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正确率80.0%已知平面直角坐标系内$$. \， \bigtriangleup A B C$$三个顶点的坐标分别为$$A (-1， ~ 1 )， ~ B ( 2， ~ 3 )， ~ C (-6， ~ 5 )， ~ D$$为$${{B}{C}}$$边的中点，则$$\overrightarrow{A D}=$$（）
B
A.$$(-3， \， \， 2 )$$
B.$$(-1， ~ 3 )$$
C.$$(-3， \， 5 )$$
D.$$(-2， ~ 4 )$$
2、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的模']正确率80.0%若$$\boldsymbol{a}=( 1， \ \ -1 )，$$则$${{|}{a}{|}{=}}$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
3、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算']正确率80.0%若用$${{i}{，}{j}}$$分别表示与$${{x}}$$轴正方向和$${{y}}$$轴正方向同向的单位向量，且$${{A}{(}{2}}$$，$${{3}{)}}$$，$${{B}{(}{4}}$$，$${{2}{)}}$$，则$$\overrightarrow{A B}$$用$${{i}{，}{j}}$$可以表示为（）
C
A.$$2 i+3 j$$
B.$$4 i+2 j$$
C.$${{2}{i}{−}{j}}$$
D.$$- 2 i+j$$
4、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%设$${{i}}$$，$${{j}}$$是平面直角坐标系内分别与$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴正方向同向的单位向量，$${{O}}$$为坐标原点，若$$\overrightarrow{O A}$$$$= i+2 j$$，$$\overrightarrow{O B}$$$$= 3 i+4 j$$，则$$3 \overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}$$的坐标是（）
B
A.$${{(}{8}}$$，$${{1}{1}{)}}$$
B.$${{(}{9}}$$，$${{1}{4}{)}}$$
C.$${{(}{7}}$$，$${{6}{)}}$$
D.$${{(}{−}{5}}$$，$${{−}{2}{)}}$$
5、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的夹角']正确率40.0%设点$$A ( 4， ~ 2 )， ~ B ( a， ~ 8 )， ~ C ( 2， ~ a )， ~ O$$为坐标原点.若四边形$${{O}{A}{B}{C}}$$是平行四边形，则向量$$\overrightarrow{O A}$$与$$\overrightarrow{O C}$$的夹角为（）
B
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
8、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个顶点坐标分别为$$A ~ ( 1， ~ 1 ) ~， ~ B ~ ( \mathrm{~-3， ~ 3 ) ~} ~， ~ C ~ ( 4， ~ 2 )$$，则向量$$\overrightarrow{A B}$$在$$\overrightarrow{A C}$$方向上的投影为（）
B
A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
B.$${{−}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
9、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%设点$$A ( 2， 0 )， ~ B ( 4， 2 )$$，若点$${{P}}$$在直线$${{A}{B}}$$上，且$$| \overrightarrow{A B} |=2 | \overrightarrow{A P} |$$，则点$${{P}}$$的坐标为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 3， 1 )$$
B.$$( 1，-1 )$$
C.$$( 3， 1 )$$或$$( 1，-1 )$$
D.$$( 3， 1 )$$或$$\left( 1， 1 \right)$$
10、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量基本定理'， '不等式的性质']正确率60.0%在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=2， \， \， \， A D=4， \， \， \， A B \perp\， A D$$，点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$$，且$$x+2 y=1$$，点$${{M}}$$在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$内（包含边）运动，且$$\overrightarrow{A M}=\lambda\overrightarrow{A P}$$，则$${{λ}}$$的最大值等于（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 首先计算点 $$D$$ 的坐标，$$D$$ 是 $$BC$$ 的中点：
$$D = \left( \frac{2 + (-6)}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = (-2, 4)$$
然后计算向量 $$\overrightarrow{AD}$$：
$$\overrightarrow{AD} = D - A = (-2 - (-1), 4 - 1) = (-1, 3)$$
