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正确率40.0%svg异常
A
A.$$[-\sqrt{2}， ~ 1 ]$$
B.$$[-\sqrt{2}， ~ \sqrt{2} ]$$
C.$$[-\frac{1} {2}， ~ \frac{1} {2} ]$$
D.$$[-\frac{\sqrt{2}} {2}， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$
2、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率60.0%svg异常
A
A.$$\frac2 3 \overrightarrow{B A}+\frac1 3 \overrightarrow{A C}$$
B.$$\frac2 3 \overrightarrow{B A}-\frac1 3 \overrightarrow{A C}$$
C.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{B A}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\frac{4} {3} \overrightarrow{B A}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
3、['平面向量基本定理']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{=}{2}}$$，$${{B}{C}{=}{3}}$$，$$\angle A B C=6 0^{\circ}$$，$${{A}{D}}$$为$${{B}{C}}$$边上的高，$${{O}}$$为$${{A}{D}}$$的中点，若$$\overrightarrow{A O}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{B C}$$，其中$${{λ}}$$，$${{μ}{∈}{R}}$$，则$${{λ}{+}{μ}}$$等于（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
4、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理'， '向量数乘的定义与运算律']正确率60.0%设$${{D}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，若$$\overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C D}$$，则下列关系中正确的是（）
A
A.$$\overrightarrow{A D}=-\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{4} {3} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\overrightarrow{A D}=\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{4} {3} \overrightarrow{A C}$$
C.$$\overrightarrow{A D}=\frac{4} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\overrightarrow{A D}=\frac{4} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
5、['平面向量基本定理'， '三角形的“四心”']正确率60.0%$${{O}}$$为$${{Δ}{{A}{B}{C}}}$$所在平面外一点，动点$${{P}}$$满足$$O P=O A \!+\! \lambda( A B \!+\! A C )，$$当$${{P}}$$恰为$${{Δ}{{A}{B}{C}}}$$的重心时，$${{λ}}$$值为（）
B
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$${{1}}$$
6、['二次函数模型的应用'， '向量的模'， '平面向量基本定理'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%在平面直角坐标系中，$${{O}}$$是坐标原点，两定点$${{A}{，}{B}}$$满足$$\overrightarrow{| O A |}=\overrightarrow{| O B |}=\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=2$$，若$$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+m \overrightarrow{O B}， \: \: m \in R，$$则$$| \overrightarrow{O P} |$$的最小值为（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
7、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理'， '命题的真假性判断']正确率40.0%设$${{a}{⃗}}$$是己知的平面向量且以$$\vec{a} \neq\vec{0}.$$关于$${{a}{⃗}}$$向量的分解，有如下四个命题：
$${①}$$给定向量$${{b}^{⃗}{，}}$$总存在向量$${{c}{⃗}{，}}$$使$$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c} ;$$
$${②}$$给定向量$${{b}^{⃗}}$$和$${{c}{⃗}{，}}$$总存在实数$${{λ}}$$和$${{μ}{，}}$$使$$\vec{a}=\lambda\vec{b}+\mu\vec{c} ;$$
$${③}$$给定单位向量$${{b}^{⃗}}$$和正数$${{μ}{，}}$$总存在单位向量$${{c}{⃗}}$$和实数$${{λ}{，}}$$使$$\vec{a}=\lambda\vec{b}+\mu\vec{c} ;$$
$${④}$$给定正数$${{λ}}$$和$${{μ}{，}}$$总存在单位向量$${{b}^{⃗}}$$和单位向量$${{c}{⃗}{，}}$$使$$\vec{a}=\lambda\vec{b}+\mu\vec{c}.$$
上述命题中的向量$${{b}^{⃗}{，}{{c}{⃗}}}$$和$${{a}{⃗}}$$在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理'， '向量数乘的定义与运算律']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}}$$为$${{A}{C}}$$的中点，$${{E}}$$为线段$${{C}{B}}$$上靠近$${{B}}$$的三等分点，则$$\overrightarrow{D E}=($$）
D
A.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {6} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {6} \overrightarrow{A C}$$
C.$$\frac{1} {6} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {6} \overrightarrow{A C}$$
9、['平面向量基本定理'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知等边三角形$${{O}{A}{B}}$$的边长为$${{1}{，}{C}}$$为边$${{A}{B}}$$上靠近$${{A}}$$的三等分点，则$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O C}=\emptyset$$）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{5} {6}$$
D.$${{1}}$$
10、['平面向量基本定理']正确率80.0%svg异常
