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正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 1， \ 3 )，$$则下列向量中与$${{a}}$$垂直的是（）
D
A.$$( 0， \ 1 )$$
B.$$(-3， ~-1 )$$
C.$$( 3， ~ 1 )$$
D.$$(-3， ~ 1 )$$
2、['向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知两点$$A ~ ( \mathrm{\ensuremath{~-~ 1， ~ 2 ) ~}} ~， ~ B ~ ( \mathrm{\ensuremath{~ 3， ~-6 ~}} )$$，则与向量$$\overrightarrow{A B}$$垂直的一个向量是（）
A
A.
B.$$( \mathbf{\alpha}-2， \ \mathbf{1} )$$
C.$$( 1， \ 4 )$$
D.$$( 1， ~-4 )$$
3、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \ -1， \ 1 ) \， \ \overrightarrow{b}=\ ( \ 2， \ x )$$若$$\overrightarrow{a} \perp( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \;，$$则实数$${{x}}$$的值为（）
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
4、['向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-3， 4 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 4， 3 )，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}{(}{)}}$$
A
A.垂直
B.不垂直也不平行
C.平行且同向
D.平行且反向
5、['向量的模'， '数量积的性质'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率40.0%已知向量$$\to， ~ \to， ~ \to$$满足$$| \overrightarrow{a} |=| \overrightarrow{b} |=2， \; | \overrightarrow{c} |=1， \; \; \; ( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} ) \; \; \cdot\; ( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} ) \; \;=0$$，则$$| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$的取值范围为（）
A
A.$$[ \sqrt{7}-1， ~ \sqrt{7}+1 ]$$
B.$$( \sqrt{7}-1， \ \sqrt{7}+1 )$$
C.$$[ 1， \ 2 ]$$
D.$$( 1， \ 2 )$$
6、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的数量积的定义'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知$$m > 0， n > 0$$，向量$$\vec{a}=\left( m， 1 \right)， \vec{b}=\left( 1， n-1 \right)$$且$$\vec{a} \perp\vec{b}，$$则$$\frac1 m+\frac2 n$$的最小值是（）
C
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{4}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '共线向量基本定理'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%设向量$${{a}{⃗}}$$与向量$${{b}^{⃗}}$$垂直，且$$\vec{a}=( 2， k )， \， \， \， \vec{b}=( 6， 4 )$$，则下列向量与向量$${{a}{⃗}{+}{{b}^{⃗}}}$$共线的是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 1， 8 )$$
B.$$( \mathrm{-1 6}，-2 )$$
C.$$( 1，-8 )$$
D.$$(-1 6， 2 )$$
8、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-3， 4 ) \，. \， \overrightarrow{b}=(-1， 0 ) \，.$$向量$${{λ}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}}$$垂直，则实数$${{λ}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$- \frac{3} {2 5}$$
B.$$\frac{1} {2 7}$$
C.$$\frac{3} {2 5}$$
D.$$\frac{1} {2 6}$$
9、['向量坐标与向量的数量积'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{O A}=(-1， 2 )， \; \; \overrightarrow{O B}=( 3， m ).$$若$$\overrightarrow{O A \perp A B}，$$则$${{m}}$$的值是（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{3} {2}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{−}{4}}$$
10、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知$$\vec{a} \，=( 1， 2 )， \， \， \， \vec{b} \，=( 3， 4 )， \， \， \， \left( \vec{a} \，+2 \vec{b} \， \right) \pm\left( \lambda\vec{a} \，-\vec{b} \， \right)，$$则$${{λ}{=}{（}}$$）
B
A.$$- \frac{6 1} {2 7}$$
B.$$\frac{6 1} {2 7}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
