 更直接：$$\overrightarrow{CD} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BD} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB})$$。

点$$O$$在$$CD$$上，$$\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC} + \mu \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \frac{\mu}{4}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB})$$。

又$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + 4(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC})$$，解得$$\overrightarrow{AD} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$$。

代入$$\overrightarrow{AO}$$：

$$\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC} + \frac{\mu}{4}\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) = \overrightarrow{AC} + \frac{\mu}{4}\left(-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\right)$$

$$= \overrightarrow{AC} - \frac{\mu}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{\mu}{3}\overrightarrow{AC} = -\frac{\mu}{3}\overrightarrow{AB} + \left(1 + \frac{\mu}{3}\right)\overrightarrow{AC}$$

与$$\overrightarrow{AO} = t \overrightarrow{AB} + (1 - t) \overrightarrow{AC}$$比较，得$$t = -\frac{\mu}{3}$$，$$1 - t = 1 + \frac{\mu}{3}$$。

由$$0 \leq \mu \leq 1$$，得$$-\frac{1}{3} \leq t \leq 0$$。

答案：A