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正确率19.999999999999996%在给出的下列命题中，是假命题的是（）
D
A.设$$O. \ A. \ B. \ C$$是同一平面上的四个不同的点，若$$\overrightarrow{O A}=m \cdot\overrightarrow{O B}+( 1-m ) \cdot\overrightarrow{O C} \ ( m \in R )$$则点$$A. ~ B. ~ C$$必共线
B.若向量$${{a}^{→}{和}{{b}^{→}}}$$是平面$${{α}}$$上的两个不平行的向量，则平面$${{α}}$$上的任一向量$${{c}^{→}}$$都可以表示为$$\overrightarrow{c}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{b} ( \mu， \ \lambda\in R )，$$且表示方法是唯一的
C.已知平面向量$$\overrightarrow{O A}. \ \overrightarrow{O B}. \ \overrightarrow{O C}$$满足$$\overrightarrow{| O A |}=\overrightarrow{| O B |}=| \overrightarrow{O C} |=r \ ( \boldsymbol{r} > 0 )$$，且$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$是等边三角形
D.在平面$${{α}}$$上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量$$\vec{a}， ~ \vec{b}， ~ \vec{c}， ~ \vec{d}，$$使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
2、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%向量$$\boldsymbol{a}=( 2， \ 1 )， \ b=(-3， \ 4 )，$$$$\mathbf{c}=( 3 m-1， \ 1-2 m )，$$若$$( c+2 b ) \perp a，$$则实数$${{m}}$$等于（）
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$$\frac{7} {4}$$
D.$${{2}}$$
3、['平面向量坐标运算的综合应用'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$$A ( 1， ~ 5 )， ~ B (-2， ~ 4 )， ~ C (-6， ~-4 )， ~ M$$是边$${{B}{C}}$$上的一点，且$${{△}{A}{B}{M}}$$的面积等于$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的$$\frac{1} {4}，$$则线段$${{A}{M}}$$的长为（）
A
A.$${{5}}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$${\sqrt {{8}{5}}}$$
D.$$\frac{\sqrt{8 5}} {2}$$
4、['平面向量坐标运算的综合应用'， '向量的线性运算']正确率60.0%svg异常
C
A.$$\frac{1 0} {7}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\underset{\frac{9} {8}}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{2 5} {1 6}$$
D.$$\frac{2 9} {1 8}$$
5、['平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%在$$R t \triangle A B C， \， \， \， B A=B C=2$$，点$${{D}}$$在斜边$${{A}{C}}$$上，且$$2 A D=C D， \， \， E$$为$${{B}{D}}$$的中点，则$$\overrightarrow{C E} \cdot\overrightarrow{B D}=\emptyset$$）
D
A.$$\frac{1} {1 8}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$- \frac{1} {1 8}$$
D.$$- \frac{2} {9}$$
6、['数量积的性质'， '向量坐标与向量的数量积'， '平面向量基本定理'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{O A}， \overrightarrow{O B}，$$满足$$\left| \overrightarrow{O A} \right|-1， \left| \overrightarrow{O B} \right|=2， \angle A O B=\frac{\pi} {3}， \， \， \， M$$为$${{Δ}{O}{A}{B}}$$内一点(包括边界$$)， \， \， \overrightarrow{O M}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}$$，若$$\overrightarrow{O M} \cdot\overrightarrow{B A} \leqslant-1，$$则以下结论一定成立的是（）
B
A.$$\frac2 3 \leqslant2 x+y \leqslant2$$
B.$$\frac{1} {2} x \leq y$$
C.$$- 1 \leqslant x-3 y$$
D.$$\frac2 3 \leqslant x+y \leqslant1$$
7、['两点间的距离'， '向量的模'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%已知平面向量$$\overrightarrow{O A} \perp\overrightarrow{O B}， \; \; | \overrightarrow{O A} |=| \overrightarrow{O B} |=8，$$当$$0 \leq t \leq1$$时，$$| t \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A O} |+| \frac{3} {4} \overrightarrow{B O}-( 1-t ) \; \overrightarrow{B A} |$$的最小值是（）
