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正确率40.0%设向量$$\overrightarrow{A B}=( \operatorname{c o s} 1 5^{0}， \operatorname{s i n} 1 5^{0} )， \， \， \， \overrightarrow{A C}=( \operatorname{s i n} 1 5^{0}， \operatorname{c o s} 1 5^{0} )，$$则$$| \overrightarrow{B C} |$$等于
D
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{1}}$$
2、['平面向量的概念'， '平面向量数乘的坐标运算'， '直线上向量的运算与坐标的关系']正确率60.0%已知$$P_{1} ( 3，-2 )， \， \， \， P_{2} ( 0， 4 )$$，则满足$$\overrightarrow{P_{1} P}=2 \overrightarrow{P P_{2}}$$的点$${{P}}$$的坐标为（）
C
A.$$( 1，-2 )$$
B.$$( 2，-2 )$$
C.$$( 1， 2 )$$
D.$$( 2， 2 )$$
3、['两点间的距离'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%已知$$P_{1} ( 2，-1 )， \， \， \， P_{2} ( 0， 5 )$$，点$${{P}}$$在线段$${{P}_{1}{{P}_{2}}}$$的延长线上，且$$| \ \overrightarrow{P_{1} P} |=2 | \overrightarrow{P P_{2}} |$$，则点$${{P}}$$的坐标$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 4，-7 )$$
B.$$(-2， 1 1 )$$
C.$$( 4，-7 )$$
D.$$(-2， 1 1 )$$
4、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\vec{a}=( 1， 2 )， \vec{a}-\vec{b}=( 4， 5 )， \vec{c}=( x， 3 )，$$若$$( 2 \vec{a}+\vec{b} ) / \! / \vec{c}$$，则$${{x}{=}{（}}$$）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{−}{4}}$$
5、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 4，-1 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-5， 2 )，$$且$$( \vec{a}+\vec{b} ) / / ( m \vec{a}-\vec{b} )$$，则实数$${{m}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{7} {5}$$
D.$$- \frac{7} {5}$$
6、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '平面向量数乘的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{m}=(-1， 2 )， \; \; \overrightarrow{n}=( \lambda，-4 )，$$若$$\overrightarrow{m} \perp\overrightarrow{n}，$$则$$| 2 \overrightarrow{m}-\overrightarrow{n} |=( \textit{} )$$
B
A.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{8}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{1}{2}}$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '共线向量基本定理'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2，-1 )， \， \overrightarrow{b}=( 1， \lambda)，$$若$$( \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b} ) / / ( 2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )$$，则实数$${{λ}{=}{(}{)}}$$
D
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
8、['向量的模'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面上中点坐标公式'， '平面向量数乘的坐标运算'， '直线上向量的运算与坐标的关系']正确率60.0%已知梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\angle A B C=\angle B A D=\frac{\pi} {2}， \， \， \， A B=B C=1， \， \， \， A D=2$$，若$${{P}}$$是$${{D}{C}}$$的中点，则$$\Big| \left| \overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B} \right|=( \begin{array} {c} {~} \\ \end{array} )$$
A
A.$$\frac{\sqrt{8 2}} {2}$$
B.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
9、['平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 3 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 3，-2 )，$$则向量$$2 \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=( \textit{} )$$
D
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{−}{6}}$$
10、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率40.0%已知直角梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A D / / B C， \， \， \， \angle B A D=9 0^{\circ}， \angle A D C=4 5^{\circ}， A D=2， \， \， \， B C=1， \， \， \， P$$是腰$${{C}{D}}$$上的动点，则$$\left| 3 \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{B P} \right|$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{5 \sqrt{3}} {2}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$\frac{5 \sqrt{2}} {2}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
1. 题目：设向量$$\overrightarrow{AB}=(\cos15^\circ, \sin15^\circ), \overrightarrow{AC}=(\sin15^\circ, \cos15^\circ)$$，求$$|\overrightarrow{BC}|$$。
