.jpg)
正确率60.0%若$$\boldsymbol{a}=( 1， \ 1 )， \ b=( 1， \ -1 )，$$$$\mathbf{c}=(-2， \ 4 )，$$则以$${{a}{，}{b}}$$为基底时$${{c}{=}}$$（）
A
A.$${{a}{−}{3}{b}}$$
B.$$- a+3 b$$
C.$${{3}{a}{−}{b}}$$
D.$$- 3 a+b$$
2、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%设$${{i}}$$，$${{j}}$$是平面直角坐标系内分别与$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴正方向同向的单位向量，$${{O}}$$为坐标原点，若$$\overrightarrow{O A}$$$$= i+2 j$$，$$\overrightarrow{O B}$$$$= 3 i+4 j$$，则$$3 \overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}$$的坐标是（）
B
A.$${{(}{8}}$$，$${{1}{1}{)}}$$
B.$${{(}{9}}$$，$${{1}{4}{)}}$$
C.$${{(}{7}}$$，$${{6}{)}}$$
D.$${{(}{−}{5}}$$，$${{−}{2}{)}}$$
3、['双曲线的渐近线'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率19.999999999999996%已知点$${{P}}$$是双曲线$$C \colon~ \frac{y^{2}} {2}-\frac{x^{2}} {4}=1$$的一条渐近线上一点，$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是双曲线的下焦点和上焦点，且以$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$为直径的圆经过点$${{P}}$$，则点$${{P}}$$到$${{y}}$$轴的距离为（）
D
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$是直角边长为$${{2}}$$的等腰直角三角形，且$${{A}}$$为直角顶点，$${{P}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$内一点，则$$\overrightarrow{P A} \cdot( \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} )$$的最小值是（）
D
A.$${{−}{2}}$$
B.$$- \frac{3} {2}$$
C.$$- \frac{4} {3}$$
D.$${{−}{1}}$$
5、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '向量的模'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{O A}=( 3， 1 )， \overrightarrow{O B}=(-1， 3 )， \ \overrightarrow{O C}=m \overrightarrow{O A}-n \overrightarrow{O B} ( m > 0， n > 0 ).$$若$$m+n=1$$，则$$| \overrightarrow{O C} |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
6、['直线与圆的方程的应用'， '数量积的运算律'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%已知边长为$${{2}}$$的正三角形$$A B C， ~ P， ~ M$$满足$$| A P |=1， \， \， \， \overrightarrow{P M}=\overrightarrow{M C}$$，则$$\overrightarrow{B M}^{2}$$的最小值是（）
C
A.$$\frac{9-2 \sqrt{3}} {4}$$
B.$$\frac{1 1-3 \sqrt{3}} {4}$$
C.$$\frac{1 3-4 \sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{1 5-5 \sqrt{3}} {4}$$
7、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=\left( 2， 3 \right)， \vec{b}=\left( 1，-2 \right)， \vec{c}=\left( 3，-1 \right)，$$若$$\left( \lambda\vec{a}+\vec{b} \right) \bot\vec{c}，$$则实数$${{λ}{=}}$$
A
A.$$- \frac{5} {3}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$- \frac{5} {6}$$
D.$$\frac{5} {6}$$
8、['向量坐标与向量的数量积'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-y^{2}=1 ( a > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，$${{A}_{1}{，}{{A}_{2}}}$$分别是$${{C}}$$的左$${、}$$右顶点．若$${{C}}$$上的一点$$N ( x_{0}， y_{0} )$$满足$$\overrightarrow{N A_{1}} \cdot\overrightarrow{N A_{2}}=1，$$则$$\overrightarrow{N F_{1}} \cdot\overrightarrow{N F_{2}}=\c($$）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
9、['平面向量坐标运算的综合应用'， '圆锥曲线的最值（范围）问题'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%已知$${{M}{，}{N}}$$是圆$$O_{:} ~ x^{2}+y^{2}=4$$上两点，点$$P ~ ( 1， ~ 2 )$$，且$$\overrightarrow{P M} \cdot\overrightarrow{P N}=0，$$则$$| \overrightarrow{M N} |$$的最小值为（）
B
A.$$\sqrt{5}-1$$
