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正确率40.0%已知两个非零向量$$\boldsymbol{a}=( 1， \enskip\boldsymbol{x} )， \enskip\boldsymbol{b}=( x^{2}， \enskip\it4 x )，$$则“$$| x |=2$$”是“$${{a}{/}{/}{b}}$$”的（）
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['同角三角函数的商数关系'， '平面向量共线的坐标表示'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2， 1 )$$，$$\vec{b}=( 2 \operatorname{c o s} \alpha， \operatorname{s i n} \alpha)$$且$$\alpha\in( 0， \pi)$$，若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}$$，则$${{α}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
3、['数量积的性质'， '平面向量共线的坐标表示'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知是锐角向量$$\overrightarrow{a}=\; ( \， \operatorname{s i n} \alpha， \; \， \frac{1} {2} ) \; \，， \; \， \， \overrightarrow{b}=\; ( \， 1， \; \， \operatorname{c o s} \alpha)$$，满足$$| \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} |$$，则$${{α}}$$为（）
D
A.$$\frac{\pi} {1 2}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
4、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=( 3， ~-1 )， ~ \overrightarrow{b}=( 1， ~-2 )，$$若向量$$- 2 \overrightarrow{a}+m \overrightarrow{b}$$与向量$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$平行，则实数$${{m}{=}{（}}$$）
D
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$
5、['平面向量坐标运算的综合应用'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 2， 3 )$$，$$\vec{b}=(-1， 2 )$$，若$$m \vec{a}+4 \vec{b}$$与$$\vec{a}-2 \vec{b}$$共线，则$${{m}}$$的值为（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$${{−}{2}}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '平面向量共线的坐标表示']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点，过$${{F}_{2}}$$作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点$${{A}}$$，交另一条渐近线于点$${{B}}$$，且$$\overrightarrow{A F_{2}}=\frac{1} {3} \overrightarrow{F_{2}} \overrightarrow{B}，$$则该双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
7、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( x， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2，-1 )，$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$${{x}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
8、['等差数列的通项公式'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%设$$P \， ( x， y )$$是函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象上一点，向量$$a=\left( 1， \left( x-2 \right)^{5} \right)， \， \， b=\left( 1， y-2 x \right)$$，且$${{a}{/}{/}{b}}$$.数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是公差不为$${{0}}$$的等差数列，且$$f \left( a_{1} \right)+f \left( a_{2} \right)+\cdots+f \left( a_{9} \right)=3 6$$，则$$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{9}=( \mathbf{\Pi} )$$
A
A.$${{1}{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{3}{6}}$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '三角形的“四心”'， '平面向量共线的坐标表示']正确率40.0%已知椭圆为其左$${、}$$右焦点，$${{P}}$$为椭圆$${{C}}$$上除长轴端点外的任一点，$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的重心为$${{G}}$$，内心为$${{I}}$$，且有$$\overrightarrow{I G}=\lambda\overrightarrow{F_{1} F_{2}} ($$其中$${{λ}}$$为实数$${{)}}$$，则椭圆$${{C}}$$的离心率$${{e}{=}{（}}$$）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
10、['平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%$$\overrightarrow{a}=( 8+\frac{1} {2} x， \， \， \， x )， \， \， \， \overrightarrow{b}=( x+1， \， \， 2 )$$其中$${{x}{>}{0}{）}}$$，若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$${{x}}$$的值为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{0}}$$
1. 已知两个非零向量$$\boldsymbol{a}=(1, x)$$，$$\boldsymbol{b}=(x^2, 4x)$$，则“$$|x|=2$$”是“$$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$$”的（）。
解析：
向量平行的条件是存在实数$$k$$使得$$\boldsymbol{a} = k \boldsymbol{b}$$，即：
$$\frac{1}{x^2} = \frac{x}{4x}$$
化简得：$$4x = x^3$$，即$$x(x^2 - 4) = 0$$
因为$$\boldsymbol{a}$$和$$\boldsymbol{b}$$非零，所以$$x \neq 0$$，解得$$x = \pm 2$$
因此，“$$|x| = 2$$”是“$$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$$”的充要条件。
答案：C
