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正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=( 1， 1 )$$，$$\vec{b}=( 1，-1 )$$，则$${{“}}$$$$( \vec{a}+\lambda\vec{b} ) \perp( \vec{a}+\mu\vec{b} )$$$${{”}}$$是$${{“}}$$$$\lambda\mu=-1$$$${{”}}$$的（）条件
A
A.充要条件
B.充分不必要
C.必要不充分
D.既不充分也不必要
3、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， x-1 )， \， \， \， \overrightarrow{b}=( y， 2 )，$$其中$$x > 0， ~ y > 0$$.若$$\overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}，$$则$${{x}{y}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$${{1}{/}{2}}$$
4、['函数的最大(小)值'， '平面向量的正交分解和坐标表示'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%在平面直角坐标系中，已知一点$$A ~ ( \mathrm{\ensuremath{~ 2 ~}} ) ~， ~ B ~ ( \mathrm{\ensuremath{~ 3 ~}}， \mathrm{\ensuremath{~ b ~}} ) ~， ~ C ~ ( \mathrm{\ensuremath{~ 2 ~}}， \mathrm{\ensuremath{~ 3 ~}} ) ~， ~ O$$为坐标原点．若向量$$\overrightarrow{O B} \perp\overrightarrow{A C}，$$则$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}$$的最小值为（）
B
A.$$\frac{1 2} {5}$$
B.$$\frac{1 8} {5}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{1}{8}}$$
5、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%若向量$$\overrightarrow{A B}=( 2， 5 )$$与$$\overrightarrow{B C}=( m，-2 )$$垂直，则$${{m}{=}}$$
D
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$${{−}{5}}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$${{5}}$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%设向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2，-3 )，$$若$$k \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}$$与$${{a}^{→}}$$垂直，则实数$${{k}}$$的值等于（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
8、['点到直线的距离'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '直线与圆相交'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知实数$$x_{1}， x_{2}， y_{1}， y_{2}$$满足$$x_{1} {}^{2}+y_{1} {}^{2}=1， x_{2} {}^{2}+y_{2} {}^{2}=1， x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0$$，则$$\left| x_{1}+y_{1}-2 \left|+| x_{2}+y_{2}-2 \right| \right|$$的最大值为（）
D
A.$${{8}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
10、['用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%向量$$\overrightarrow{a}=(-1， \ 2 )， \ \overrightarrow{b}=( x， \ 1 )， \ \# \overrightarrow{a} \perp\overrightarrow{b}， \ \emptyset\， x :$$）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
1. 首先计算向量 $$\vec{a}+\lambda\vec{b}$$ 和 $$\vec{a}+\mu\vec{b}$$ 的点积：
$$(\vec{a}+\lambda\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\mu\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + (\lambda+\mu)\vec{a}\cdot\vec{b} + \lambda\mu\vec{b}\cdot\vec{b}$$
代入 $$\vec{a}=(1,1)$$ 和 $$\vec{b}=(1,-1)$$，得到：
$$\vec{a}\cdot\vec{a}=2$$, $$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$$, $$\vec{b}\cdot\vec{b}=2$$
所以点积为 $$2 + 0 + 2\lambda\mu = 2(1+\lambda\mu)$$。
垂直条件等价于点积为零，即 $$1+\lambda\mu=0$$，也就是 $$\lambda\mu=-1$$。
因此，条件是充要的，答案为 A。
3. 由 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，得点积为零：
$$1 \cdot y + (x-1) \cdot 2 = 0 \Rightarrow y + 2x - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 - 2x$$
由于 $$x > 0$$ 且 $$y > 0$$，所以 $$2 - 2x > 0 \Rightarrow x < 1$$。
求 $$xy$$ 的最大值：
$$xy = x(2-2x) = 2x - 2x^2$$
对 $$x$$ 求导得 $$2 - 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$，此时 $$y = 1$$，最大值为 $$\frac{1}{2}$$。
答案为 D。
4. 题目描述不完整，点 $$A$$ 的坐标应为 $$(a, 2)$$。由 $$\overrightarrow{OB} \perp \overrightarrow{AC}$$，得点积为零：
$$3 \cdot (2-a) + b \cdot (3-2) = 0 \Rightarrow 6 - 3a + b = 0 \Rightarrow b = 3a - 6$$
求 $$a^2 + b^2$$ 的最小值：
$$a^2 + (3a - 6)^2 = 10a^2 - 36a + 36$$
对 $$a$$ 求导得 $$20a - 36 = 0 \Rightarrow a = \frac{9}{5}$$，代入得最小值为 $$\frac{18}{5}$$。
答案为 B。
5. 由 $$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}$$，得点积为零：
$$2 \cdot m + 5 \cdot (-2) = 0 \Rightarrow 2m - 10 = 0 \Rightarrow m = 5$$
答案为 D。
7. 计算 $$k\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$$ 和 $$\overrightarrow{a}$$ 的点积：
$$(k\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$$
代入 $$\overrightarrow{a}=(1,1)$$ 和 $$\overrightarrow{b}=(2,-3)$$，得：
$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=2$$, $$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}=-1$$
所以点积为 $$2k - 2(-1) = 2k + 2 = 0 \Rightarrow k = -1$$。
答案为 B。
8. 由条件可知，$$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$ 是单位圆上互相垂直的向量。设 $$x_1 = \cos\theta$$, $$y_1 = \sin\theta$$，则 $$x_2 = -\sin\theta$$, $$y_2 = \cos\theta$$。
计算表达式：
$$|x_1 + y_1 - 2| + |x_2 + y_2 - 2| = |\cos\theta + \sin\theta - 2| + |-\sin\theta + \cos\theta - 2|$$
利用三角函数的性质，最大值为 $$4$$。
答案为 C。
10. 由 $$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$$，得点积为零：
$$-1 \cdot x + 2 \cdot 1 = 0 \Rightarrow -x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$
答案为 A。