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正确率40.0%已知$${{F}}$$是椭圆$${{C}}$$的一个焦点，$${{B}}$$是短轴的一个端点，线段$${{B}{F}}$$的延长线交椭圆$${{C}}$$于点$${{D}}$$，且$$\overrightarrow{B F}=2 \overrightarrow{F D}$$，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${{3}}$$
3、['平面向量的概念'， '平面向量数乘的坐标运算'， '直线上向量的运算与坐标的关系']正确率60.0%已知$${{P}_{1}{(}{3}{，}{−}{2}{)}{，}{{P}_{2}}{(}{0}{，}{4}{)}}$$，则满足$$\overrightarrow{P_{1} P}=2 \overrightarrow{P P_{2}}$$的点$${{P}}$$的坐标为（）
C
A.$${{(}{1}{，}{−}{2}{)}}$$
B.$${{(}{2}{，}{−}{2}{)}}$$
C.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
D.$${{(}{2}{，}{2}{)}}$$
4、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%已知曲线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{4}{x}}$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与曲线$${{C}}$$交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，且$$\overrightarrow{F P}+2 \overrightarrow{F Q}=\overrightarrow{0}，$$则$${{△}{O}{P}{Q}}$$的面积等于（）
C
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{3 \sqrt2} {4}$$
5、['平面向量数乘的坐标运算'， '数量积的运算律']正确率60.0%已知向量$${{a}{=}{(}{2}{，}{0}{)}{，}{a}{−}{b}{=}{(}{3}{，}{1}{)}}$$，则下列结论正确的是
C
A.$${{a}{⋅}{b}{=}{2}}$$
B.$${{a}{/}{/}{b}}$$
C.$${{b}{⊥}{(}{a}{+}{b}{)}}$$
D.$${{|}{a}{|}{=}{|}{b}{|}}$$
6、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%设$${{A}{（}{1}{，}{1}{）}{、}{B}{（}{7}{，}{4}{）}}$$，点$${{C}}$$满足$$\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C B}，$$则点$${{C}}$$的坐标是（）
C
A.$${（{3}{，}{2}{）}}$$
B.$${（{3}{，}{5}{）}}$$
C.$${（{5}{，}{3}{）}}$$
D.$${（{8}{，}{5}{）}}$$
7、['共线向量基本定理'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%如果向量$${{a}^{→}{=}{(}{k}{，}{1}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{4}{，}{k}{)}}$$与共线且方向相反，则$${{k}{=}{（}}$$）
C
A.$${{±}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{0}}$$
8、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '共线向量基本定理'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{（}{1}{，}{1}{）}{，}{{b}^{→}}{=}{（}{2}{，}{−}{1}{）}{，}}$$若$${（{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{）}{/}{/}{（}{2}{{a}^{→}}{−}{t}{{b}^{→}}{）}}$$，则$${{t}{=}{（}}$$）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
9、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '数量积的性质'， '向量坐标与向量的数量积'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量的夹角'， '向量的新定义问题']正确率60.0%设$${{s}^{→}}$$与$${{t}^{→}}$$是不共线的两个向量，若平面向量$${{a}^{→}{=}{x}{{s}^{→}}{+}{y}{{t}^{→}}{（}{x}{，}{y}{∈}{R}{）}{，}}$$则称数对$${（{x}{，}{y}{）}}$$为向量$${{a}^{→}}$$在基底$${{s}^{→}}$$下的坐标，设基底向量$${{s}^{→}{=}{（}{1}{．}{−}{1}{）}{，}{{t}^{→}}{=}{（}{−}{1}{，}{2}{）}{，}}$$平面向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$在基底$${{s}^{→}}$$与$${{t}^{→}}$$下的坐标分别为$${（{−}{1}{，}{1}{）}{，}{（}{3}{，}{2}{）}}$$．则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$夹角的余弦值是（）
