1、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率80.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{D}}$$是$${{A}{B}}$$的中点，$${{E}}$$是$${{C}{D}}$$的中点，若$$\overrightarrow{A E}=\lambda\overrightarrow{C A}+\mu\overrightarrow{C B}$$，则$$\lambda+\mu=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
A.$$- \frac{3} {4}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$${{1}}$$
2、['共线向量基本定理'， '平面向量基本定理']正确率40.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，点$${{E}{，}{F}}$$分别为线段$$B C， ~ A B$$的中点，直线$${{A}{E}}$$与直线$${{D}{F}}$$交于点$${{P}{，}}$$则$$\frac{| \overrightarrow{A P} |} {| \overrightarrow{P E} |}=$$（）
B
A.$$\frac{2} {5}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
3、['平面向量基本定理'， '向量的线性运算']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$${，{A}{D}}$$为$${{B}{C}}$$边上的中线，且$$\overrightarrow{A E}=2 \overrightarrow{E D}，$$则$$\overrightarrow{B E}=$$（）
A
A.$$- \frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\frac2 3 \overrightarrow{A B}+\frac1 3 \overrightarrow{A C}$$
C.$$- \frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
D.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
4、['平面向量基本定理'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%在下列各组向量中，可以作为一组基底的是（）
D
A.$$\boldsymbol{e_{1}}=( 0， 0 )， \， \， \， \boldsymbol{e_{2}}=( 1， 1 )$$
B.$$\boldsymbol{e}_{1}=(-1， 2 )， \， \， \， \boldsymbol{e}_{2}=( 5，-1 0 )$$
C.$$\boldsymbol{e_{1}}=( 3， 5 )， ~ \boldsymbol{e_{2}}=(-3，-5 )$$
D.$$\boldsymbol{e}_{1}=( 2，-3 )， \ \boldsymbol{e}_{2}=\left( 2，-\frac{3} {4} \right)$$
6、['平面向量基本定理'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{| O A |}=| \overrightarrow{O B} |=3， \; \; \overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=0，$$点$${{C}}$$满足$$\overrightarrow{O C}=\lambda\overrightarrow{O A}+\mu\overrightarrow{O B} ( \lambda， \ \mu\in{\bf R}^{+} )，$$且$$\angle A O C=6 0^{\circ}，$$则$$\frac{\lambda} {\mu}$$等于（）
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
7、['向量加法的定义及运算法则'， '平面向量基本定理']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{D}}$$为$${{B}{C}}$$边上的中线，$${{E}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，则$$\overrightarrow{A E}=($$）
A
A.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}$$
B.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}$$
C.$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{A B}+{\frac{1} {2}} \overrightarrow{A C}$$
D.$${\frac{1} {4}} \overrightarrow{A B}+{\frac{1} {4}} \overrightarrow{A C}$$
8、['平面向量基本定理'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '向量的线性运算']正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle A C B=9 0^{\circ}， \， \， \， A C=3， \， \， \， B C=4， \， \， \， C D \perp A B$$，垂足为$${{D}}$$，则$$\overrightarrow{C D}=($$）
C
A.$$\frac{4} {7} \overrightarrow{C A}+\frac{3} {7} \overrightarrow{C B}$$
B.$$\frac{3} {7} \overrightarrow{C A}+\frac{4} {7} \overrightarrow{C B}$$
C.$$\frac{1 6} {2 5} \overrightarrow{C A}+\frac{9} {2 5} \overrightarrow{C B}$$
D.$$\frac{9} {2 5} \overrightarrow{C A}+\frac{1 6} {2 5} \overrightarrow{C B}$$
9、['共线向量基本定理'， '平面向量基本定理']正确率40.0%已知$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$是直线$${{l}}$$上的三个不同的点，点$${{O}}$$不在$${{l}}$$上，若存在实数$${{x}}$$使得$$x^{2} \overrightarrow{O A}+2 x \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B C}$$$${{=}{0}}$$，则实数$${{x}}$$的值为 （）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{0}}$$
C.$$\frac{-1+\sqrt{5}} {2}$$
D.$${{0}}$$或$${{−}{2}}$$
10、['平面向量基本定理']正确率19.999999999999996%在△ABC中，点D满足$$\overrightarrow{B D}=\frac{3} {4} \overrightarrow{B C}$$，点E是线段AD上的一个动点，若$$\overrightarrow{A E}=\lambda\overrightarrow{A B}+\mu\overrightarrow{A C}$$，则t=（λ-1） 2+μ 2的最小值是（ ）
C
A.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{8 2}} {4}$$
C.$$\frac{9} {1 0}$$
D.$$\frac{4 1} {8}$$
1. 解析：
