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正确率60.0%已知两点$$A ( 2，-1 )， \， \， \， B ( 3， 1 )$$，与$$\overrightarrow{A B}$$平行且方向相反的向量$${{a}^{→}}$$可能是$${{(}{)}}$$
D
A.$$\overrightarrow{a}=( 1，-2 )$$
B.$$\overrightarrow{a}=( 9， 3 )$$
C.$$\overrightarrow{a}=(-1， 2 )$$
D.$$\overrightarrow{a}=(-4，-8 )$$
2、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-2， 1 )， \， \overrightarrow{b}=( 3， 5 )，$$则$$\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}=( \textit{} )$$
B
A.$$(-4，-9 )$$
B.$$(-8，-9 )$$
C.$$( 8， 1 1 )$$
D.$$(-5，-6 )$$
3、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%设$$A ~ ( \mathrm{1}， \mathrm{~ 1} ) \mathrm{~， ~} \ B ~ ( \mathrm{7}， \mathrm{~ 4} )$$，点$${{C}}$$满足$$\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C B}，$$则点$${{C}}$$的坐标是（）
C
A.$$( 3， \ 2 )$$
B.$$( 3， \ 5 )$$
C.$$( 5， \ 3 )$$
D.$$( 8， \ 5 )$$
4、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '共线向量基本定理'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\left( 3， 1 \right)， \， \overrightarrow{b}=\left( 1， 3 \right)， \， \overrightarrow{c}=\left( k，-2 \right)，$$若$$\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} \right) / / \overrightarrow{b}，$$则实数$${{k}}$$的值等于（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
5、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量的概念'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量的线性运算']正确率60.0%设向量$$\overrightarrow{a}=(-1， 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1，-1 )， \; \; \overrightarrow{c}=( 3，-2 )，$$用$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$作基底可将$${{c}^{→}}$$表示为$$\overrightarrow{c}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}，$$则实数$${{p}{，}{q}}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$p=4， ~ q=1$$
B.$$p=1， ~ q=4$$
C.$$p=0， \， \， \， q=4$$
D.$$p=1， \， \， q=-4$$
6、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%设点$$A ( 2， 0 )， ~ B ( 4， 2 )$$，若点$${{P}}$$在直线$${{A}{B}}$$上，且$$| \overrightarrow{A B} |=2 | \overrightarrow{A P} |$$，则点$${{P}}$$的坐标为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 3， 1 )$$
B.$$( 1，-1 )$$
C.$$( 3， 1 )$$或$$( 1，-1 )$$
D.$$( 3， 1 )$$或$$\left( 1， 1 \right)$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 3， 4 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2，-1 )，$$如果向量$$\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}$$与$${{b}^{→}}$$垂直，则实数$${{k}}$$的值为（）
D
A.
B.
C.$${{2}}$$
D.
正确率60.0%已知$$\vec{a} \，=( 1， 2 )， \， \， \， \vec{b} \，=( 3， 4 )， \， \， \， \left( \vec{a} \，+2 \vec{b} \， \right) \pm\left( \lambda\vec{a} \，-\vec{b} \， \right)，$$则$${{λ}{=}{（}}$$）
B
A.$$- \frac{6 1} {2 7}$$
B.$$\frac{6 1} {2 7}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
9、['平面向量数乘的坐标运算'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题'， '直线的斜率']正确率40.0%已知抛物线$$E_{\colon} ~ y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}{，}{A}}$$为抛物线$${{E}}$$的准线上一点，线段$${{A}{F}}$$分别交$${{y}}$$轴和抛物线$${{E}}$$于点$${{B}{，}{C}}$$.若$$\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{B C}，$$则直线$${{A}{F}}$$的斜率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{±}{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{±}{1}}$$
10、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '导数与最值'， '利用导数解决函数零点问题']正确率40.0%点$${{M}}$$在曲线$$G_{\colon} \ y=3 \mathrm{l n} \ x$$上，过$${{M}}$$作$${{x}}$$轴垂线$${{l}}$$，设$${{l}}$$与曲线$$y=\frac{1} {x}$$交于点$${{N}}$$，若$$\overrightarrow{O P}=\frac{\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}} {3}$$，且$${{P}}$$点的纵坐标始终为$${{0}}$$，则称$${{M}}$$点为曲线$${{G}}$$上的$${{“}}$$水平黄金点$${{”}}$$则曲线$${{G}}$$上的$${{“}}$$水平黄金点$${{”}}$$的个数为（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
1. 解析：
首先计算向量 $$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2, 1-(-1)) = (1, 2)$$。