1. 已知向量 $$\boldsymbol{a} = (1, 3)$$，两向量垂直的条件是点积为0。计算各选项与 $$\boldsymbol{a}$$ 的点积：
A. $$(1, 3) \cdot (0, 1) = 1 \times 0 + 3 \times 1 = 3 \neq 0$$
B. $$(1, 3) \cdot (-3, -1) = 1 \times (-3) + 3 \times (-1) = -3 - 3 = -6 \neq 0$$
C. $$(1, 3) \cdot (3, 1) = 1 \times 3 + 3 \times 1 = 3 + 3 = 6 \neq 0$$
D. $$(1, 3) \cdot (-3, 1) = 1 \times (-3) + 3 \times 1 = -3 + 3 = 0$$
结果：D
2. 已知点 $$A(-1, 2)$$ 和 $$B(3, -6)$$，向量 $$\overrightarrow{AB} = (3 - (-1), -6 - 2) = (4, -8)$$。两向量垂直的条件是点积为0。计算各选项与 $$\overrightarrow{AB}$$ 的点积：
A. $$(4, -8) \cdot (2, 1) = 4 \times 2 + (-8) \times 1 = 8 - 8 = 0$$
B. $$(4, -8) \cdot (-2, 1) = 4 \times (-2) + (-8) \times 1 = -8 - 8 = -16 \neq 0$$
C. $$(4, -8) \cdot (1, 4) = 4 \times 1 + (-8) \times 4 = 4 - 32 = -28 \neq 0$$
D. $$(4, -8) \cdot (1, -4) = 4 \times 1 + (-8) \times (-4) = 4 + 32 = 36 \neq 0$$
结果：A
3. 已知 $$\overrightarrow{a} = (-1, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (2, x)$$，且 $$\overrightarrow{a} \perp (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$$。计算 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (-1 + 2, 1 + x) = (1, 1 + x)$$。垂直条件为点积为0：
$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = (-1, 1) \cdot (1, 1 + x) = (-1) \times 1 + 1 \times (1 + x) = -1 + 1 + x = x = 0$$
结果：A
4. 已知 $$\overrightarrow{a} = (-3, 4)$$，$$\overrightarrow{b} = (4, 3)$$。计算点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-3) \times 4 + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0$$。点积为0，故两向量垂直。
结果：A
5. 已知 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 2$$，$$|\overrightarrow{c}| = 1$$，且 $$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) = 0$$。展开点积：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c} = 0$$
即 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} + 1 = 0$$
设 $$\theta$$ 为 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{b}$$ 夹角，则 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \cos \theta$$。又 $$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 + 4 - 8 \cos \theta = 8 - 8 \cos \theta$$。
由点积条件得 $$4 \cos \theta - (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} + 1 = 0$$，即 $$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = 4 \cos \theta + 1$$。
由于 $$|\overrightarrow{c}| = 1$$，有 $$|(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}| \leq |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|$$，即 $$|4 \cos \theta + 1| \leq |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|$$。
又 $$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = 4 + 4 + 8 \cos \theta = 8 + 8 \cos \theta$$，故 $$|4 \cos \theta + 1| \leq \sqrt{8 + 8 \cos \theta}$$。
两边平方得 $$(4 \cos \theta + 1)^2 \leq 8 + 8 \cos \theta$$，即 $$16 \cos^2 \theta + 8 \cos \theta + 1 \leq 8 + 8 \cos \theta$$，化简得 $$16 \cos^2 \theta \leq 7$$，即 $$|\cos \theta| \leq \frac{\sqrt{7}}{4}$$。
代入 $$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 8 - 8 \cos \theta$$，当 $$\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$$ 时最小，$$\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$$ 时最大：
最小值：$$8 - 8 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 8 - 2\sqrt{7}$$，故 $$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} - 1)^2} = \sqrt{7} - 1$$