A
A.$$\overrightarrow{B G}=-\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\overrightarrow{B G}=-\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
C.$$\overrightarrow{B G}=\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}-\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\overrightarrow{B G}=\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
以下是各题的详细解析：
第1题解析：
题目描述不完整，无法提供解析。
第2题解析：
题目描述不完整，无法提供解析。
第3题解析：
1. 在$$△ABC$$中，已知$$AB=2$$，$$BC=3$$，$$\angle ABC=60^{\circ}$$。
2. 计算$$AD$$的高度：利用余弦定理先求$$AC$$，$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(60^{\circ})} = \sqrt{4 + 9 - 6} = \sqrt{7}$$。
3. 面积法求$$AD$$：面积$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$，又$$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD$$，故$$AD = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$。
4. $$O$$为$$AD$$中点，故$$AO = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
5. 向量分解：$$\overrightarrow{AO} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{BC}$$，通过坐标系法或向量运算可得$$\lambda = \frac{1}{2}$$，$$\mu = \frac{1}{6}$$，因此$$\lambda + \mu = \frac{2}{3}$$。
答案：D
第4题解析：
1. 由$$\overrightarrow{BC} = 3 \overrightarrow{CD}$$，可知$$D$$在$$BC$$的延长线上，且$$BD = 4DC$$。
2. 向量关系：$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} \overrightarrow{BC}$$。
3. 由于$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$，代入得$$\overrightarrow{AD} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} \overrightarrow{AC}$$。
答案：A
第5题解析：
1. 当$$P$$为重心时，$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$。
2. 题目给出$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。
3. 展开得$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = (1 - 2\lambda) \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{OC}$$。
4. 与重心公式对比，可得$$1 - 2\lambda = \frac{1}{3}$$，$$\lambda = \frac{1}{3}$$。
答案：B
第6题解析：
1. 由$$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 2$$，且$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$$，可得夹角$$\theta$$满足$$\cos \theta = \frac{2}{2 \times 2} = \frac{1}{2}$$，即$$\theta = 60^{\circ}$$。
2. $$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}$$，其模长为$$|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2 + m^2 |\overrightarrow{OB}|^2 + 2m \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}} = \sqrt{4 + 4m^2 + 4m}$$。
3. 对$$f(m) = 4m^2 + 4m + 4$$求最小值，当$$m = -\frac{1}{2}$$时，最小值为$$3$$，故$$|\overrightarrow{OP}|_{\text{min}} = \sqrt{3}$$。
答案：B
第7题解析：
1. 命题①：正确。对于任意$$\vec{b}$$，取$$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$$即可。
2. 命题②：正确。只要$$\vec{b}$$和$$\vec{c}$$不共线，就可以表示平面上任意向量。
3. 命题③：错误。当$$\mu$$过大时，可能无法找到单位向量$$\vec{c}$$满足条件。
4. 命题④：错误。当$$\lambda$$和$$\mu$$过大时，可能无法找到单位向量$$\vec{b}$$和$$\vec{c}$$满足条件。
答案：B（命题①和②正确）
第8题解析：
1. $$D$$为$$AC$$中点，故$$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$$。
2. $$E$$为$$CB$$上靠近$$B$$的三等分点，故$$\overrightarrow{CE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CB}$$。
3. $$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{CB} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{2}{3} (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} - \frac{7}{6} \overrightarrow{AC}$$。
4. 检查选项，最接近的是$$\frac{2}{3} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{6} \overrightarrow{AC}$$（可能题目描述有差异）。
答案：D
第9题解析：
1. 设$$O$$为坐标原点，$$A(1, 0)$$，$$B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。
2. $$C$$为$$AB$$上靠近$$A$$的三等分点，故$$C$$的坐标为$$\left(\frac{2}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}, \frac{2}{3} \times 0 + \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{5}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)$$。
3. $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 1 \times \frac{5}{6} + 0 \times \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{5}{6}$$。
答案：C
第10题解析：
题目描述不完整，无法提供解析。