2. 已知向量$$\overrightarrow{a} = (2, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (2 \cos \alpha, \sin \alpha)$$且$$\alpha \in (0, \pi)$$，若$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，则$$\alpha =$$（）。
解析：
向量平行的条件是：
$$\frac{2}{2 \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha}$$
化简得：$$\sin \alpha = \cos \alpha$$，即$$\tan \alpha = 1$$
在$$(0, \pi)$$内，$$\alpha = \frac{\pi}{4}$$或$$\frac{5\pi}{4}$$，但$$\frac{5\pi}{4}$$不在选项内。
答案：A
3. 已知锐角向量$$\overrightarrow{a} = (\sin \alpha, \frac{1}{2})$$，$$\overrightarrow{b} = (1, \cos \alpha)$$，满足$$|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}|$$，则$$\alpha$$为（）。
解析：
计算模和点积：
$$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{\sin^2 \alpha + \frac{1}{4}}$$
$$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1 + \cos^2 \alpha}$$
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sin \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha$$
由题意得：
$$\sqrt{(\sin^2 \alpha + \frac{1}{4})(1 + \cos^2 \alpha)} = |\sin \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha|$$
两边平方后化简得：
$$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}$$
即$$\sin 2\alpha = 1$$，解得$$\alpha = \frac{\pi}{4}$$
答案：D
4. 已知向量$$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (3, -1)$$，$$\overrightarrow{b} = (1, -2)$$，若向量$$-2 \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b}$$与向量$$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$平行，则实数$$m =$$（）。
解析：
首先求出$$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} = (3, -1) + (1, -2) = (4, -3)$$
计算$$-2 \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b} = (-8, 6) + (m, -2m) = (-8 + m, 6 - 2m)$$
平行条件为：
$$\frac{-8 + m}{3} = \frac{6 - 2m}{-1}$$
解得：$$m = 4$$
答案：C
5. 已知$$\overrightarrow{a} = (2, 3)$$，$$\overrightarrow{b} = (-1, 2)$$，若$$m \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b}$$与$$\overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{b}$$共线，则$$m$$的值为（）。
解析：
计算向量：
$$m \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b} = (2m - 4, 3m + 8)$$
$$\overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{b} = (4, -1)$$
共线条件为：
$$\frac{2m - 4}{4} = \frac{3m + 8}{-1}$$
解得：$$m = -2$$
答案：D
6. 已知$$F_1$$、$$F_2$$是双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$的左右焦点，过$$F_2$$作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点$$A$$，交另一条渐近线于点$$B$$，且$$\overrightarrow{A F_2} = \frac{1}{3} \overrightarrow{F_2 B}$$，则该双曲线的离心率为（）。
解析：
设渐近线为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$，$$F_2 = (c, 0)$$
垂线方程为$$y = -\frac{a}{b}(x - c)$$
求交点$$A$$和$$B$$，利用向量关系可得：
$$\frac{b^2}{a^2 + b^2} = \frac{1}{4}$$
即$$3b^2 = a^2$$，离心率$$e = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
答案：A
7. 已知向量$$\overrightarrow{a} = (x, 1)$$，$$\overrightarrow{b} = (2, -1)$$，若$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，则$$x =$$（）。
解析：
平行条件为：
$$\frac{x}{2} = \frac{1}{-1}$$
解得：$$x = -2$$
答案：A
8. 设$$P(x, y)$$是函数$$y = f(x)$$的图象上一点，向量$$\boldsymbol{a} = (1, (x - 2)^5)$$，$$\boldsymbol{b} = (1, y - 2x)$$，且$$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$$。数列$$\{a_n\}$$是公差不为0的等差数列，且$$f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_9) = 36$$，则$$a_1 + a_2 + \cdots + a_9 =$$（）。
解析：
由平行条件得：$$y - 2x = (x - 2)^5$$，即$$f(x) = 2x + (x - 2)^5$$
因为$$f(a_1) + \cdots + f(a_9) = 36$$，且$$f$$关于$$x = 2$$对称，所以$$a_1 + \cdots + a_9 = 18$$
答案：A
9. 已知椭圆为其左、右焦点，$$P$$为椭圆$$C$$上除长轴端点外的任一点，$$\triangle F_1 P F_2$$的重心为$$G$$，内心为$$I$$，且有$$\overrightarrow{I G} = \lambda \overrightarrow{F_1 F_2}$$（其中$$\lambda$$为实数），则椭圆$$C$$的离心率$$e =$$（）。
解析：
利用重心和内心的性质，结合向量关系可得：
$$\lambda = \frac{1}{3}$$，离心率$$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
答案：D
10. 已知$$\overrightarrow{a} = (8 + \frac{1}{2}x, x)$$，$$\overrightarrow{b} = (x + 1, 2)$$（其中$$x > 0$$），若$$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，则$$x$$的值为（）。
解析：
平行条件为：
$$\frac{8 + \frac{1}{2}x}{x + 1} = \frac{x}{2}$$
化简得：$$x^2 + 2x - 32 = 0$$，解得$$x = 4$$（舍去负值）
答案：B