向量坐标与向量的数量积-平面向量基本定理及坐标表示知识点专题基础自测题答案-上海市等高二数学必修,平均正确率60.0%

正确率40.0%对向量$${{a}^{→}{=}{(}{{a}_{1}}{，}{{a}_{2}}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{{b}_{1}}{，}{{b}_{2}}{)}}$$，定义一种运算$${{“}{⊗}{”}{：}{{a}^{→}}{⊗}{{b}^{→}}{=}{(}{{a}_{1}}{，}{{a}_{2}}{)}{⊗}{(}{{b}_{1}}{，}{{b}_{2}}{)}{=}{(}{{a}_{1}}{{b}_{1}}{，}{{a}_{2}}{{b}_{2}}{)}{．}{Q}{{(}{x}{，}{y}{)}}}$$为函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$图象上任一点，平面内有一点$${{P}{(}{t}{，}{{s}{i}{n}}{t}{)}}$$，满足$$\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{m} \otimes\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{n} ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，若$$\overrightarrow{m}=( \frac{1} {2}， 3 )， \; \; \overrightarrow{n}=( \frac{\pi} {6}， 0 )$$，则$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的最大值为

C

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

正确率80.0%已知$${{a}{=}{(}{3}{，}{−}{2}{)}{，}{b}{=}{(}{−}{2}{，}{1}{)}{，}}$$则$${{a}{⋅}{b}}$$的值为（）

D

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{−}{6}}$$

D.$${{−}{8}}$$

正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}{=}{(}{t}{，}{3}{)}{，}{{b}^{⃗}}{=}{(}{2}{，}{−}{2}{)}}$$，若$${{a}{⃗}{⊥}{{b}^{⃗}}}$$，则实数$${{t}}$$的值为（）

C

A.$${{2}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{−}{3}}$$

正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{{(}{1}{，}{1}{)}}{，}{4}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{=}{{(}{4}{，}{2}{)}}{，}}$$则向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）

A

A.$$\frac{3 \pi} {4}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{2 \pi} {3}$$

D.$$\frac{\pi} {4}$$

正确率60.0%设$${{A}{（}{a}{，}{1}{）}{，}{B}{（}{2}{，}{1}{）}{，}{C}{（}{4}{，}{5}{）}}$$为坐标平面上三点，$${{O}}$$为坐标原点，若向量$$\overrightarrow{O A}$$与$$\overrightarrow{O B}$$在$$\overrightarrow{O C}$$方向上的投影相同，则实数$${{a}}$$的值为（）

A

A.$${{2}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{−}{3}}$$

正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{x}{，}{1}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{x}{+}{1}{，}{−}{3}{)}{，}}$$若$${{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}{=}{|}{{b}^{→}}{|}}$$，则$${{x}{=}{（}}$$）

D

A.$${{−}{1}}$$或$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$- \frac2 3$$或$${{1}}$$

C.$${{−}{1}}$$或$$\frac{5} {3}$$

D.$$- \frac{5} {3}$$或$${{1}}$$

正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{2}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{1}{，}{x}{)}{，}}$$若$${{|}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}{=}{{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}}$$，则$${{x}{=}{(}{)}}$$

B

A.$${{−}{3}}$$

B.$$\frac{1} {3}$$

C.$${{3}}$$

D.$$\frac{1} {3}$$或$${{−}{3}}$$

正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{−}{2}{，}{5}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{2}{，}{−}{5}{)}}$$，则$${{(}{)}}$$

B

A.$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{0}}$$

B.$${{a}^{→}{/}{/}{{b}^{→}}}$$

C.$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$

D.$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}{=}{0}}$$

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \mathrm{~} a > b > 0 )$$的右焦点为$${{F}{（}{c}{，}{0}{）}}$$，上顶点为$${{A}{（}{0}{，}{b}{）}}$$，直线$$x=\frac{a^{2}} {c}$$上存在一点$${{P}}$$满足$$( \overrightarrow{F P}+\overrightarrow{F A} ) \cdot\overrightarrow{A P}=0$$，则椭圆的离心率取值范围为（）

C

A.$$[ \frac{1} {2}， ~ 1 )$$

B.$$( \frac{\sqrt2} {2}， ~ 1 )$$

C.$$( \frac{\sqrt{5}-1} {2}， ~ 1 )$$

D.$$( 0， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} ]$$

1. 根据题目定义，向量运算 $$⊗$$ 为对应分量相乘。已知 $$\overrightarrow{O Q} = \overrightarrow{m} ⊗ \overrightarrow{O P} + \overrightarrow{n}$$，其中 $$\overrightarrow{m} = \left( \frac{1}{2}, 3 \right)$$，$$\overrightarrow{n} = \left( \frac{\pi}{6}, 0 \right)$$，$$\overrightarrow{O P} = (t, \sin t)$$。

2. 向量点积公式为 $$a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2$$。已知 $$a = (3, -2)$$，$$b = (-2, 1)$$，则： $$a \cdot b = 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 = -6 - 2 = -8$$ 对应选项 D。

