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正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \ \cos\theta， \ \ \sin\theta) \， \ \overrightarrow{b}=\ ( \ 2 \sqrt{3}， \ 2 ) \enspace，$$则$$| 2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |$$的最大值和最小值分别为（）
B
A.$${{6}{\sqrt {2}}{，}{0}}$$
B.$${{6}{，}{2}}$$
C.$${{1}{6}{，}{0}}$$
D.$${{6}{，}{6}{\sqrt {2}}}$$
2、['平面向量加法、减法的坐标运算']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{O A}=( 3，-2 )， \， \， \， \overrightarrow{O B}=(-5，-1 )，$$则$$\overrightarrow{A B}=$$（）
B
A.$$( 8， 1 )$$
B.$$(-8， 1 )$$
C.$$( 8，-1 )$$
D.$$(-2，-3 )$$
3、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\ ( \ -1， \ 2 ) \， \overrightarrow{b}=\ ( \ 1， \ 0 )$$那么向量$${{3}{{b}^{→}}{−}{{a}^{→}}}$$的坐标是（）
D
A.$$( \mathrm{\it~-4， \mathrm{\bf~ 2}} )$$
B.$$( \mathit{\omega}-4， \mathit{\omega}-2 )$$
C.$$( 4， \ 2 )$$
D.$$( 4， ~-2 )$$
5、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( m， \ 3 )， \ \ \overrightarrow{b}=(-2， \ 2 )，$$且$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) / / \overrightarrow{b}$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{3}}$$
6、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '三角形的“四心”'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率40.0%设$${{F}}$$为抛物线$${{y}^{2}{=}{x}}$$的焦点，$$A， ~ B， ~ C， ~ D$$为该抛物线上四点，若$$\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}+\overrightarrow{F D}=\overrightarrow{0}，$$则$$| \overrightarrow{F A} |+| \overrightarrow{F B} |+| \overrightarrow{F C} |+| \overrightarrow{F D} |=~ ($$）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
7、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%设向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2，-3 )，$$若$$k \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}$$与$${{a}^{→}}$$垂直，则实数$${{k}}$$的值等于（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
8、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( \sqrt{3}， ~ 1 )， ~ ~ \overrightarrow{b}=( 0， ~-1 )， ~ ~ \overrightarrow{c}=( k， ~ \sqrt{3} )，$$若$$( \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b} )$$与$${{c}^{→}}$$互相垂直，则$${{k}}$$的值为（）
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{3}}$$
9、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率40.0%若，$$\overrightarrow{A B}=(-2， 4 )， \， \， \， \overrightarrow{A C}=( 4， 6 )$$，则$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{B C}=($$）
B
A.，$$( 1， 5 )$$
B.，$$( 3， 1 )$$
C.，$$( 6， 2 )$$
D.，$$(-3，-1 )$$
10、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， \ 3 )， \ \overrightarrow{b}=( n， \ 1 )，$$若$$| \vec{a}+\vec{b} |=\vec{a} \cdot\vec{b}$$，则$${{n}}$$的值为（）
D
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$${{2}}$$
1. 首先计算 $$2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$ 的表达式： $$2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2\cos\theta - 2\sqrt{3}, 2\sin\theta - 2)$$ 其模长为： $$|2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{(2\cos\theta - 2\sqrt{3})^2 + (2\sin\theta - 2)^2}$$ 展开并化简： $$= \sqrt{4\cos^2\theta - 8\sqrt{3}\cos\theta + 12 + 4\sin^2\theta - 8\sin\theta + 4}$$ $$= \sqrt{4(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 8\sqrt{3}\cos\theta - 8\sin\theta + 16}$$ $$= \sqrt{4 - 8\sqrt{3}\cos\theta - 8\sin\theta + 16}$$ $$= \sqrt{20 - 8(\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta)}$$ 利用三角函数的性质，$$\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta$$ 的最大值为 $$2$$，最小值为 $$-2$$。因此： - 最大值为 $$\sqrt{20 - 8 \times (-2)} = \sqrt{36} = 6$$ - 最小值为 $$\sqrt{20 - 8 \times 2} = \sqrt{4} = 2$$ 答案为 B。
3. 计算 $$3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$$： $$3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = 3(1, 0) - (-1, 2) = (3 + 1, 0 - 2) = (4, -2)$$ 答案为 D。
6. 抛物线 $$y^2 = x$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{1}{4}, 0\right)$$。设四点坐标为 $$A(x_1, y_1)$$, $$B(x_2, y_2)$$, $$C(x_3, y_3)$$, $$D(x_4, y_4)$$，则： $$\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{FD} = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 - 1, y_1 + y_2 + y_3 + y_4) = \overrightarrow{0}$$ 因此： $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1$$ $$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0$$ 由于 $$A, B, C, D$$ 在抛物线上，$$x_i = y_i^2$$。所以： $$|FA| + |FB| + |FC| + |FD| = \sum \sqrt{\left(y_i^2 - \frac{1}{4}\right)^2 + y_i^2} = \sum \left(y_i^2 + \frac{1}{4}\right) = \sum y_i^2 + 1 = 1 + 1 = 2$$ 答案为 A。
8. 计算 $$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$$： $$\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (\sqrt{3}, 1) - 2(0, -1) = (\sqrt{3}, 3)$$ 与 $$\overrightarrow{c}$$ 垂直，点积为 0： $$\sqrt{3}k + 3\sqrt{3} = 0 \Rightarrow k = -3$$ 答案为 A。
10. 计算 $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ 和 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$： $$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1 + n, 3 + 1) = (n + 1, 4)$$ $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times n + 3 \times 1 = n + 3$$ 根据题意： $$\sqrt{(n + 1)^2 + 16} = n + 3$$ 两边平方： $$(n + 1)^2 + 16 = (n + 3)^2$$ 展开并化简： $$n^2 + 2n + 1 + 16 = n^2 + 6n + 9$$ $$2n + 17 = 6n + 9$$ $$-4n = -8 \Rightarrow n = 2$$ 答案为 D。
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