题目要求与 $$\overrightarrow{AB}$$ 平行且方向相反的向量 $$\overrightarrow{a}$$，即 $$\overrightarrow{a}$$ 必须满足 $$\overrightarrow{a} = -k \overrightarrow{AB}$$，其中 $$k > 0$$。
检查选项：
- A. $$\overrightarrow{a} = (1, -2)$$ 不平行于 $$\overrightarrow{AB}$$。
- B. $$\overrightarrow{a} = (9, 3)$$ 不平行于 $$\overrightarrow{AB}$$。
- C. $$\overrightarrow{a} = (-1, 2)$$ 是 $$\overrightarrow{AB}$$ 的反方向平行向量（$$k=1$$）。
- D. $$\overrightarrow{a} = (-4, -8)$$ 是 $$\overrightarrow{AB}$$ 的同方向平行向量（$$k=4$$）。
因此，正确答案是 C。
2. 解析：
计算 $$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$$：
$$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (-2, 1) - 2(3, 5) = (-2 - 6, 1 - 10) = (-8, -9)$$。
正确答案是 B。
3. 解析：
根据题意，$$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{CB}$$，即 $$C$$ 将 $$AB$$ 分为 $$1:2$$ 的比例。
使用分点公式计算 $$C$$ 的坐标：
$$C = \left( \frac{2 \times 7 + 1 \times 1}{3}, \frac{2 \times 4 + 1 \times 1}{3} \right) = \left( \frac{15}{3}, \frac{9}{3} \right) = (5, 3)$$。
正确答案是 C。
4. 解析：
计算 $$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} = (3 - k, 1 - (-2)) = (3 - k, 3)$$。
因为 $$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}$$ 与 $$\overrightarrow{b} = (1, 3)$$ 平行，所以：
$$\frac{3 - k}{1} = \frac{3}{3} \Rightarrow 3 - k = 1 \Rightarrow k = 2$$。
正确答案是 D。
5. 解析：
设 $$\overrightarrow{c} = p\overrightarrow{a} + q\overrightarrow{b}$$，即：
$$(3, -2) = p(-1, 2) + q(1, -1) = (-p + q, 2p - q)$$。
解方程组：
$$-p + q = 3$$
$$2p - q = -2$$
解得 $$p = 1$$，$$q = 4$$。
正确答案是 B。
6. 解析：
向量 $$\overrightarrow{AB} = (4 - 2, 2 - 0) = (2, 2)$$。
由 $$|\overrightarrow{AB}| = 2|\overrightarrow{AP}|$$，得 $$P$$ 可能是 $$AB$$ 的内分点或外分点：
- 内分点：$$P = A + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (2, 0) + \frac{1}{2}(2, 2) = (3, 1)$$。
- 外分点：$$P = A - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (2, 0) - \frac{1}{2}(2, 2) = (1, -1)$$。
正确答案是 C。
7. 解析：
向量 $$\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b} = (3 + 2k, 4 - k)$$。
因为 $$\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}$$ 与 $$\overrightarrow{b} = (2, -1)$$ 垂直，所以点积为 0：
$$(3 + 2k) \times 2 + (4 - k) \times (-1) = 0$$
化简得 $$6 + 4k - 4 + k = 0 \Rightarrow 5k + 2 = 0 \Rightarrow k = -\frac{2}{5}$$。
正确答案是 D。
8. 解析：
题目描述不完整，假设题目为 $$\vec{a} + 2\vec{b}$$ 与 $$\lambda\vec{a} - \vec{b}$$ 垂直。
计算 $$\vec{a} + 2\vec{b} = (1 + 6, 2 + 8) = (7, 10)$$。
计算 $$\lambda\vec{a} - \vec{b} = (\lambda - 3, 2\lambda - 4)$$。
因为两向量垂直，点积为 0：
$$7(\lambda - 3) + 10(2\lambda - 4) = 0$$
化简得 $$7\lambda - 21 + 20\lambda - 40 = 0 \Rightarrow 27\lambda = 61 \Rightarrow \lambda = \frac{61}{27}$$。
正确答案是 B。
9. 解析：
抛物线 $$E: y^2 = 2px$$ 的焦点 $$F = \left( \frac{p}{2}, 0 \right)$$。
设 $$A$$ 在准线 $$x = -\frac{p}{2}$$ 上，坐标为 $$\left( -\frac{p}{2}, a \right)$$。
根据 $$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{BC}$$，$$B$$ 将 $$AC$$ 分为 $$1:2$$ 的比例。
由于 $$B$$ 在 $$y$$ 轴上，设 $$B = (0, b)$$，则：
$$0 = \frac{2 \times \left( -\frac{p}{2} \right) + 1 \times x_C}{3} \Rightarrow x_C = p$$。
$$C$$ 在抛物线上，坐标为 $$(p, \pm \sqrt{2p^2})$$。
根据比例关系，$$b = \frac{2a + \sqrt{2p^2}}{3}$$ 或 $$b = \frac{2a - \sqrt{2p^2}}{3}$$。
直线 $$AF$$ 的斜率为 $$\frac{a - 0}{-\frac{p}{2} - \frac{p}{2}} = -\frac{a}{p}$$。
通过计算可得斜率为 $$\pm \sqrt{2}$$。
正确答案是 C。
10. 解析：
设 $$M = (x, 3\ln x)$$，则 $$N = (x, \frac{1}{x})$$。
根据 $$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}}{3}$$，得 $$P = \left( \frac{2x}{3}, \frac{3\ln x + \frac{1}{x}}{3} \right)$$。
因为 $$P$$ 的纵坐标为 0，所以 $$\frac{3\ln x + \frac{1}{x}}{3} = 0 \Rightarrow 3\ln x + \frac{1}{x} = 0$$。
设 $$f(x) = 3\ln x + \frac{1}{x}$$，求导得 $$f'(x) = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}$$。
令 $$f'(x) = 0$$，得 $$x = \frac{1}{3}$$。
分析函数单调性可知 $$f(x)$$ 在 $$x = \frac{1}{3}$$ 处取得最小值，且 $$f\left( \frac{1}{3} \right) < 0$$。
当 $$x \to 0^+$$，$$f(x) \to -\infty$$；当 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$。
因此方程 $$f(x) = 0$$ 有唯一解，即存在一个“水平黄金点”。
正确答案是 B。