正确答案是 B。
2. 向量 $$\boldsymbol{a} = (1, -1)$$ 的模长为：
$$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$
正确答案是 B。
3. 向量 $$\overrightarrow{AB}$$ 的坐标为 $$B - A = (4 - 2, 2 - 3) = (2, -1)$$，因此可以表示为：
$$\overrightarrow{AB} = 2i - j$$
正确答案是 C。
4. 计算 $$3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}$$：
$$3\overrightarrow{OA} = 3(i + 2j) = 3i + 6j$$
$$2\overrightarrow{OB} = 2(3i + 4j) = 6i + 8j$$
$$3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} = (3i + 6j) + (6i + 8j) = 9i + 14j$$
其坐标为 $$(9, 14)$$。
正确答案是 B。
5. 由于四边形 $$OABC$$ 是平行四边形，需满足 $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}$$：
$$\overrightarrow{OA} = (4, 2)$$，$$\overrightarrow{OC} = (2, a)$$，$$\overrightarrow{OB} = (a, 8)$$
因此：
$$(4 + 2, 2 + a) = (a, 8)$$
解得 $$a = 6$$，所以 $$\overrightarrow{OC} = (2, 6)$$。
计算夹角 $$\theta$$ 满足：
$$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OC}|} = \frac{4 \times 2 + 2 \times 6}{\sqrt{4^2 + 2^2} \times \sqrt{2^2 + 6^2}} = \frac{20}{\sqrt{20} \times \sqrt{40}} = \frac{20}{20 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
因此 $$\theta = \frac{\pi}{4}$$。
正确答案是 B。
8. 计算向量 $$\overrightarrow{AB} = (-3 - 1, 3 - 1) = (-4, 2)$$，$$\overrightarrow{AC} = (4 - 1, 2 - 1) = (3, 1)$$。
投影公式为：
$$\text{投影} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{(-4) \times 3 + 2 \times 1}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{-12 + 2}{\sqrt{10}} = \frac{-10}{\sqrt{10}} = -\sqrt{10}$$
正确答案是 B。
9. 向量 $$\overrightarrow{AB} = (4 - 2, 2 - 0) = (2, 2)$$，设点 $$P$$ 的坐标为 $$(x, y)$$，则 $$\overrightarrow{AP} = (x - 2, y - 0)$$。
根据题意 $$|\overrightarrow{AB}| = 2|\overrightarrow{AP}|$$，即：
$$\sqrt{2^2 + 2^2} = 2 \times \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$$
化简得 $$2\sqrt{2} = 2 \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$$，即 $$\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{2}$$。
同时，$$P$$ 在直线 $$AB$$ 上，直线 $$AB$$ 的斜率为 $$1$$，方程为 $$y = x - 2$$。
联立解得：
$$(x - 2)^2 + (x - 2)^2 = 2 \Rightarrow 2(x - 2)^2 = 2 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1 \Rightarrow x = 3 \text{ 或 } x = 1$$
对应 $$y = 1$$ 或 $$y = -1$$，因此 $$P$$ 的坐标为 $$(3, 1)$$ 或 $$(1, -1)$$。
正确答案是 C。
10. 建立坐标系，设 $$A(0, 0)$$，$$B(2, 0)$$，$$D(0, 4)$$，$$C(2, 4)$$。
由 $$\overrightarrow{AP} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AD} = x(2, 0) + y(0, 4) = (2x, 4y)$$，且 $$x + 2y = 1$$。
点 $$M$$ 满足 $$\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AP} = \lambda (2x, 4y)$$，即 $$M$$ 的坐标为 $$(2\lambda x, 4\lambda y)$$。
由于 $$M$$ 在矩形内，需满足：
$$0 \leq 2\lambda x \leq 2$$ 且 $$0 \leq 4\lambda y \leq 4$$，即 $$0 \leq \lambda x \leq 1$$ 且 $$0 \leq \lambda y \leq 1$$。
结合 $$x + 2y = 1$$，当 $$x = 0$$ 时，$$y = \frac{1}{2}$$，此时 $$\lambda \leq 2$$；当 $$y = 0$$ 时，$$x = 1$$，此时 $$\lambda \leq 1$$。
因此 $$\lambda$$ 的最大值为 $$2$$。
正确答案是 B。