解析：首先计算$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (\sin15^\circ - \cos15^\circ, \cos15^\circ - \sin15^\circ)$$。
然后计算模长：$$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(\sin15^\circ - \cos15^\circ)^2 + (\cos15^\circ - \sin15^\circ)^2} = \sqrt{2(\sin15^\circ - \cos15^\circ)^2} = \sqrt{2} \times |\sin15^\circ - \cos15^\circ|$$。
由于$$\sin15^\circ < \cos15^\circ$$，所以$$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{2}(\cos15^\circ - \sin15^\circ) = 2\sin(45^\circ - 15^\circ) = 2\sin30^\circ = 1$$。
答案：D
2. 题目：已知$$P_1(3,-2), P_2(0,4)$$，求满足$$\overrightarrow{P_1P} = 2\overrightarrow{PP_2}$$的点$$P$$的坐标。
解析：设$$P(x,y)$$，根据题意有$$\overrightarrow{P_1P} = (x-3, y+2)$$，$$\overrightarrow{PP_2} = (0-x, 4-y)$$。
由条件得$$(x-3, y+2) = 2(-x, 4-y)$$，即$$x-3 = -2x$$和$$y+2 = 8-2y$$。
解得$$x=1$$，$$y=2$$。
答案：C
3. 题目：已知$$P_1(2,-1), P_2(0,5)$$，点$$P$$在线段$$P_1P_2$$的延长线上，且$$|\overrightarrow{P_1P}| = 2|\overrightarrow{PP_2}|$$，求点$$P$$的坐标。
解析：设$$P(x,y)$$，根据题意，$$P$$在$$P_1P_2$$的延长线上，且$$P_1P:PP_2 = 2:1$$。
利用分点公式，$$x = \frac{{2 \times 0 - 1 \times 2}}{{2 - 1}} = -2$$，$$y = \frac{{2 \times 5 - 1 \times (-1)}}{{2 - 1}} = 11$$。
答案：D
4. 题目：已知向量$$\vec{a}=(1,2), \vec{a}-\vec{b}=(4,5), \vec{c}=(x,3)$$，若$$(2\vec{a}+\vec{b}) \parallel \vec{c}$$，求$$x$$。
解析：首先求$$\vec{b} = \vec{a} - (4,5) = (-3,-3)$$。
然后计算$$2\vec{a} + \vec{b} = (2-3, 4-3) = (-1,1)$$。
由于$$(-1,1) \parallel (x,3)$$，所以$$\frac{{-1}}{{x}} = \frac{{1}}{{3}}$$，解得$$x=-3$$。
答案：C
5. 题目：已知向量$$\vec{a}=(4,-1), \vec{b}=(-5,2)$$，且$$(\vec{a}+\vec{b}) \parallel (m\vec{a}-\vec{b})$$，求实数$$m$$。
解析：计算$$\vec{a} + \vec{b} = (-1,1)$$，$$m\vec{a} - \vec{b} = (4m+5, -m-2)$$。
由于平行，有$$\frac{{-1}}{{4m+5}} = \frac{{1}}{{-m-2}}$$，解得$$m=-1$$。
答案：B
6. 题目：已知向量$$\vec{m}=(-1,2), \vec{n}=(\lambda,-4)$$，若$$\vec{m} \perp \vec{n}$$，求$$|2\vec{m} - \vec{n}|$$。
解析：由垂直条件得$$\vec{m} \cdot \vec{n} = -\lambda -8 = 0$$，解得$$\lambda=-8$$。
计算$$2\vec{m} - \vec{n} = (-2+8, 4+4) = (6,8)$$，模长为$$\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$$。
答案：B
7. 题目：已知向量$$\vec{a}=(2,-1), \vec{b}=(1,\lambda)$$，若$$(\vec{a}+2\vec{b}) \parallel (2\vec{a}-\vec{b})$$，求实数$$\lambda$$。
解析：计算$$\vec{a} + 2\vec{b} = (4, -1+2\lambda)$$，$$2\vec{a} - \vec{b} = (3, -2-\lambda)$$。
由于平行，有$$\frac{{4}}{{3}} = \frac{{-1+2\lambda}}{{-2-\lambda}}$$，解得$$\lambda = -\frac{{1}}{{2}}$$。
答案：D
8. 题目：已知梯形$$ABCD$$中，$$\angle ABC = \angle BAD = \frac{{\pi}}{{2}}$$，$$AB=BC=1$$，$$AD=2$$，若$$P$$是$$DC$$的中点，求$$|\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB}|$$。
解析：建立坐标系，设$$A(0,0)$$，$$B(1,0)$$，$$C(1,1)$$，$$D(0,2)$$。
$$P$$为$$DC$$中点，坐标为$$(0.5,1.5)$$。
计算$$\overrightarrow{PA} = (-0.5,-1.5)$$，$$\overrightarrow{PB} = (0.5,-1.5)$$。
$$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} = (-0.5 + 1, -1.5 -3) = (0.5,-4.5)$$。
模长为$$\sqrt{0.25 + 20.25} = \sqrt{20.5} = \frac{{\sqrt{82}}}{{2}}$$。
答案：A
9. 题目：已知向量$$\vec{a}=(1,3), \vec{b}=(3,-2)$$，求$$2\vec{a} \cdot \vec{b}$$。
解析：$$2\vec{a} = (2,6)$$，点积为$$2 \times 3 + 6 \times (-2) = 6 -12 = -6$$。
答案：D
10. 题目：已知直角梯形$$ABCD$$中，$$AD \parallel BC$$，$$\angle BAD=90^\circ$$，$$\angle ADC=45^\circ$$，$$AD=2$$，$$BC=1$$，$$P$$是腰$$CD$$上的动点，求$$|3\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{BP}|$$的最小值。
解析：建立坐标系，设$$A(0,0)$$，$$B(1,0)$$，$$D(0,2)$$，$$C(1,1)$$。
参数化$$P$$点：$$P(t,2-t)$$，$$t \in [0,1]$$。
计算$$\overrightarrow{PA} = (-t, t-2)$$，$$\overrightarrow{BP} = (t-1, 2-t)$$。
$$3\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{BP} = (-3t + t -1, 3t -6 + 2 -t) = (-2t -1, 2t -4)$$。
模长的平方为$$(-2t-1)^2 + (2t-4)^2 = 8t^2 -12t +17$$。
最小值为$$t = \frac{{12}}{{16}} = 0.75$$时，值为$$8 \times 0.5625 -9 +17 = 4.5 -9 +17 = 12.5$$，即$$\frac{{5\sqrt{2}}}{{2}}$$。
答案：C