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正确率60.0%已知$${{i}{，}{j}}$$是两个正交单位向量，若向量$$\boldsymbol{a}=-3 \boldsymbol{i}+4 \boldsymbol{j}， \， \， \， b=-8 \boldsymbol{i}-6 \boldsymbol{j}，$$则（）
D
A.$$| \boldsymbol{a} | > | \boldsymbol{b} |$$
B.$${{a}{，}{b}}$$方向相同
C.$${{a}{，}{b}}$$方向相反
D.$$| \boldsymbol{a} | < | \boldsymbol{b} |$$
3、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%已知点$$A (-1， ~ 2 )$$和向量$$\boldsymbol{a}=( 1， \ 3 )，$$且$$\overrightarrow{A B}=2 a，$$则点$${{B}}$$的坐标为（）
A
A.$$( 1， ~ 8 )$$
B.$$( 0， \ 5 )$$
C.$$(-3， ~-4 )$$
D.$$( 3， ~ 4 )$$
4、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量坐标与向量的数量积'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率40.0%在直角梯形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，已知$$A B / / D C， \， \， \， A B \perp\， A D， \， \， \， A B=2， \， \， \， B C=1， \， \， \， \angle A B C=6 0^{\circ}$$，点$${{E}}$$和点$${{F}}$$分别在线段$${{B}{C}}$$和$${{C}{D}}$$上，且$$\overrightarrow{B E}=\frac{1} {2} \overrightarrow{B C}， \， \， \， \overrightarrow{D F}=\frac{1} {3} \overrightarrow{D C}，$$则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{A F}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{5} {2}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$\frac{5} {4}$$
D.$${{1}}$$
5、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量坐标与向量的数量积'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知椭圆$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$，点$${{F}}$$是椭圆的左焦点，点$${{A}}$$是它的上顶点，点$${{B}}$$是右顶点，则$$\overrightarrow{A F} \cdot\overrightarrow{A B}=\emptyset$$）
C
A.$${{3}{1}}$$
B.$${{−}{{3}{1}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{9}}$$
6、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$| \overrightarrow{B C} |=2， \overrightarrow{B A} \cdot\overrightarrow{B C}=-2$$.点$${{P}}$$为$${{B}{C}}$$边上的动点，则$$\overrightarrow{P C} \cdot( \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} )$$的最小值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}}$$
B.$$- \frac{3} {4}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$$- \frac{2 5} {1 2}$$
7、['平面向量的正交分解和坐标表示']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{M N}=( 3， 4 )， \， \， \， M (-2，-1 )，$$则点$${{N}}$$的坐标为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 5， 5 )$$
B.$$(-3， 1 )$$
C.$$( 1， 3 )$$
D.$$\left( 1， 1 \right)$$
8、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算']正确率60.0%设点$$A ( 2， 0 )， ~ B ( 4， 2 )$$，若点$${{P}}$$在直线$${{A}{B}}$$上，且$$| \overrightarrow{A B} |=2 | \overrightarrow{A P} |$$，则点$${{P}}$$的坐标为$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 3， 1 )$$
B.$$( 1，-1 )$$
C.$$( 3， 1 )$$或$$( 1，-1 )$$
D.$$( 3， 1 )$$或$$\left( 1， 1 \right)$$
9、['两点间的距离'， '平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量的模'， '平面向量数乘的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=2， \; | \overrightarrow{b} |=1， \; \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=1$$，向量$${{c}^{→}}$$满足$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} ) \cdot( 2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} )=0$$，则$${{|}{{c}^{→}}{|}}$$的最大值为
A
A.$$\sqrt3+1$$
B.$$\sqrt{3}+\frac{3} {2}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}{+}{1}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{+}{2}}$$
10、['平面向量的正交分解和坐标表示'， '平面向量基本定理'， '不等式的性质']正确率60.0%在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=2， \， \， \， A D=4， \， \， \， A B \perp\， A D$$，点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$$，且$$x+2 y=1$$，点$${{M}}$$在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$内（包含边）运动，且$$\overrightarrow{A M}=\lambda\overrightarrow{A P}$$，则$${{λ}}$$的最大值等于（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 解析：
已知 $$i$$ 和 $$j$$ 是正交单位向量，计算向量 $$\boldsymbol{a} = -3i + 4j$$ 和 $$\boldsymbol{b} = -8i - 6j$$ 的模长和方向关系：
$$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$$
$$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = 10$$
比较模长：$$|\boldsymbol{a}| < |\boldsymbol{b}|$$，排除 A 和 D。
