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正确率80.0%若$${{a}{=}{(}{1}{，}{−}{1}{)}{，}}$$则$${{|}{a}{|}{=}}$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
5、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个顶点坐标分别为$${{A}{（}{1}{，}{1}{）}{，}{B}{（}{−}{3}{，}{3}{）}{，}{C}{（}{4}{，}{2}{）}}$$，则向量$$\overrightarrow{A B}$$在$$\overrightarrow{A C}$$方向上的投影为（）
B
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$${{−}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
6、['平面向量的正交分解和坐标表示']正确率60.0%若$${{i}{，}{j}}$$分别为与$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴方向相同的单位向量，取｛$${{i}{，}{j}}$$｝作为基底，设$${{a}{=}{(}{{x}^{2}}{+}{x}{+}{1}{)}{i}{−}{(}{{x}^{2}}{−}{x}{+}{1}{)}{j}}$$(其中$${{x}{∈}{R}{)}{，}}$$则向量$${{a}}$$的坐标对应的点位于（）
D
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三象限
D.第四象限
8、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算']正确率60.0%已知$${{A}{(}{1}{，}{1}{)}{，}{B}{(}{−}{2}{，}{2}{)}{，}{O}}$$是坐标原点，则$$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=( \slash{} )$$
D
A.$${{(}{−}{1}{，}{3}{)}}$$
B.$${{(}{3}{，}{−}{1}{)}}$$
C.$${{(}{1}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{−}{2}{，}{2}{)}}$$
10、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知$${{A}{、}{B}}$$为平面上的两个定点，且$$| \overrightarrow{A B} |=2$$，该平面上的动线段$${{P}{Q}}$$的端点$${{P}{、}{Q}}$$，满足$$\overrightarrow{| A P |} \leqslant5， \， \， \， \overrightarrow{A P} \cdot\overrightarrow{A B}=6， \， \， \， \overrightarrow{A Q}=3 \overrightarrow{P A}$$，则动线段$${{P}{Q}}$$所形成图形的面积为（）
D
A.$${{4}{8}}$$
B.$${{7}{2}}$$
C.$${{9}{6}}$$
D.$${{1}{2}{0}}$$
1. 解析：向量$${a=(1, -1)}$$的模为$${|a|=\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}}$$，故选B。
步骤1：计算向量$$\overrightarrow{AB}$$和$$\overrightarrow{AC}$$的坐标：
$$\overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - 1, 3 - 1) = (-4, 2)$$
$$\overrightarrow{AC} = C - A = (4 - 1, 2 - 1) = (3, 1)$$
步骤2：计算$$\overrightarrow{AB}$$在$$\overrightarrow{AC}$$方向上的投影：
投影公式为$$\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$
点积$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4) \times 3 + 2 \times 1 = -12 + 2 = -10$$
$$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$$
投影为$$\frac{-10}{\sqrt{10}} = -\sqrt{10}$$，故选B。
向量$${a}$$的坐标为$${(x^2 + x + 1, -(x^2 - x + 1))}$$。
分析$${x^2 + x + 1}$$和$${-(x^2 - x + 1)}$$的符号：
1. $$x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$$恒成立。
2. $$-(x^2 - x + 1) = -\left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) - \frac{3}{4} = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{4} < 0$$恒成立。
因此，向量$${a}$$的坐标对应的点位于第四象限，故选D。
向量$$\overrightarrow{OA} = (1, 1)$$，向量$$\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 1, 2 - 1) = (-3, 1)$$。
$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = (1 + (-3), 1 + 1) = (-2, 2)$$，故选D。
设定坐标系使$${A}$$为原点，$${B}$$在$${x}$$轴上，则$${B=(2, 0)}$$。
设$${P=(x, y)}$$，由条件$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB} = 6$$得$${2x = 6}$$，即$${x=3}$$。
由$${|\overrightarrow{AP}| \leq 5}$$得$${\sqrt{x^2 + y^2} \leq 5}$$，代入$${x=3}$$得$${y^2 \leq 16}$$，即$${y \in [-4, 4]}$$。
由$$\overrightarrow{AQ} = 3 \overrightarrow{PA}$$得$${Q = A + 3(P - A) = 3P - 2A = (9, 3y)}$$。
动线段$${PQ}$$的端点$${P=(3, y)}$$，$${Q=(9, 3y)}$$，$${y \in [-4, 4]}$$。
$${PQ}$$的轨迹为直线$${x=3}$$到$${x=9}$$的平移，形成平行四边形，面积为底乘高：
底为$${9-3=6}$$，高为$${3 \times 4 - (-4) = 16}$$，但更准确的计算为：
$${PQ}$$的斜率为$$\frac{3y - y}{9 - 3} = \frac{2y}{6} = \frac{y}{3}$$，但面积可通过参数化计算。
更简单的方法是注意到$${Q}$$的纵坐标范围是$${3 \times [-4, 4] = [-12, 12]}$$，因此高度为$${12 - (-12) = 24}$$，底为$${6}$$，面积为$${6 \times 24 = 144}$$，但选项中没有。
重新分析：$${P}$$在$${x=3}$$上，$${y \in [-4, 4]}$$，$${Q}$$在$${x=9}$$上，$${y_Q \in [-12, 12]}$$。
动线段$${PQ}$$扫过的区域是$${x \in [3, 9]}$$，$${y}$$从$${\frac{x-3}{6} \times (-12)}$$到$${\frac{x-3}{6} \times 12}$$，即$${y \in [-2(x-3), 2(x-3)]}$$。
这是一个菱形，面积为$${\frac{1}{2} \times 6 \times 24 = 72}$$，故选B。