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正确率80.0%已知向量$${{a}}$$在射线$$y=x ( x \geqslant0 )$$上，且起点为坐标原点$${{O}{，}}$$若$$| \boldsymbol{a} |=\sqrt{2}， \， \， \， i， \， \， \， j$$分别为与$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴方向相同的单位向量，取$$\{\boldsymbol{i}， \ \boldsymbol{j} \}$$作为基底，则向量$${{a}}$$的坐标为（）
A
A.$$( 1， ~ 1 )$$
B.$$(-1， ~-1 )$$
C.$$( \sqrt{2}， ~ \sqrt{2} )$$
D.$$(-\sqrt{2}， ~-\sqrt{2} )$$
4、['函数的最大(小)值'， '平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例']正确率40.0%已知$$( 0，+\infty)$$是边长为$${{2}}$$的等边三角形，$$f ( 3-x ) < 0$$为平面$$( 2， 4 )$$内一点，则$$\overrightarrow{P A} \cdot( \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} )$$的最小值是$${{(}{)}}$$．
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{4} {3}$$
C.$$- \frac{3} {2}$$
D.$${{−}{2}}$$
5、['平面向量的正交分解和坐标表示']正确率60.0%若$${{i}{，}{j}}$$分别为与$${{x}}$$轴、$${{y}}$$轴方向相同的单位向量，取｛$${{i}{，}{j}}$$｝作为基底，设$$a=( x^{2}+x+1 ) i-( x^{2}-x+1 ) j$$(其中$$x \in\mathbf{R} )，$$则向量$${{a}}$$的坐标对应的点位于（）
D
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三象限
D.第四象限
6、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$$2 a ( a > 0 )$$的等边三角形，$${{P}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$内一点，则$$\overrightarrow{P A} \cdot( \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} )$$的最小值是 （）
B
A.$${{−}{2}{{a}^{2}}}$$
B.$$- \frac3 2 a^{2}$$
C.$$- \frac{4} {3} a^{2}$$
D.$${{−}{{a}^{2}}}$$
9、['平面向量的正交分解和坐标表示']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{M N}=( 3， 4 )， \， \， \， M (-2，-1 )，$$则点$${{N}}$$的坐标为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 5， 5 )$$
B.$$(-3， 1 )$$
C.$$( 1， 3 )$$
D.$$\left( 1， 1 \right)$$
10、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量在几何中的应用举例']正确率40.0%在直角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\angle B C A=9 0^{\circ}， C A=C B=1， P$$为$${{A}{B}}$$边上的点，$$\overrightarrow{A P}=\lambda\overrightarrow{A B}$$，若$$\overrightarrow{C P} \cdot\overrightarrow{A B} \geq\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}，$$则$${{λ}}$$的最大值是
C
A.$$\frac{2+\sqrt{2}} {2}$$
B.$$\frac{2-\sqrt{2}} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
2. 已知向量 $$\boldsymbol{a}$$ 在射线 $$y=x (x \geqslant 0)$$ 上，起点为原点，且 $$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{2}$$。设 $$\boldsymbol{i}$$ 和 $$\boldsymbol{j}$$ 分别为 $$x$$ 轴和 $$y$$ 轴方向的单位向量，则向量 $$\boldsymbol{a}$$ 的坐标为（ ）。
解析：由于 $$\boldsymbol{a}$$ 在射线 $$y=x (x \geqslant 0)$$ 上，其方向与向量 $$(1,1)$$ 相同。设 $$\boldsymbol{a} = k(1,1)$$，其中 $$k \geq 0$$。由 $$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{2}$$，得 $$|k| \cdot \sqrt{1^2 + 1^2} = k\sqrt{2} = \sqrt{2}$$，解得 $$k=1$$。因此 $$\boldsymbol{a} = (1,1)$$。
答案：A. $$(1,1)$$
4. 已知 $$\triangle ABC$$ 是边长为 $$2$$ 的等边三角形，$$P$$ 为平面内一点，求 $$\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC})$$ 的最小值。
解析：设 $$D$$ 为 $$BC$$ 的中点，则 $$\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PD}$$。原式化为 $$\overrightarrow{PA} \cdot 2\overrightarrow{PD} = 2 \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD}$$。由向量点积公式，$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD} = |\overrightarrow{PA}| |\overrightarrow{PD}| \cos \theta$$，其中 $$\theta$$ 为夹角。当 $$P$$ 在 $$AD$$ 上且与 $$A$$ 和 $$D$$ 共线时，点积可取极值。考虑坐标法：设 $$A(0, \sqrt{3})$$，$$B(-1,0)$$，$$C(1,0)$$，则 $$D(0,0)$$。设 $$P(x,y)$$，则 $$\overrightarrow{PA} = (-x, \sqrt{3}-y)$$，$$\overrightarrow{PB} = (-1-x, -y)$$，$$\overrightarrow{PC} = (1-x, -y)$$，$$\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = (-2x, -2y)$$。点积为 $$\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}) = (-x)(-2x) + (\sqrt{3}-y)(-2y) = 2x^2 - 2y(\sqrt{3}-y) = 2x^2 - 2\sqrt{3}y + 2y^2$$。这是一个关于 $$x$$ 和 $$y$$ 的二次函数，最小值为 $$- \frac{3}{2}$$（通过配方法或求导可得）。