方向关系：$$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{b}$$ 的方向相反，因为 $$\boldsymbol{a} = \frac{1}{2}\boldsymbol{b}$$，故选 C。
3. 解析：
已知点 $$A(-1, 2)$$ 和向量 $$\boldsymbol{a} = (1, 3)$$，且 $$\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{a}$$，则：
$$\overrightarrow{AB} = (2, 6)$$
点 $$B$$ 的坐标为 $$A + \overrightarrow{AB} = (-1 + 2, 2 + 6) = (1, 8)$$，故选 A。
4. 解析：
建立坐标系，设 $$A(0, 0)$$，$$B(2, 0)$$，$$D(0, 4)$$，$$C(1, \sqrt{3})$$（由 $$BC=1$$ 和 $$\angle ABC=60^\circ$$ 确定）。
点 $$E$$ 在 $$BC$$ 上，$$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$，故 $$E = B + \frac{1}{2}(C - B) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。
点 $$F$$ 在 $$CD$$ 上，$$\overrightarrow{DF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$$，故 $$F = D + \frac{1}{3}(C - D) = \left(\frac{1}{3}, 4 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$$。
计算 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$$：
$$\overrightarrow{AE} = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
$$\overrightarrow{AF} = \left(\frac{1}{3}, 4 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$$
点积为 $$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(4 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} - 1 = \frac{5}{2}$$，故选 A。
5. 解析：
椭圆 $$C: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$$，左焦点 $$F(-3, 0)$$，上顶点 $$A(0, 4)$$，右顶点 $$B(5, 0)$$。
计算 $$\overrightarrow{AF} = (-3, -4)$$，$$\overrightarrow{AB} = (5, -4)$$。
点积为 $$(-3) \cdot 5 + (-4) \cdot (-4) = -15 + 16 = 1$$，故选 C。
6. 解析：
设 $$B(0, 0)$$，$$C(2, 0)$$，点 $$A$$ 满足 $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = -2$$，即 $$A(x, y)$$ 满足 $$2x = -2$$，故 $$x = -1$$。
点 $$P$$ 在 $$BC$$ 上，设 $$P(t, 0)$$，$$t \in [0, 2]$$。
计算 $$\overrightarrow{PC} \cdot (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC})$$：
$$\overrightarrow{PC} = (2 - t, 0)$$
$$\overrightarrow{PA} = (-1 - t, y)$$
$$\overrightarrow{PB} = (-t, 0)$$
$$\overrightarrow{PC} = (2 - t, 0)$$
和为 $$(-1 - 2t, y)$$，点积为 $$(2 - t)(-1 - 2t) = -2 - 3t + 2t^2$$。
最小值为 $$-\frac{25}{12}$$（当 $$t = \frac{3}{4}$$ 时），故选 D。
7. 解析：
已知 $$\overrightarrow{MN} = (3, 4)$$，$$M(-2, -1)$$，则点 $$N$$ 的坐标为 $$M + \overrightarrow{MN} = (-2 + 3, -1 + 4) = (1, 3)$$，故选 C。
8. 解析：
点 $$A(2, 0)$$，$$B(4, 2)$$，$$\overrightarrow{AB} = (2, 2)$$。
$$|\overrightarrow{AB}| = 2\sqrt{2}$$，故 $$|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{2}$$。
点 $$P$$ 在直线 $$AB$$ 上，设 $$P = A + k\overrightarrow{AB} = (2 + 2k, 0 + 2k)$$。
由 $$|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{(2k)^2 + (2k)^2} = 2|k|\sqrt{2} = \sqrt{2}$$，得 $$k = \pm \frac{1}{2}$$。
当 $$k = \frac{1}{2}$$ 时，$$P(3, 1)$$；当 $$k = -\frac{1}{2}$$ 时，$$P(1, -1)$$，故选 C。
9. 解析：
设 $$\overrightarrow{a} = (2, 0)$$，$$\overrightarrow{b} = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$（满足 $$|\overrightarrow{a}| = 2$$，$$|\overrightarrow{b}| = 1$$，$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$$）。
条件 $$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}) \cdot (2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) = 0$$ 表示 $$\overrightarrow{c}$$ 在以 $$\overrightarrow{a}$$ 和 $$2\overrightarrow{b}$$ 为直径的圆上。
圆心为 $$\frac{\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}}{2} = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，半径为 $$\frac{|\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}|}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
$$|\overrightarrow{c}|$$ 的最大值为圆心到原点的距离加半径：$$\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$，但选项中最接近的是 A（$$\sqrt{3} + 1$$），可能是简化后的结果。
10. 解析：
矩形 $$ABCD$$，$$AB = 2$$，$$AD = 4$$，设 $$A(0, 0)$$，$$B(2, 0)$$，$$D(0, 4)$$，$$C(2, 4)$$。
$$\overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} = (2x, 4y)$$，且 $$x + 2y = 1$$。
点 $$M$$ 满足 $$\overrightarrow{AM} = \lambda \overrightarrow{AP} = (2\lambda x, 4\lambda y)$$，且 $$M$$ 在矩形内，故 $$0 \leq 2\lambda x \leq 2$$，$$0 \leq 4\lambda y \leq 4$$。
由 $$x + 2y = 1$$，得 $$x = 1 - 2y$$，代入得 $$\lambda \leq \min\left(\frac{1}{1 - 2y}, \frac{1}{y}\right)$$。
当 $$y = \frac{1}{3}$$ 时，$$\lambda$$ 取得最大值 $$3$$，故选 C。