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正确率60.0%若$$\{\alpha， \ \beta\}$$是一组基底，向量$$\gamma=x \alpha+y \beta( x， ~ y \in{\bf R} )，$$则称$$( x， ~ y )$$为向量$${{γ}}$$在基底$${{\{}{{α}{，}{β}}{\}}}$$下的坐标.已知$$\boldsymbol{p}=( \boldsymbol{1}， \boldsymbol{-1} )， \ \boldsymbol{q}=( \boldsymbol{2}， \ \boldsymbol{1} )，$$$$\boldsymbol{m}=(-1， ~ 1 )， ~ \boldsymbol{n}=( 1， ~ 2 )，$$若向量$${{a}}$$在一组基底$${{\{}{{p}{，}{q}}{\}}}$$下的坐标为$$(-2， \ 2 )，$$则向量$${{a}}$$在另一组基底$${{\{}{{m}{，}{n}}{\}}}$$下的坐标为（）
D
A.$$( 2， \ 0 )$$
B.$$( 0， ~-2 )$$
C.$$(-2， \ 0 )$$
D.$$( 0， \ 2 )$$
2、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量共线的坐标表示'， '相反向量']正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=(-3， \ 4 )，$$则与$${{a}}$$方向相反的单位向量是（）
C
A.$$\left( \frac{3} {5}， \enspace\frac{4} {5} \right)$$
B.$$\left(-\frac{3} {5}， \ \frac{4} {5} \right)$$
C.$$\left( \frac{3} {5}， ~-\frac{4} {5} \right)$$
D.$$\left(-\frac{3} {5}， ~-\frac{4} {5} \right)$$
3、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%设$${{i}}$$，$${{j}}$$是平面直角坐标系内分别与$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴正方向同向的单位向量，$${{O}}$$为坐标原点，若$$\overrightarrow{O A}$$$$= i+2 j$$，$$\overrightarrow{O B}$$$$= 3 i+4 j$$，则$$3 \overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}$$的坐标是（）
B
A.$${{(}{8}}$$，$${{1}{1}{)}}$$
B.$${{(}{9}}$$，$${{1}{4}{)}}$$
C.$${{(}{7}}$$，$${{6}{)}}$$
D.$${{(}{−}{5}}$$，$${{−}{2}{)}}$$
4、['平面向量的正交分解和坐标表示']正确率80.0%已知向量$${{a}}$$在射线$$y=x ( x \geqslant0 )$$上，且起点为坐标原点$${{O}{，}}$$若$$| \boldsymbol{a} |=\sqrt{2}， \， \， \， i， \， \， \， j$$分别为与$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴方向相同的单位向量，取$$\{\boldsymbol{i}， \ \boldsymbol{j} \}$$作为基底，则向量$${{a}}$$的坐标为（）
A
A.$$( 1， ~ 1 )$$
B.$$(-1， ~-1 )$$
C.$$( \sqrt{2}， ~ \sqrt{2} )$$
D.$$(-\sqrt{2}， ~-\sqrt{2} )$$
5、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的模'， '数量积的性质'， '平面向量基本定理'， '数量积的运算律'， '向量的线性运算']正确率60.0%svg异常
C
A.$${{2}{0}}$$
B.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
6、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$$2 a ( a > 0 )$$的等边三角形，$${{P}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$内一点，则$$\overrightarrow{P A} \cdot( \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} )$$的最小值是 （）
B
A.$${{−}{2}{{a}^{2}}}$$
B.$$- \frac3 2 a^{2}$$
C.$$- \frac{4} {3} a^{2}$$
D.$${{−}{{a}^{2}}}$$
7、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量垂直'， '向量的线性运算']正确率60.0%svg异常
B
A.$$- 3 \vec{e}_{1}-5 \vec{e}_{2}$$
B.$$- \vec{e_{1}}+3 \vec{e_{2}}$$
C.$$- 3 \vec{e_{1}}-\vec{e_{2}}$$
D.$$- 3 \vec{e}_{1}+\vec{e}_{2}$$
8、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{1}}$$的等边三角形，$${{P}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$内一点，则$$\overrightarrow{P A} \cdot( \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} )$$的最小值是（）
B
A.$$- \frac{1} {8}$$
B.$$- \frac{3} {8}$$
C.$$- \frac{4} {3}$$
D.$${{−}{1}}$$
9、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量的概念'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率60.0%已知$$P_{1} \left( 2，-1 \right)， P_{2} \left( 0， 5 \right)$$且点$${{P}}$$在$${{P}_{1}{{P}_{2}}}$$延长线上，使$$\left| \overrightarrow{P_{1} P} \right|=2 | \overrightarrow{P P_{2}} |，$$则点$${{P}}$$坐标是
A
A.$$(-2， 1 1 )$$
B.$$( \frac{4} {3}， 3 )$$
C.$$( \frac{2} {3}， 3 )$$
D.$$( 2，-7 )$$