C
A.$${{6}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{2}}$$
8、['平面向量基本定理'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '柯西不等式']正确率60.0%已知矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=2， ~ ~ A D=4$$，动点$${{P}}$$在以点$${{C}}$$为圆心，$${{1}}$$为半径的圆上，若$$\vec{A P}=\lambda\vec{A} B+\mu\vec{A} D ( \lambda， \mu\in R )，$$则$${{λ}{+}{2}{μ}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ 3-\sqrt2， 3+\sqrt2 ]$$
B.$$[ 3-\frac{\sqrt{2}} {2}， 3+\frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
C.$$[ 3-\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}， 3+\frac{\sqrt{1 0}} {1 0} ]$$
D.$$[ 3-\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}， 3+\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0} ]$$
9、['向量的模'， '数量积的运算律'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=( 2， 1 )， \vec{b}=( 1， 2 )，$$则$$| \vec{a}+\lambda\vec{b} | ( \lambda\in R )$$的最小值为
C
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
10、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ 0 ) \， \，， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( \b-1， \ 1 )$$则（）
D
A.$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$
B.$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$
C.$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) / / \overrightarrow{b}$$
D.$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) / \perp\overrightarrow{a}$$
1. 假命题判断：
选项A：由$$\overrightarrow{OA}=m \cdot \overrightarrow{OB}+(1-m) \cdot \overrightarrow{OC}$$，整理得$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=m(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})$$，即$$\overrightarrow{CA}=m \cdot \overrightarrow{CB}$$，说明A在直线BC上，因此A、B、C共线，为真命题。
选项B：这是平面向量基本定理，任意向量可唯一表示为两个不平行向量的线性组合，为真命题。
选项C：由$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$且模长均为r，可得O是三角形ABC的重心。又因O到各顶点距离相等，故O也是外心，因此三角形ABC是等边三角形，为真命题。
选项D：考虑正方形，设$$\vec{a}=(1,0)$$，$$\vec{b}=(0,1)$$，$$\vec{c}=(-1,0)$$，$$\vec{d}=(0,-1)$$，则$$\vec{a}+\vec{b}=(1,1)$$，$$\vec{c}+\vec{d}=(-1,-1)$$，两者共线反向，不垂直。但若取$$\vec{a}=(2,0)$$，$$\vec{b}=(0,1)$$，$$\vec{c}=(-1,0)$$，$$\vec{d}=(0,-2)$$，则$$\vec{a}+\vec{b}=(2,1)$$，$$\vec{c}+\vec{d}=(-1,-2)$$，点积为$$2 \times (-1)+1 \times (-2)=-4 \neq 0$$，不垂直。实际上可以构造反例：取$$\vec{a}=(3,1)$$，$$\vec{b}=(1,2)$$，$$\vec{c}=(-2,1)$$，$$\vec{d}=(1,-3)$$，则$$\vec{a}+\vec{b}=(4,3)$$，$$\vec{c}+\vec{d}=(-1,-2)$$，点积为$$4 \times (-1)+3 \times (-2)=-10 \neq 0$$。但若调整向量，例如$$\vec{a}=(4,2)$$，$$\vec{b}=(1,3)$$，$$\vec{c}=(-3,1)$$，$$\vec{d}=(2,-4)$$，计算$$\vec{a}+\vec{b}=(5,5)$$，$$\vec{c}+\vec{d}=(-1,-3)$$，点积为$$5 \times (-1)+5 \times (-3)=-20 \neq 0$$。经过分析，确实存在四个互不相等的非零向量使得任意两组和向量垂直，例如$$\vec{a}=(1,3)$$，$$\vec{b}=(2,-1)$$，$$\vec{c}=(-2,1)$$，$$\vec{d}=(-1,-3)$$，则$$\vec{a}+\vec{b}=(3,2)$$，$$\vec{c}+\vec{d}=(-3,-2)$$，点积为$$3 \times (-3)+2 \times (-2)=-13 \neq 0$$。但若取$$\vec{a}=(1,2)$$，$$\vec{b}=(3,1)$$，$$\vec{c}=(-2,-1)$$，$$\vec{d}=(-1,-3)$$，则$$\vec{a}+\vec{b}=(4,3)$$，$$\vec{c}+\vec{d}=(-3,-4)$$，点积为$$4 \times (-3)+3 \times (-4)=-24 \neq 0$$。实际上，可以证明这样的四个向量不存在：假设$$\vec{a}+\vec{b}$$与$$\vec{c}+\vec{d}$$垂直，则$$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{c}+\vec{d})=0$$。但考虑向量轮换，其他组合如$$\vec{a}+\vec{c}$$与$$\vec{b}+\vec{d}$$垂直等，约束过多，一般无法同时满足。因此D是假命题。
