平面向量共线的坐标表示-6.3 平面向量基本定理及坐标表示知识点专题基础自测题解析-甘肃省等高二数学必修,平均正确率62.0%

1、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '同角三角函数的商数关系'， '平面向量共线的坐标表示']

正确率60.0%已知$$\overrightarrow{A B}=(-1， \operatorname{c o s} \alpha)$$，$$\overrightarrow{B C}=( 2， 0 )$$，$$\overrightarrow{C D}=( 2， 2 \operatorname{s i n} \alpha)$$，若$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{D}}$$三点共线，则$$\operatorname{t a n} \alpha=$$（）

A.$${{−}{2}}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$${{2}}$$

2、['平面向量共线的坐标表示']

正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( 1， \textbf{4} )， \textbf{b}=( 2， \textbf{x} )， \textbf{c}=\boldsymbol{a}+\textbf{b}$$.若$$\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{c}，$$则实数$${{x}}$$的值是（）

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{8}}$$

3、['椭圆的标准方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的其他性质'， '平面向量共线的坐标表示']

正确率40.0%已知$$A ~ ( \mathbf{2}， \mathbf{0} ) ~， \mathbf{B} ~ ( \mathbf{0}， \mathbf{1} )$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的两个顶点，直线$$y=k x ~ ( \ k > 0 )$$与直线$${{A}{B}}$$相交于点$${{D}}$$，与椭圆相交于$${{E}{，}{F}}$$两点，若$$\overrightarrow{E D}=6 \overrightarrow{D F}，$$则斜率$${{k}}$$的值为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$或$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$或$$\frac{3} {4}$$

4、['平面向量的概念'， '平面向量共线的坐标表示']

正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 3， \ 1 )， \ \overrightarrow{b}=( m， \ 2 )，$$若$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$${{m}{=}{（}}$$）

A.$${{−}{6}}$$

B.$${{6}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

D.$$- \frac2 3$$

5、['平面向量基本定理'， '向量在几何中的应用举例'， '平面向量共线的坐标表示']

正确率80.0%已知$$\vec{a}=( 3， 4 )，$$能与$${{a}{⃗}}$$构成基底的是（）

A.$$( {\frac{3} {5}}， {\frac{4} {5}} )$$

B.$$( {\frac{4} {5}}， {\frac{3} {5}} )$$

C.$$(-\frac{3} {5}，-\frac{4} {5} )$$

D.$$(-1，-\frac{4} {3} )$$

6、['平面向量基本定理'， '平面向量共线的坐标表示']

正确率80.0%下列向量中，可以作为基底的是（）

A.$$\vec{e_{1}}=\ ( 0， \ 0 ) \， \ \ \vec{e_{2}}=\ ( \ 1， \ -2 )$$

B.$$\overrightarrow{e_{1}}=\ ( \textbf{2}， \ -\textbf{3} ) \， \ \overrightarrow{e_{2}}=\ ( \textbf{-{\frac{1} {2}}}， \ \frac{\textbf{3}} {4} )$$

C.$$\vec{e_{1}} \，=\， \， ( \textbf{3}， \textbf{5} ) \， \，， \， \， \， \vec{e_{2}} \，=\， \， ( \textbf{6}， \textbf{} \， 1 0$$

D.$$\overrightarrow{e_{1}}=\ ( 1， \ \ -2 ) \， \ \overrightarrow{e_{2}}=\ ( \ 5， \ 7 )$$

7、['充分、必要条件的判定'， '平面向量共线的坐标表示']

正确率40.0%已知向量$${\bf a=} ( m，-2 )， {\bf b=} ( 4，-2 m )，$$条件$$p : \! \mathbf{a} / / \mathbf{b}$$，条件$$q : m=2$$，则$${{p}}$$是$${{q}}$$的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8、['共线向量基本定理'， '平面向量共线的坐标表示']

正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 4， ~-1 )， ~ ~ \overrightarrow{b}=( 2， ~ m )，$$且$$\overrightarrow{a} / / ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} )，$$则$${{m}{=}{（}}$$）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{−}{2}}$$

9、['余弦定理及其应用'， '共线向量基本定理'， '平面向量共线的坐标表示']

正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的三内角$$A， ~ B， ~ C$$所对边的长分别是$$a， ~ b， ~ c$$，设向量$${{p}^{→}}$$ $$= ( a+c， b )$$ ， $$\overrightarrow{q}=( b-a， c-a )，$$ 若$${{p}^{→}}$$ $${{/}{/}}$$$${{q}^{→}}$$ ，则角 $${{C}}$$ 的大小为（）

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{6}{0}^{∘}}$$

C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$

D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$

10、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']

正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{O A}=( 3，-4 )$$，$$\overrightarrow{O B}=( 6，-3 )$$，$$\overrightarrow{O C}=( 2 m， m+1 )$$．若$$\overrightarrow{A B} / / O \overrightarrow{C}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）

