平面向量基本定理-6.3 平面向量基本定理及坐标表示知识点月考基础自测题解析-重庆市等高二数学必修,平均正确率66.0%

1. 扇形 $$AOB$$ 半径为 $$1$$，$$\angle AOB=120^\circ$$，点 $$C$$ 在弧 $$AB$$ 上运动，$$\overrightarrow{OC}=x \overrightarrow{OA}+y \overrightarrow{OB}$$，判断错误选项。

设 $$\overrightarrow{OA}$$ 和 $$\overrightarrow{OB}$$ 为单位向量，夹角 $$120^\circ$$，则 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -\frac{1}{2}$$。

由 $$\overrightarrow{OC}=x \overrightarrow{OA}+y \overrightarrow{OB}$$，两边平方得：$$|\overrightarrow{OC}|^2 = x^2 + y^2 + 2xy \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x^2 + y^2 - xy = 1$$。

令 $$s = x + y$$，$$p = xy$$，则约束为 $$x^2 + y^2 - xy = s^2 - 3p = 1$$。

由 $$(x-y)^2 \geq 0$$ 得 $$s^2 \geq 4p$$，代入得 $$s^2 - \frac{3}{4}s^2 \leq 1$$，即 $$\frac{1}{4}s^2 \leq 1$$，$$s^2 \leq 4$$，$$s \leq 2$$。

当 $$C$$ 在 $$A$$ 或 $$B$$ 时，$$s=1$$；当 $$C$$ 在弧中点时，$$s=2$$。故 $$x+y$$ 最小值为 $$1$$，最大值为 $$2$$，A 和 B 正确。

计算 $$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + |\overrightarrow{OC}|^2$$。

代入得：$$-\frac{1}{2} - (x+y) + 1 = \frac{1}{2} - (x+y)$$。

由于 $$x+y \in [1,2]$$，则 $$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \in [-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}]$$，但选项为 $$[-\frac{1}{2}, 0]$$，矛盾，故 C 错误。

验证 D：$$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OC} \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = y - x + \frac{1}{2}(x-y) = \frac{1}{2}(y-x)$$。

由 $$x,y \geq 0$$ 且 $$x^2+y^2-xy=1$$，可证 $$|y-x| \leq 2$$，故 $$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} \in [-1,1]$$，D 正确。

因此错误说法是 C。

3. 在 $$\mathrm{Rt} \triangle ABC$$ 中，$$A=90^\circ$$，$$AB=6$$，$$AC=8$$，$$D$$ 是内心，求 $$\overrightarrow{BD}$$。

设 $$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$$，$$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$$，则 $$|\vec{b}|=6$$，$$|\vec{c}|=8$$。

内心 $$D$$ 到各边距离相等，由角平分线性质：$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$。

故 $$\overrightarrow{BD} = \frac{3}{7} \overrightarrow{BC}$$。

$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{c} - \vec{b}$$。

因此 $$\overrightarrow{BD} = \frac{3}{7}(\vec{c} - \vec{b}) = -\frac{3}{7} \vec{b} + \frac{3}{7} \vec{c}$$。

但选项为分数形式，需验证：$$-\frac{3}{7} \approx -0.4286$$，而选项 A 为 $$-\frac{2}{3} \approx -0.6667$$，B 为 $$\frac{2}{3}$$，C 为 $$-\frac{2}{3}$$，D 为 $$\frac{2}{3}$$，均不匹配。

重新计算：内心坐标公式或向量表示：$$\overrightarrow{AD} = \frac{AB \cdot \overrightarrow{AC} + AC \cdot \overrightarrow{AB}}{AB+AC+BC}$$，但 $$BC=10$$。

$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\vec{b} + \frac{6\vec{c} + 8\vec{b}}{6+8+10} = -\vec{b} + \frac{8\vec{b} + 6\vec{c}}{24} = -\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} = -\frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$$。

故 $$\overrightarrow{BD} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$$，选项 A 正确。

4. 已知 $$\overrightarrow{OA}$$, $$\overrightarrow{OB}$$, $$\overrightarrow{OC}$$ 为单位向量，$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=0$$，$$\overrightarrow{OC}=x \overrightarrow{OA}+y \overrightarrow{OB}$$，求 $$x+y$$ 最大值。