在 $$△ABC$$ 中，设 $$C$$ 为坐标原点，$$\overrightarrow{CA} = \mathbf{a}$$，$$\overrightarrow{CB} = \mathbf{b}$$。由于 $$D$$ 是 $$AB$$ 的中点，$$\overrightarrow{CD} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$$。又 $$E$$ 是 $$CD$$ 的中点，$$\overrightarrow{CE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{4}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$$。因此，$$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{CA} = \frac{1}{4}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) - \mathbf{a} = -\frac{3}{4}\mathbf{a} + \frac{1}{4}\mathbf{b}$$。对比 $$\overrightarrow{AE} = \lambda\mathbf{a} + \mu\mathbf{b}$$，得 $$\lambda = -\frac{3}{4}$$，$$\mu = \frac{1}{4}$$，所以 $$\lambda + \mu = -\frac{1}{2}$$。答案为 B。
2. 解析：
设平行四边形 $$ABCD$$ 的顶点坐标为 $$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$C(2,2)$$，$$D(0,2)$$。$$E$$ 为 $$BC$$ 中点，坐标为 $$(2,1)$$；$$F$$ 为 $$AB$$ 中点，坐标为 $$(1,0)$$。直线 $$AE$$ 的方程为 $$y = \frac{1}{2}x$$，直线 $$DF$$ 的方程为 $$y = -2x + 2$$。联立解得交点 $$P\left(\frac{4}{5}, \frac{2}{5}\right)$$。计算 $$\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PE}|} = \frac{\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2}}{\sqrt{\left(2 - \frac{4}{5}\right)^2 + \left(1 - \frac{2}{5}\right)^2}} = \frac{2}{3}$$。答案为 B。
3. 解析：
在 $$△ABC$$ 中，$$AD$$ 为中线，$$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。由 $$\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{ED}$$，得 $$\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$。因此，$$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$。答案为 A。
4. 解析：
基底要求两个向量不共线。选项 D 中，$$\boldsymbol{e}_1 = (2,-3)$$ 和 $$\boldsymbol{e}_2 = \left(2,-\frac{3}{4}\right)$$ 不共线（因为 $$\frac{2}{2} \neq \frac{-3}{-\frac{3}{4}}$$），可以作为基底。答案为 D。
6. 解析：
由题意，$$\overrightarrow{OA}$$ 和 $$\overrightarrow{OB}$$ 垂直，设 $$\overrightarrow{OA} = (3,0)$$，$$\overrightarrow{OB} = (0,3)$$。$$\overrightarrow{OC} = \lambda\overrightarrow{OA} + \mu\overrightarrow{OB} = (3\lambda, 3\mu)$$。由 $$\angle AOC = 60^\circ$$，得 $$\cos 60^\circ = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OC}|} = \frac{9\lambda}{3 \cdot 3\sqrt{\lambda^2 + \mu^2}} = \frac{1}{2}$$。解得 $$\frac{\lambda}{\mu} = \sqrt{3}$$。答案为 D。
7. 解析：
重心 $$E$$ 将中线 $$AD$$ 分为 $$2:1$$，因此 $$\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$。答案为 A。
8. 解析：
在直角三角形 $$ABC$$ 中，$$AB = 5$$。由射影定理，$$AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{9}{5}$$，$$BD = \frac{16}{5}$$。因此，$$\overrightarrow{CD} = \frac{BD}{AB}\overrightarrow{CA} + \frac{AD}{AB}\overrightarrow{CB} = \frac{16}{25}\overrightarrow{CA} + \frac{9}{25}\overrightarrow{CB}$$。答案为 C。
9. 解析：
由于 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 共线，$$\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{AB}$$。代入方程 $$x^2\overrightarrow{OA} + 2x\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC} = 0$$，整理得 $$x^2\overrightarrow{OA} + (2x + k)\overrightarrow{OB} - k\overrightarrow{OA} = 0$$。解得 $$x^2 - k = 0$$ 且 $$2x + k = 0$$，消去 $$k$$ 得 $$x^2 + 2x = 0$$，解得 $$x = 0$$ 或 $$x = -2$$。答案为 D。
10. 解析：
设 $$\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}$$，$$\overrightarrow{AC} = \mathbf{b}$$，$$\overrightarrow{BD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = \frac{3}{4}(\mathbf{b} - \mathbf{a})$$，因此 $$\overrightarrow{AD} = \mathbf{a} + \frac{3}{4}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \frac{1}{4}\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b}$$。设 $$\overrightarrow{AE} = t\overrightarrow{AD} = \frac{t}{4}\mathbf{a} + \frac{3t}{4}\mathbf{b}$$，与 $$\overrightarrow{AE} = \lambda\mathbf{a} + \mu\mathbf{b}$$ 对比，得 $$\lambda = \frac{t}{4}$$，$$\mu = \frac{3t}{4}$$。目标函数 $$t = (\lambda - 1)^2 + \mu^2 = \left(\frac{t}{4} - 1\right)^2 + \left(\frac{3t}{4}\right)^2 = \frac{10t^2}{16} - \frac{t}{2} + 1$$。求导得极小值点为 $$t = \frac{4}{10}$$，代入得最小值为 $$\frac{9}{10}$$。答案为 C。
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