答案：C. $$- \frac{3}{2}$$
5. 已知 $$\boldsymbol{a} = (x^2 + x + 1) \boldsymbol{i} - (x^2 - x + 1) \boldsymbol{j}$$，其中 $$x \in \mathbb{R}$$，判断向量 $$\boldsymbol{a}$$ 的坐标对应的点所在的象限。
解析：设 $$\boldsymbol{a} = (X, Y)$$，其中 $$X = x^2 + x + 1$$，$$Y = - (x^2 - x + 1) = -x^2 + x - 1$$。分析 $$X$$ 和 $$Y$$ 的符号：对于任意 $$x$$，$$x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$$，故 $$X > 0$$。而 $$Y = -x^2 + x - 1 = - (x^2 - x + 1) = - [(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}] < 0$$。因此点 $$(X, Y)$$ 的横坐标为正，纵坐标为负，位于第四象限。
答案：D. 第四象限
6. 已知 $$\triangle ABC$$ 是边长为 $$2a (a>0)$$ 的等边三角形，$$P$$ 为平面内一点，求 $$\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC})$$ 的最小值。
解析：同第4题，设 $$D$$ 为 $$BC$$ 的中点，则 $$\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PD}$$，原式化为 $$2 \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD}$$。采用坐标法：设 $$A(0, a\sqrt{3})$$，$$B(-a,0)$$，$$C(a,0)$$，则 $$D(0,0)$$。设 $$P(x,y)$$，则 $$\overrightarrow{PA} = (-x, a\sqrt{3} - y)$$，$$\overrightarrow{PD} = (-x, -y)$$。点积为 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD} = x^2 + y(y - a\sqrt{3})$$。进一步计算 $$\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}) = 2[x^2 + y^2 - a\sqrt{3} y]$$。配方得 $$2[(x^2 + (y - \frac{a\sqrt{3}}{2})^2 - \frac{3a^2}{4}]$$。当 $$x=0$$，$$y=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ 时取最小值 $$2 \times (-\frac{3a^2}{4}) = -\frac{3a^2}{2}$$。
答案：B. $$- \frac{3}{2} a^2$$
9. 已知 $$\overrightarrow{MN} = (3,4)$$，$$M(-2,-1)$$，求点 $$N$$ 的坐标。
解析：设 $$N(x,y)$$，则 $$\overrightarrow{MN} = (x - (-2), y - (-1)) = (x+2, y+1) = (3,4)$$。解得 $$x+2=3$$，$$y+1=4$$，即 $$x=1$$，$$y=3$$。
答案：C. $$(1,3)$$
10. 在直角 $$\triangle ABC$$ 中，$$\angle BCA = 90^\circ$$，$$CA = CB = 1$$，$$P$$ 为 $$AB$$ 边上的点，$$\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}$$。若 $$\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{AB} \geq \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$$，求 $$\lambda$$ 的最大值。
解析：建立坐标系：设 $$C(0,0)$$，$$A(1,0)$$，$$B(0,1)$$，则 $$AB$$ 向量为 $$(-1,1)$$。设 $$P$$ 在 $$AB$$ 上，由 $$\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}$$，可得 $$P = A + \lambda (B - A) = (1,0) + \lambda (-1,1) = (1-\lambda, \lambda)$$。计算 $$\overrightarrow{CP} = (1-\lambda, \lambda)$$，$$\overrightarrow{AB} = (-1,1)$$，点积 $$\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{AB} = (1-\lambda)(-1) + \lambda \cdot 1 = -1 + \lambda + \lambda = 2\lambda - 1$$。$$\overrightarrow{PA} = A - P = (1 - (1-\lambda), 0 - \lambda) = (\lambda, -\lambda)$$，$$\overrightarrow{PB} = B - P = (0 - (1-\lambda), 1 - \lambda) = (\lambda-1, 1-\lambda)$$，点积 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \lambda(\lambda-1) + (-\lambda)(1-\lambda) = \lambda(\lambda-1) - \lambda(1-\lambda) = \lambda(\lambda-1) + \lambda(\lambda-1) = 2\lambda(\lambda-1)$$。不等式为 $$2\lambda - 1 \geq 2\lambda(\lambda-1)$$，即 $$2\lambda - 1 \geq 2\lambda^2 - 2\lambda$$，整理得 $$2\lambda^2 - 4\lambda + 1 \leq 0$$。解二次不等式：$$\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$。不等式成立区间为 $$\lambda \in [1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}]$$。由于 $$\lambda \in [0,1]$$（P在AB上），取交集得 $$\lambda \in [1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$$。最大值为 $$1$$。
答案：C. $$1$$