由条件，$$|\overrightarrow{OC}|=1$$，故 $$x^2 + y^2 = 1$$。

求 $$s = x+y$$ 最大值，由不等式 $$(x+y)^2 \leq 2(x^2+y^2) = 2$$，故 $$s \leq \sqrt{2}$$。

当 $$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 时取等，故最大值为 $$\sqrt{2}$$，选项 B 正确。

5. 向量 $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$ 不共线，实数 $$x,y$$ 满足 $$(3x-4y)\vec{a} + (2x-3y)\vec{b} = 6\vec{a} + 3\vec{b}$$，求 $$x-y$$。

由向量相等条件：

$$3x-4y=6$$

$$2x-3y=3$$

解方程组：第一式乘以 2：$$6x-8y=12$$，第二式乘以 3：$$6x-9y=9$$，相减得：$$y=3$$，代入得 $$x=6$$。

故 $$x-y=3$$，选项 A 正确。

6. 判断说法正确个数。

(1) $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{CO}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB} + \vec{0} = \overrightarrow{AB}$$，正确。

(2) 向量 $$\vec{a}=(6,2)$$ 与 $$\vec{b}=(-3,k)$$ 夹角钝角，则 $$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$$ 且不共线。

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \times (-3) + 2 \times k = -18 + 2k < 0$$，得 $$k < 9$$。

共线时 $$\frac{6}{-3} = \frac{2}{k}$$，得 $$k=-1$$，故 $$k \neq -1$$。

因此 $$k < 9$$ 且 $$k \neq -1$$，原说法 $$k<0$$ 错误。

(3) 向量 $$\vec{e_1}=(2,-3)$$，$$\vec{e_2}=(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})$$，判断是否共线：$$\frac{2}{1/2} = \frac{-3}{-3/4} = 4$$，故共线，不能作为基底，正确。

(4) 若 $$\vec{a} \parallel \vec{b}$$，则 $$\vec{a}$$ 在 $$\vec{b}$$ 上投影为 $$|\vec{a}| \cos \theta$$，其中 $$\theta=0$$ 或 $$\pi$$，故为 $$\pm |\vec{a}|$$，原说法错误。

因此正确个数为 2 个（(1)和(3)），选项 B 正确。

7. $$\vec{e_1}$$, $$\vec{e_2}$$ 是基底，判断哪组能作为基底。

基底要求不共线。

A: $$\vec{e_1} - \vec{e_2}$$ 和 $$\vec{e_2} - \vec{e_1} = -(\vec{e_1} - \vec{e_2})$$，共线，不能。

B: $$\vec{e_1} + \vec{e_2}$$ 和 $$\vec{e_1} - \vec{e_2}$$，不共线，能。

C: $$2\vec{e_2} - 3\vec{e_1}$$ 和 $$-6\vec{e_1} + 4\vec{e_2} = 2(2\vec{e_2} - 3\vec{e_1})$$，共线，不能。

D: $$2\vec{e_1} + \vec{e_2}$$ 和 $$\vec{e_1} + \frac{1}{2}\vec{e_2}$$，后者乘以 2 得 $$2\vec{e_1} + \vec{e_2}$$，共线，不能。

故 B 正确。

9. $$\triangle ABC$$ 中，$$M$$ 是 $$BC$$ 中点，$$N$$ 在 $$AB$$ 上，$$AM$$ 与 $$CN$$ 交于 $$D$$，$$\overrightarrow{AD} = \frac{4}{5} \overrightarrow{AM}$$，$$\overrightarrow{AN} = \lambda \overrightarrow{AB}$$，求 $$\lambda$$。

设 $$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$$，$$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$$，则 $$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$$。

$$\overrightarrow{AD} = \frac{4}{5} \overrightarrow{AM} = \frac{2}{5}(\vec{b} + \vec{c})$$。

由 $$D$$ 在 $$CN$$ 上，设 $$\overrightarrow{CD} = \mu \overrightarrow{CN}$$。

$$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} - \vec{c} = \frac{2}{5}\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{c}$$。

$$\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AC} = \lambda \vec{b} - \vec{c}$$。

故 $$\frac{2}{5}\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{c} = \mu (\lambda \vec{b} - \vec{c})$$。

解得：$$\mu \lambda = \frac{2}{5}$$，$$\mu = \frac{3}{5}$$。

因此 $$\lambda = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3}$$，选项 A 正确。