A
A.$$\frac{\sqrt{2 6}} {2 6}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 3}} {1 3}$$
C.$$- \frac{\sqrt{2 6}} {2 6}$$
D.$$- \frac{\sqrt{1 3}} {1 3}$$
10、['平面向量数乘的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率40.0%已知$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{−}{3}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{x}{，}{2}{)}{，}{{a}^{→}}{⊥}{(}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{)}{，}}$$则$${{x}{=}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$$- \frac{1} {6}$$
C.$$- \frac2 3$$
D.$${{−}{2}}$$
2. 椭圆离心率问题解析：
设椭圆标准方程为 $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$，焦点 $$ F(c, 0) $$，短轴端点 $$ B(0, b) $$。根据向量关系 $$ \overrightarrow{BF} = 2 \overrightarrow{FD} $$，点 $$ D $$ 坐标为 $$ \left( \frac{3c}{2}, -\frac{b}{2} \right) $$。代入椭圆方程并化简得 $$ \frac{9c^2}{4a^2} + \frac{b^2}{4b^2} = 1 $$，结合 $$ c^2 = a^2 - b^2 $$，解得离心率 $$ e = \frac{\sqrt{3}}{3} $$。答案为 A。
3. 点坐标问题解析：
设点 $$ P(x, y) $$，根据向量关系 $$ \overrightarrow{P_1 P} = 2 \overrightarrow{P P_2} $$，得到坐标关系：
$$ x - 3 = 2(0 - x) $$ 和 $$ y + 2 = 2(4 - y) $$，解得 $$ x = 1 $$，$$ y = 2 $$。答案为 C。
4. 三角形面积问题解析：
曲线 $$ C: y^2 = 4x $$ 的焦点 $$ F(1, 0) $$。设直线 $$ l $$ 方程为 $$ y = k(x - 1) $$，与抛物线联立得 $$ k^2 x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0 $$。根据向量关系 $$ \overrightarrow{FP} + 2 \overrightarrow{FQ} = 0 $$，解得 $$ k^2 = 8 $$。计算面积 $$ S = \frac{3\sqrt{2}}{2} $$。答案为 C。
5. 向量结论问题解析：
由 $$ a = (2, 0) $$ 和 $$ a - b = (3, 1) $$ 得 $$ b = (-1, -1) $$。验证选项：
A. $$ a \cdot b = -2 $$（错误）
B. $$ a $$ 与 $$ b $$ 不平行（错误）
C. $$ b \cdot (a + b) = (-1)(1) + (-1)(-1) = 0 $$（正确）
D. $$ |a| = 2 $$，$$ |b| = \sqrt{2} $$（错误）
答案为 C。
6. 点坐标问题解析：
设点 $$ C(x, y) $$，根据向量关系 $$ \overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{CB} $$，得到坐标关系：
$$ x - 1 = 2(7 - x) $$ 和 $$ y - 1 = 2(4 - y) $$，解得 $$ x = 5 $$，$$ y = 3 $$。答案为 C。
7. 向量共线问题解析：
向量 $$ a = (k, 1) $$ 与 $$ b = (4, k) $$ 共线且方向相反，则存在 $$ \lambda < 0 $$ 使得 $$ a = \lambda b $$，即 $$ k = 4\lambda $$ 且 $$ 1 = k\lambda $$。解得 $$ k = -2 $$。答案为 C。
8. 向量平行问题解析：
向量 $$ a + b = (3, 0) $$，$$ 2a - t b = (2 - 2t, 2 + t) $$。平行条件为 $$ 3(2 + t) = 0 $$，解得 $$ t = -2 $$。答案为 C。
9. 向量夹角问题解析：
基底向量 $$ s = (1, -1) $$，$$ t = (-1, 2) $$。根据坐标得：
$$ a = -s + t = (0, 3) $$，$$ b = 3s + 2t = (1, 1) $$。计算夹角余弦为 $$ \frac{3}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{13}}{13} $$。答案为 B。
10. 向量垂直问题解析：
向量 $$ a = (1, -3) $$，$$ b = (x, 2) $$，$$ a + 2b = (1 + 2x, 1) $$。垂直条件为 $$ a \cdot (a + 2b) = 0 $$，即 $$ 1(1 + 2x) + (-3)(1) = 0 $$，解得 $$ x = 1 $$。答案为 A。