最大值：$$8 - 8 \times (-\frac{\sqrt{7}}{4}) = 8 + 2\sqrt{7}$$，故 $$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} + 1)^2} = \sqrt{7} + 1$$
结果：A
6. 已知 $$\vec{a} = (m, 1)$$，$$\vec{b} = (1, n - 1)$$，且 $$\vec{a} \perp \vec{b}$$，故点积为0：$$m \times 1 + 1 \times (n - 1) = m + n - 1 = 0$$，即 $$m + n = 1$$。
求 $$\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$$ 最小值，其中 $$m > 0$$，$$n > 0$$。由 $$m + n = 1$$ 得 $$n = 1 - m$$，代入：
$$\frac{1}{m} + \frac{2}{1 - m}$$，定义域 $$0 < m < 1$$。
令 $$f(m) = \frac{1}{m} + \frac{2}{1 - m}$$，求导：$$f'(m) = -\frac{1}{m^2} + \frac{2}{(1 - m)^2}$$。
令导数为0：$$-\frac{1}{m^2} + \frac{2}{(1 - m)^2} = 0$$，即 $$\frac{2}{(1 - m)^2} = \frac{1}{m^2}$$，故 $$2m^2 = (1 - m)^2$$，即 $$\sqrt{2}m = 1 - m$$（取正），解得 $$m = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$$，$$n = 1 - m = \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$$。
代入得最小值：$$\frac{1}{m} + \frac{2}{n} = 1 + \sqrt{2} + \frac{2(1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$$。
结果：C
7. 已知 $$\vec{a} = (2, k)$$，$$\vec{b} = (6, 4)$$，且 $$\vec{a} \perp \vec{b}$$，故点积为0：$$2 \times 6 + k \times 4 = 12 + 4k = 0$$，解得 $$k = -3$$。
则 $$\vec{a} = (2, -3)$$，$$\vec{a} + \vec{b} = (2 + 6, -3 + 4) = (8, 1)$$。
两向量共线即对应分量成比例。计算各选项与 $$(8, 1)$$ 的比值：
A. $$\frac{8}{1} = 8$$，$$\frac{1}{8} = 0.125$$，不相等
B. $$\frac{8}{-16} = -0.5$$，$$\frac{1}{-2} = -0.5$$，相等
C. $$\frac{8}{1} = 8$$，$$\frac{1}{-8} = -0.125$$，不相等
D. $$\frac{8}{-16} = -0.5$$，$$\frac{1}{2} = 0.5$$，不相等
结果：B
8. 已知 $$\overrightarrow{a} = (-3, 4)$$，$$\overrightarrow{b} = (-1, 0)$$，且 $$\lambda \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{a}$$ 垂直，故点积为0：
$$(\lambda \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = \lambda |\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = 0$$
计算 $$|\overrightarrow{a}|^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$，$$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (-1) \times (-3) + 0 \times 4 = 3$$
代入得 $$25\lambda + 3 = 0$$，解得 $$\lambda = -\frac{3}{25}$$
结果：A
9. 已知 $$\overrightarrow{OA} = (-1, 2)$$，$$\overrightarrow{OB} = (3, m)$$，且 $$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{AB}$$。计算 $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3 - (-1), m - 2) = (4, m - 2)$$。
垂直条件为点积为0：$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-1, 2) \cdot (4, m - 2) = (-1) \times 4 + 2 \times (m - 2) = -4 + 2m - 4 = 2m - 8 = 0$$
解得 $$m = 4$$
结果：C
10. 已知 $$\vec{a} = (1, 2)$$，$$\vec{b} = (3, 4)$$，且 $$(\vec{a} + 2\vec{b}) \perp (\lambda \vec{a} - \vec{b})$$，故点积为0：
$$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\lambda \vec{a} - \vec{b}) = \lambda |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} + 2\lambda \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 0$$
计算 $$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 = 5$$，$$|\vec{b}|^2 = 3^2 + 4^2 = 25$$，$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 2 \times 4 = 11$$
代入得：$$\lambda \times 5 - 11 + 2\lambda \times 11 - 2 \times 25 = 5\lambda - 11 + 22\lambda - 50 = 27\lambda - 61 = 0$$
解得 $$\lambda = \frac{61}{27}$$
结果：B