B.$$\sqrt{5}-\sqrt{3}$$
C.$$\sqrt6-\sqrt3$$
D.$$\sqrt6-\sqrt2$$
10、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ 0 ) \， \，， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( \b-1， \ 1 )$$则（）
D
A.$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$
B.$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$
C.$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) / / \overrightarrow{b}$$
D.$$( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) / \perp\overrightarrow{a}$$
1. 设 $$c = x a + y b$$，即 $$(-2, 4) = x(1, 1) + y(1, -1)$$。得到方程组： $$x + y = -2$$ $$x - y = 4$$ 解得 $$x = 1$$，$$y = -3$$，因此 $$c = a - 3b$$。答案为 A。
2. 由题意，$$\overrightarrow{O A} = (1, 2)$$，$$\overrightarrow{O B} = (3, 4)$$。则 $$3 \overrightarrow{O A} + 2 \overrightarrow{O B} = 3(1, 2) + 2(3, 4) = (3 + 6, 6 + 8) = (9, 14)$$。答案为 B。
3. 双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$$。以 $$F_1F_2$$ 为直径的圆方程为 $$x^2 + y^2 = c^2$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6}$$。联立渐近线方程和圆的方程，解得 $$x = \pm 2$$。点 $$P$$ 到 $$y$$ 轴的距离为 $$|x| = 2$$。答案为 D。
4. 建立坐标系，设 $$A(0, 0)$$，$$B(2, 0)$$，$$C(0, 2)$$，$$P(x, y)$$。则 $$\overrightarrow{P A} \cdot (\overrightarrow{P B} + \overrightarrow{P C}) = (-x, -y) \cdot (2 - 2x, 2 - 2y) = -x(2 - 2x) - y(2 - 2y) = 2x^2 + 2y^2 - 2x - 2y$$。最小值为 $$-1$$。答案为 D。
5. 由题意，$$\overrightarrow{O C} = m(3, 1) - n(-1, 3) = (3m + n, m - 3n)$$。由于 $$m + n = 1$$，设 $$n = 1 - m$$，则 $$\overrightarrow{O C} = (4m - 1, 4m - 3)$$。$$|\overrightarrow{O C}| = \sqrt{(4m - 1)^2 + (4m - 3)^2} = \sqrt{32m^2 - 32m + 10}$$。最小值为 $$\frac{\sqrt{10}}{2}$$。答案为 B。
6. 建立坐标系，设 $$A(0, 0)$$，$$B(2, 0)$$，$$C(1, \sqrt{3})$$。$$P$$ 在单位圆上，设 $$P(\cos \theta, \sin \theta)$$。由 $$\overrightarrow{P M} = \overrightarrow{M C}$$，得 $$M$$ 为 $$PC$$ 中点，坐标为 $$\left(\frac{1 + \cos \theta}{2}, \frac{\sqrt{3} + \sin \theta}{2}\right)$$。$$\overrightarrow{B M}^2 = \left(\frac{\cos \theta - 3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3} + \sin \theta}{2}\right)^2$$。最小值为 $$\frac{13 - 4\sqrt{3}}{4}$$。答案为 C。
7. $$\lambda \vec{a} + \vec{b} = (2\lambda + 1, 3\lambda - 2)$$。由 $$(\lambda \vec{a} + \vec{b}) \perp \vec{c}$$，得 $$(2\lambda + 1) \cdot 3 + (3\lambda - 2) \cdot (-1) = 0$$，解得 $$\lambda = \frac{5}{6}$$。答案为 D。
8. 双曲线的焦点为 $$F_1(-c, 0)$$，$$F_2(c, 0)$$，顶点为 $$A_1(-a, 0)$$，$$A_2(a, 0)$$。由 $$\overrightarrow{N A_1} \cdot \overrightarrow{N A_2} = (x_0 + a)(x_0 - a) + y_0^2 = x_0^2 - a^2 + y_0^2 = 1$$。又 $$N$$ 在双曲线上，满足 $$\frac{x_0^2}{a^2} - y_0^2 = 1$$。联立解得 $$x_0^2 + y_0^2 = a^2 + 1$$。$$\overrightarrow{N F_1} \cdot \overrightarrow{N F_2} = (x_0 + c)(x_0 - c) + y_0^2 = x_0^2 + y_0^2 - c^2 = a^2 + 1 - (a^2 + 1) = 0$$。答案为 B。
9. 设 $$M$$ 和 $$N$$ 在圆 $$x^2 + y^2 = 4$$ 上，$$\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{P N} = 0$$ 表示 $$PM \perp PN$$，即 $$P$$ 在以 $$MN$$ 为直径的圆上。设 $$MN$$ 的中点为 $$Q$$，则 $$|PQ| = \frac{|MN|}{2}$$。最小值为 $$\sqrt{5} - 1$$。答案为 A。
10. $$\overrightarrow{a} = (1, 0)$$，$$\overrightarrow{b} = (-1, 1)$$。$$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (0, 1)$$，与 $$\overrightarrow{a}$$ 垂直。答案为 D。