故答案为D。
2. 已知$$\vec{a}=(2,1)$$，$$\vec{b}=(-3,4)$$，$$\vec{c}=(3m-1,1-2m)$$，且$$(\vec{c}+2\vec{b}) \perp \vec{a}$$。
计算$$\vec{c}+2\vec{b}=(3m-1+2 \times (-3),1-2m+2 \times 4)=(3m-1-6,1-2m+8)=(3m-7,9-2m)$$。
点积为$$(3m-7) \times 2+(9-2m) \times 1=6m-14+9-2m=4m-5=0$$，解得$$m=\frac{5}{4}$$。
故答案为B。
3. 已知A(1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M在BC上，且$$\triangle ABM$$面积是$$\triangle ABC$$面积的$$\frac{1}{4}$$。
因M在BC上，面积比等于BM:BC=1:4（同高三角形面积比等于底边比）。
故M分BC为BM:MC=1:3。
由定比分点公式，M坐标为$$\left( \frac{-2 \times 3 + (-6) \times 1}{1+3}, \frac{4 \times 3 + (-4) \times 1}{1+3} \right)=\left( \frac{-6-6}{4}, \frac{12-4}{4} \right)=\left( -3,2 \right)$$。
则AM距离为$$\sqrt{(1-(-3))^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$。
故答案为A。
4. 题目异常，无法解析。
5. 在Rt$$\triangle ABC$$中，BA=BC=2，即等腰直角三角形，B为直角顶点。设B(0,0)，A(2,0)，C(0,2)，则斜边AC从(2,0)到(0,2)。D在AC上，且2AD=CD，即AD:DC=1:2。
由定比分点，D坐标为$$\left( \frac{2 \times 2 + 0 \times 1}{1+2}, \frac{0 \times 2 + 2 \times 1}{1+2} \right)=\left( \frac{4}{3}, \frac{2}{3} \right)$$。
E为BD中点，B(0,0)，D$$\left( \frac{4}{3}, \frac{2}{3} \right)$$，故E$$\left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$$。
计算$$\overrightarrow{CE}=\left( \frac{2}{3}-0, \frac{1}{3}-2 \right)=\left( \frac{2}{3}, -\frac{5}{3} \right)$$，$$\overrightarrow{BD}=\left( \frac{4}{3}, \frac{2}{3} \right)$$。
点积为$$\frac{2}{3} \times \frac{4}{3} + \left( -\frac{5}{3} \right) \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9} - \frac{10}{9} = -\frac{2}{9}$$。
故答案为D。
6. 已知$$|\overrightarrow{OA}|=1$$，$$|\overrightarrow{OB}|=2$$，$$\angle AOB=\frac{\pi}{3}$$，M在$$\triangle OAB$$内（含边界），$$\overrightarrow{OM}=x \overrightarrow{OA}+y \overrightarrow{OB}$$，且$$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{BA} \leq -1$$。
注意$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$$。
则$$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{BA} = (x \overrightarrow{OA}+y \overrightarrow{OB}) \cdot (\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}) = x |\overrightarrow{OA}|^2 + y \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} - x \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} - y |\overrightarrow{OB}|^2 = x \times 1^2 + y \times (1 \times 2 \times \cos \frac{\pi}{3}) - x \times (1 \times 2 \times \cos \frac{\pi}{3}) - y \times 2^2 = x + y \times 1 - x \times 1 - 4y = x + y - x - 4y = -3y$$。
故条件化为$$-3y \leq -1$$，即$$y \geq \frac{1}{3}$$。
又因M在$$\triangle OAB$$内，有$$x \geq 0$$，$$y \geq 0$$，$$x+y \leq 1$$（以OA、OB为基）。
现在分析选项：
A. $$2x+y$$范围：由$$y \geq \frac{1}{3}$$和$$x+y \leq 1$$，得$$x \leq 1-y \leq \frac{2}{3}$$，故$$2x+y \leq 2 \times \frac{2}{3} + y = \frac{4}{3} + y$$，又$$y \leq 1$$，所以最大为$$\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3} \approx 2.333$$，但选项上限为2，不总成立。最小值当x=0,y=1时$$2 \times 0+1=1$$，但y需$$\geq \frac{1}{3}$$，x=0,y=\frac{1}{3}时$$2 \times 0 + \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$，但选项下限为$$\frac{2}{3}$$，故A不一定成立。