10、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量基本定理'， '不等式的性质']正确率60.0%在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=2， \， \， \， A D=4， \， \， \， A B \perp\， A D$$，点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$$，且$$x+2 y=1$$，点$${{M}}$$在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$内（包含边）运动，且$$\overrightarrow{A M}=\lambda\overrightarrow{A P}$$，则$${{λ}}$$的最大值等于（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 解析：
已知向量 $$a$$ 在基底 $$\{p, q\}$$ 下的坐标为 $$(-2, 2)$$，则 $$a = -2p + 2q$$。
计算 $$a$$：
$$p = (1, -1)$$，$$q = (2, 1)$$，
$$a = -2(1, -1) + 2(2, 1) = (-2, 2) + (4, 2) = (2, 4)$$。
现在将 $$a$$ 表示为基底 $$\{m, n\}$$ 下的坐标 $$(x, y)$$，即 $$a = x m + y n$$。
$$m = (-1, 1)$$，$$n = (1, 2)$$，
$$(2, 4) = x(-1, 1) + y(1, 2) = (-x + y, x + 2y)$$。
解方程组：
$$-x + y = 2$$
$$x + 2y = 4$$
解得 $$x = 0$$，$$y = 2$$。
因此，$$a$$ 在基底 $$\{m, n\}$$ 下的坐标为 $$(0, 2)$$，答案为 D。
2. 解析：
向量 $$a = (-3, 4)$$ 的模为 $$|a| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$$。
与 $$a$$ 方向相反的单位向量为 $$-\frac{a}{|a|} = -\left(\frac{-3}{5}, \frac{4}{5}\right) = \left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$$。
答案为 C。
3. 解析：
$$\overrightarrow{OA} = i + 2j = (1, 2)$$，$$\overrightarrow{OB} = 3i + 4j = (3, 4)$$。
$$3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} = 3(1, 2) + 2(3, 4) = (3 + 6, 6 + 8) = (9, 14)$$。
答案为 B。
4. 解析：
向量 $$a$$ 在射线 $$y = x$$ 上，起点为原点，方向为 $$(1, 1)$$。
$$|a| = \sqrt{2}$$，因此 $$a$$ 的坐标为 $$(1, 1)$$（因为 $$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$）。
答案为 A。
6. 解析：
设等边三角形 $$ABC$$ 的中心为 $$O$$，则 $$\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PO}$$。
$$\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}) = 2\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PO}$$。
当 $$P$$ 与 $$O$$ 重合时，$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PO} = 0$$；当 $$P$$ 在边界时，最小值为 $$-2a^2$$。
答案为 A。
8. 解析：
与第 6 题类似，对于边长为 1 的等边三角形，最小值为 $$-\frac{1}{2}$$，但选项中没有。重新推导：
设 $$P$$ 为 $$(x, y)$$，$$A(0, 0)$$，$$B(1, 0)$$，$$C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。
$$\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = (1 - x + \frac{1}{2} - x, -y + \frac{\sqrt{3}}{2} - y) = \left(\frac{3}{2} - 2x, \frac{\sqrt{3}}{2} - 2y\right)$$。
$$\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}) = (-x)\left(\frac{3}{2} - 2x\right) + (-y)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 2y\right)$$。
求极值得最小值为 $$-\frac{3}{8}$$，答案为 B。
9. 解析：
点 $$P$$ 在 $$P_1P_2$$ 的延长线上，且 $$|\overrightarrow{P_1P}| = 2|\overrightarrow{PP_2}|$$，即 $$P$$ 外分 $$P_1P_2$$ 为 2:1。
设 $$P(x, y)$$，由外分点公式：
$$x = \frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}{2 - 1} = -2$$，
$$y = \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot (-1)}{2 - 1} = 11$$。
因此 $$P$$ 的坐标为 $$(-2, 11)$$，答案为 A。
10. 解析：
矩形 $$ABCD$$ 中，$$AB = 2$$，$$AD = 4$$，设 $$A(0, 0)$$，$$B(2, 0)$$，$$D(0, 4)$$。
$$\overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} = (2x, 4y)$$，且 $$x + 2y = 1$$。
$$\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AP} = (2\lambda x, 4\lambda y)$$。
因为 $$M$$ 在矩形内，$$0 \leq 2\lambda x \leq 2$$ 且 $$0 \leq 4\lambda y \leq 4$$，即 $$0 \leq \lambda x \leq 1$$ 且 $$0 \leq \lambda y \leq 1$$。
由 $$x + 2y = 1$$，取 $$x = 0$$，$$y = \frac{1}{2}$$，则 $$\lambda \leq 2$$；取 $$x = 1$$，$$y = 0$$，则 $$\lambda \leq 1$$。
综合考虑，$$\lambda$$ 的最大值为 $$2$$，答案为 B。