4. 向量垂直的条件是点积为零。已知 $$\vec{a} = (t, 3)$$，$$\vec{b} = (2, -2)$$，则： $$\vec{a} \cdot \vec{b} = t \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 2t - 6 = 0$$ 解得 $$t = 3$$，对应选项 C。

5. 已知 $$\vec{a} = (1, 1)$$，$$4\vec{a} + \vec{b} = (4, 2)$$，可求出： $$\vec{b} = (4, 2) - 4(1, 1) = (0, -2)$$ 计算夹角 $$\theta$$： $$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2)}{\sqrt{1^2 + 1^2} \cdot sqrt{0^2 + (-2)^2}} = \frac{-2}{2 \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ 因此 $$\theta = \frac{3\pi}{4}$$，对应选项 A。

6. 投影相同的条件是： $$\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|} = \frac{\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}$$ 即： $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}$$ 代入坐标： $$(a, 1) \cdot (4, 5) = (2, 1) \cdot (4, 5)$$ 计算得： $$4a + 5 = 8 + 5$$ 解得 $$a = 2$$，对应选项 A。

7. 已知 $$\vec{a} = (x, 1)$$，$$\vec{b} = (x+1, -3)$$，条件为： $$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{b}|$$ 计算得： $$\vec{a} + \vec{b} = (2x+1, -2)$$ $$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (2x+1)^2 + 4$$ $$|\vec{b}|^2 = (x+1)^2 + 9$$ 因此： $$(2x+1)^2 + 4 = (x+1)^2 + 9$$ 展开化简： $$4x^2 + 4x + 1 + 4 = x^2 + 2x + 1 + 9$$ $$3x^2 + 2x - 5 = 0$$ 解得 $$x = 1$$ 或 $$x = -\frac{5}{3}$$，对应选项 D。

8. 已知 $$\vec{a} = (1, 2)$$，$$\vec{b} = (1, x)$$，条件为： $$|\vec{a} - \vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b}$$ 计算得： $$\vec{a} - \vec{b} = (0, 2-x)$$ $$|\vec{a} - \vec{b}| = |2-x|$$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot x = 1 + 2x$$ 因此： $$|2-x| = 1 + 2x$$ 分情况讨论： - 若 $$2 - x \geq 0$$，即 $$x \leq 2$$，则： $$2 - x = 1 + 2x$$ 解得 $$x = \frac{1}{3}$$ - 若 $$2 - x < 0$$，即 $$x > 2$$，则： $$x - 2 = 1 + 2x$$ 解得 $$x = -3$$（不满足 $$x > 2$$） 验证 $$x = \frac{1}{3}$$ 是否满足原式： $$|2 - \frac{1}{3}| = \frac{5}{3}$$ $$1 + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$$ 成立。对应选项 B。

9. 已知 $$\vec{a} = (-2, 5)$$，$$\vec{b} = (2, -5)$$，显然： $$\vec{a} + \vec{b} = (0, 0)$$ 即 $$\vec{a} = -\vec{b}$$，对应选项 D。

10. 椭圆的性质和条件较为复杂，推导过程如下： - 右焦点 $$F(c, 0)$$，上顶点 $$A(0, b)$$，点 $$P$$ 在直线 $$x = \frac{a^2}{c}$$ 上，设 $$P\left( \frac{a^2}{c}, y \right)$$。 - 条件 $$(\overrightarrow{FP} + \overrightarrow{FA}) \cdot \overrightarrow{AP} = 0$$ 展开： $$\overrightarrow{FP} = \left( \frac{a^2}{c} - c, y \right)$$ $$\overrightarrow{FA} = (-c, b)$$ $$\overrightarrow{AP} = \left( \frac{a^2}{c}, y - b \right)$$ 因此： $$\left( \frac{a^2}{c} - 2c, y + b \right) \cdot \left( \frac{a^2}{c}, y - b \right) = 0$$ 计算点积： $$\left( \frac{a^2}{c} - 2c \right) \cdot \frac{a^2}{c} + (y + b)(y - b) = 0$$ 化简得： $$\frac{a^4}{c^2} - 2a^2 + y^2 - b^2 = 0$$ 因为 $$a^2 = b^2 + c^2$$，代入得： $$\frac{(b^2 + c^2)^2}{c^2} - 2(b^2 + c^2) + y^2 - b^2 = 0$$ 化简后： $$y^2 = b^2 - \frac{b^4}{c^2}$$ 要求 $$y^2 \geq 0$$，即： $$b^2 \geq \frac{b^4}{c^2}$$ $$c^2 \geq b^2$$ 结合 $$a^2 = b^2 + c^2$$，得： $$c^2 \geq a^2 - c^2$$ $$2c^2 \geq a^2$$ $$e = \frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 又因为 $$e < 1$$，所以 $$e \in \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 \right)$$，对应选项 B。