A.$$\frac{1} {5}$$

B.$$- \frac{3} {5}$$

C.$${{−}{3}}$$

D.$$- \frac{1} {7}$$

1. 解析：

首先计算向量 $$\overrightarrow{AD}$$： $$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (-1 + 2 + 2, \cos \alpha + 0 + 2 \sin \alpha) = (3, \cos \alpha + 2 \sin \alpha) $$ 由于 $$A$$、$$B$$、$$D$$ 三点共线，向量 $$\overrightarrow{AB}$$ 和 $$\overrightarrow{AD}$$ 必须共线，因此： $$ \frac{3}{-1} = \frac{\cos \alpha + 2 \sin \alpha}{\cos \alpha} $$ 化简得： $$ -3 \cos \alpha = \cos \alpha + 2 \sin \alpha \\ -4 \cos \alpha = 2 \sin \alpha \\ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -2 $$ 答案为 $$A$$。

2. 解析：

向量 $$\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (1 + 2, 4 + x) = (3, 4 + x)$$。由于 $$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{c}$$，存在 $$\lambda$$ 使得： $$ (3, 4 + x) = \lambda (1, 4) $$ 解得： $$ 3 = \lambda \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 3 \\ 4 + x = 3 \cdot 4 \quad \Rightarrow \quad x = 8 $$ 答案为 $$D$$。

3. 解析：

椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$（因为 $$A(2, 0)$$ 和 $$B(0, 1)$$ 是顶点）。直线 $$AB$$ 的方程为 $$\frac{x}{2} + y = 1$$。与 $$y = kx$$ 联立得点 $$D$$ 的坐标： $$ x = \frac{2}{1 + 2k}, \quad y = \frac{2k}{1 + 2k} $$ 设 $$E$$ 和 $$F$$ 的坐标为 $$(x_1, kx_1)$$ 和 $$(x_2, kx_2)$$，由椭圆方程： $$ \frac{x^2}{4} + (kx)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = \pm \frac{2}{\sqrt{1 + 4k^2}} $$ 根据 $$\overrightarrow{ED} = 6 \overrightarrow{DF}$$，得： $$ x_D - x_1 = 6(x_2 - x_D) \\ \frac{2}{1 + 2k} - \left(-\frac{2}{\sqrt{1 + 4k^2}}\right) = 6\left(\frac{2}{\sqrt{1 + 4k^2}} - \frac{2}{1 + 2k}\right) $$ 化简解得 $$k = \frac{2}{3}$$ 或 $$k = \frac{3}{8}$$。答案为 $$C$$。

4. 解析：

向量平行条件： $$ \frac{3}{m} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad m = 6 $$ 答案为 $$B$$。

5. 解析：

基底要求两个向量不共线。选项 $$D$$ 的向量 $$(-1, -\frac{4}{3})$$ 与 $$\vec{a}$$ 不共线（因为 $$\frac{3}{-1} \neq \frac{4}{-4/3}$$），可以作为基底。答案为 $$D$$。

6. 解析：

基底要求两个向量不共线。选项 $$D$$ 的向量 $$(1, -2)$$ 和 $$(5, 7)$$ 不共线（因为 $$\frac{1}{5} \neq \frac{-2}{7}$$），可以作为基底。答案为 $$D$$。

7. 解析：

条件 $$p$$：$$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$$ 等价于 $$\frac{m}{4} = \frac{-2}{-2m}$$，即 $$m^2 = 4$$，所以 $$m = \pm 2$$。条件 $$q$$：$$m = 2$$。因此 $$p$$ 是 $$q$$ 的必要不充分条件。答案为 $$B$$。

8. 解析：

向量 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (6, m - 1)$$。由于 $$\overrightarrow{a} \parallel (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$$，有： $$ \frac{4}{6} = \frac{-1}{m - 1} \quad \Rightarrow \quad 4(m - 1) = -6 \quad \Rightarrow \quad m = -\frac{1}{2} $$ 答案为 $$B$$。

9. 解析：

由 $$\overrightarrow{p} \parallel \overrightarrow{q}$$，得： $$ (a + c)(c - a) = b(b - a) \quad \Rightarrow \quad c^2 - a^2 = b^2 - ab \\ c^2 = a^2 + b^2 - ab $$ 根据余弦定理： $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \\ \Rightarrow \cos C = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad C = 60^\circ $$ 答案为 $$B$$。

10. 解析：

向量 $$\overrightarrow{AB} = (3, 1)$$。由于 $$\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{OC}$$，有： $$ \frac{3}{2m} = \frac{1}{m + 1} \quad \Rightarrow \quad 3(m + 1) = 2m \quad \Rightarrow \quad m = -3 $$ 答案为 $$C$$。

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