B. $$\frac{1}{2}x \leq y$$：即$$x \leq 2y$$。不一定成立，例如x=0.5,y=0.3（满足y≥1/3,x+y=0.8≤1），但0.5>2×0.3=0.6，不成立。
C. $$x-3y \geq -1$$：由x≥0,y≥1/3，x-3y≥0-3×1=-3，但不一定≥-1，例如x=0,y=1时0-3=-3<-1。
D. $$x+y$$范围：由y≥1/3和x+y≤1，得x+y∈[1/3,1]。但选项是[2/3,1]，不包含[1/3,2/3)部分，故不一定成立。
实际上，由y≥1/3和x+y≤1，得x+y≥y≥1/3，但最小可达1/3（x=0,y=1/3）。选项D下限为2/3，故不总成立。
重新审视，由于M在三角形内，还有约束x≥0,y≥0,x+y≤1。结合y≥1/3，则x+y≥1/3，且x+y≤1。但无其他约束，故以上选项均不一定成立。但题目要求"一定成立"，可能需结合几何意义。实际上，由$$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{BA} = -3y \leq -1$$得y≥1/3，且x≥0,x+y≤1。选项B:$$\frac{1}{2}x \leq y$$即x≤2y。当y=1/3时，x≤2/3，但x可接近1-y=2/3，成立；当y=1时，x=0≤2，成立。实际上，因x≤1-y≤1-1/3=2/3，而2y≥2/3，故x≤2/3≤2y（当y≥1/3时），所以B一定成立。
故答案为B。
7. 已知$$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}$$，$$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=8$$，求$$|t \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}|+|\frac{3}{4} \overrightarrow{BO}-(1-t) \overrightarrow{BA}|$$的最小值，0≤t≤1。
设O为原点，OA沿x轴，OB沿y轴，则A(8,0)，B(0,8)。
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-8,8)$$，$$\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}=(-8,0)$$，$$\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}=(0,-8)$$，$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(8,-8)$$。
则第一项：$$t \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}=t(-8,8)-(-8,0)=(-8t+8,8t)$$。
第二项：$$\frac{3}{4} \overrightarrow{BO}-(1-t) \overrightarrow{BA}=\frac{3}{4}(0,-8)-(1-t)(8,-8)=(0,-6)-(8-8t,-8+8t)=(-8+8t,2-8t)$$。
故表达式为$$\sqrt{(-8t+8)^2+(8t)^2}+\sqrt{(-8+8t)^2+(2-8t)^2}$$。
化简第一根号：$$\sqrt{(8-8t)^2+64t^2}=\sqrt{64(1-t)^2+64t^2}=8\sqrt{(1-t)^2+t^2}=8\sqrt{1-2t+2t^2}$$。
第二根号：$$\sqrt{(8t-8)^2+(2-8t)^2}=\sqrt{64(t-1)^2+4(1-4t)^2}$$，注意$$(2-8t)=2(1-4t)$$，故为$$\sqrt{64(1-t)^2+4(1-4t)^2}$$。
令f(t)=8\sqrt{2t^2-2t+1}+2\sqrt{16(1-t)^2+(1-4t)^2}$$，第二项中$$64(1-t)^2+4(1-4t)^2=4[16(1-t)^2+(1-4t)^2]$$，故根号为$$2\sqrt{16(1-t)^2+(1-4t)^2}$$。
即f(t)=8\sqrt{2t^2-2t+1}+2\sqrt{16(1-t)^2+(1-4t)^2}$$。
计算第二根号内：$$16(1-t)^2+(1-4t)^2=16(1-2t+t^2)+(1-8t+16t^2)=16-32t+16t^2+1-8t+16t^2=17-40t+32t^2$$。
故f(t)=8\sqrt{2t^2-2t+1}+2\sqrt{32t^2-40t+17}$$。
求导找最小值较繁。考虑几何意义：第一项为|tAB - AO|，第二项为|(3/4)BO - (1-t)BA|。
实际上，可发现当t=1/2时，第一项：$$\sqrt{(8-4)^2+(4)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$，乘以8? 不对，应为8×√(2×0.25-1+1)=8×√(0.5-1+1)=8×√0.5=8/√2=4√2。
第二项：2√(32×0.25-40×0.5+17)=2√(8-20+17)=2√5。
和为4√2+2√5≈5.656+4.472=10.128。
当t=0时：第一项8√1=8，第二项2√17≈2×4.123=8.246，和16.246。
当t=1时：第一项8√(2-2+1)=8，第二项2√(32-40+17)=2√9=6，和14。
似乎t=1/2较小。尝试t=0.6：第一项8√(2×0.36-1.2+1)=8√(0.72-1.2+1)=8√0.52=8×0.721=5.768；第二项2√(32×0.36-24+17)=2√(11.52-24+17)=2√4.52=2×2.126=4.252；和10.02。
t=0.5得10.128，t=0.6更小。t=0.7：第一项8√(2×0.49-1.4+1)=8√(0.98-1.4+1)=8√0.58=8×0.7616=6.093；第二项2√(32×0.49-28+17)=2√(15.68-28+17)=2√4.68=2×2.163=4.326；和10.419。
故最小值在t=0.6附近。但题目 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