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正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=\ ( \sqrt{3}， \ -1 ) \， \ \overrightarrow{B C}=\ ( \ 1， \ -\sqrt{3} )$$，则$${{s}{i}{n}{B}}$$等于（）
D
A.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['向量坐标与向量的数量积'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=\left( \operatorname{s i n}^{4} \frac{x} {2}， \operatorname{c o s}^{4} \frac{x} {2} \right)，$$向量$$\overrightarrow{b}=( 1， 1 ) \，，$$函数$$f ( x )=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}$$，下列说法正确是（）
D
A.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是奇函数
B.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的一条对称轴为直线$$x=\frac{\pi} {4}$$
C.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的最小正周期为$${{2}{π}}$$
D.$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$\left( \frac{\pi} {4}， \frac{\pi} {2} \right)$$上为减函数
3、['向量坐标与向量的数量积'， '投影的数量']正确率80.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=( \mathbf{3}， \mathbf{}-\mathbf{1} )， \mathbf{b}=( \mathbf{1}， \mathbf{0} )，$$则$${{b}}$$在$${{a}}$$上的投影的数量是（）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$${{3}}$$
4、['圆的定义与标准方程'， '向量坐标与向量的数量积']正确率19.999999999999996%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{2}{\sqrt {3}}}$$的正三角形$${，{E}{F}}$$为该三角形内切圆的一条弦，且$$| E F |=\sqrt{3}$$.若点$${{P}}$$在$${{△}{A}{B}{C}}$$的三边上运动，则$$\overrightarrow{P E} \cdot\overrightarrow{P F}$$的最大值为（）
B
A.$$\frac{5} {2}$$
B.$$\frac{1 1} {2}$$
C.$$\frac{1 3} {2}$$
D.$$\frac{1 7} {2}$$
5、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积']正确率40.0%已知点$$A ( 2， m )， \， \， \， B ( 1， 2 )， \， \， \， C ( 3， 1 )$$若$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C B}=| \overrightarrow{A C} |，$$则实数$${{m}}$$等于$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{7} {3}$$
6、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-1， \; 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， \; \;-1 )，$$则$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{a}=$$（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{5}}$$
7、['向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角']正确率60.0%设$$\overrightarrow{a}=\ ( 1， \ \sqrt{3} ) \， \，， \， \， \， \， \overrightarrow{b}=\ ( 1， \ 0 ) \， \， \，， \， \， \， \， \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b} \，.$$若$$\overrightarrow{b} \perp\overrightarrow{c}，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{c}^{→}}$$的夹角为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
8、['向量坐标与向量的数量积']正确率60.0%已知$$\vec{a}=( 3，-5 )， \vec{b}=(-6，-2 )，$$则$${{a}{⃗}{∙}{{b}^{⃗}}}$$等于（）
C
A.$${{−}{{3}{6}}}$$
B.$${{−}{{1}{0}}}$$
C.$${{−}{8}}$$
D.$${{6}}$$
9、['向量坐标与向量的数量积'， '数量积的运算律']正确率40.0%svg异常
C
A.$${{−}{9}}$$
B.$${{−}{{3}{9}}}$$
C.$${{−}{{6}{9}}}$$
D.$${{−}{{8}{9}}}$$
10、['圆的定义与标准方程'， '向量坐标与向量的数量积'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义']正确率40.0%svg异常
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{4}}$$
D.svg异常
1. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=\ ( \sqrt{3}, \ -1 ) \, \ \overrightarrow{B C}=\ ( \ 1, \ -\sqrt{3} )$$，求$${{s}{i}{n}{B}}$$。
解：首先计算向量$$\overrightarrow{BA}$$和$$\overrightarrow{BC}$$的夹角。
$$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = (-\sqrt{3}, 1)$$
$$\overrightarrow{BC} = (1, -\sqrt{3})$$
点积：$$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-\sqrt{3}) \times 1 + 1 \times (-\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$$
模长：$$|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$$
$$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$$
由点积公式：$$\cos B = \frac{{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{BA}| \times |\overrightarrow{BC}|}} = \frac{{-2\sqrt{3}}}{{4}} = -\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}$$
因此：$$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{{3}}{{4}}} = \frac{{1}}{{2}}$$
答案：D
2. 已知向量$$\overrightarrow{a}=\left( \operatorname{s i n}^{4} \frac{x} {2}, \operatorname{c o s}^{4} \frac{x} {2} \right),$$向量$$\overrightarrow{b}=( 1, 1 ) \,,$$函数$$f ( x )=\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}$$，判断下列说法。
解：首先计算$$f(x)$$：
$$f(x) = \sin^4 \frac{{x}}{{2}} + \cos^4 \frac{{x}}{{2}} = \left(\sin^2 \frac{{x}}{{2}} + \cos^2 \frac{{x}}{{2}}\right)^2 - 2\sin^2 \frac{{x}}{{2}} \cos^2 \frac{{x}}{{2}} = 1 - \frac{{1}}{{2}}\sin^2 x$$
A. $$f(-x) = 1 - \frac{{1}}{{2}}\sin^2 (-x) = 1 - \frac{{1}}{{2}}\sin^2 x = f(x)$$，是偶函数，错误。
B. 对称轴需满足$$f\left(\frac{{\pi}}{{4}} + t\right) = f\left(\frac{{\pi}}{{4}} - t\right)$$，验证：
$$f\left(\frac{{\pi}}{{4}} + t\right) = 1 - \frac{{1}}{{2}}\sin^2 \left(\frac{{\pi}}{{4}} + t\right)$$
$$f\left(\frac{{\pi}}{{4}} - t\right) = 1 - \frac{{1}}{{2}}\sin^2 \left(\frac{{\pi}}{{4}} - t\right)$$
由于$$\sin^2 \left(\frac{{\pi}}{{4}} + t\right) = \sin^2 \left(\frac{{\pi}}{{4}} - t\right)$$，成立，正确。
C. $$f(x)$$的周期为$$\pi$$，错误。
D. 在$$\left(\frac{{\pi}}{{4}}, \frac{{\pi}}{{2}}\right)$$上，$$\sin x$$递增，$$\sin^2 x$$递增，$$f(x)$$递减，正确。
答案：B、D
3. 已知向量$$\boldsymbol{a}=( \mathbf{3}, \mathbf{}-\mathbf{1} ), \mathbf{b}=( \mathbf{1}, \mathbf{0} ),$$求$${{b}}$$在$${{a}}$$上的投影的数量。
解：投影公式为：
$$\text{投影} = \frac{{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}}{{|\boldsymbol{a}|}} = \frac{{3 \times 1 + (-1) \times 0}}{{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}} = \frac{{3}}{{\sqrt{10}}} = \frac{{3\sqrt{10}}}{{10}}$$
答案：C
4. 已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{2}{\sqrt {3}}}$$的正三角形$${，{E}{F}}$$为该三角形内切圆的一条弦，且$$| E F |=\sqrt{3}$$。求$$\overrightarrow{P E} \cdot\overrightarrow{P F}$$的最大值。
解：正三角形内切圆半径$$r = \frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}}} \times \frac{{1}}{{2}} = 1$$。
设圆心为$$O$$，则$$|OE| = |OF| = 1$$，且$$\angle EOF = 120^\circ$$。
$$\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF} = (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OE}) \cdot (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OF}) = |PO|^2 + \overrightarrow{PO} \cdot (\overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF}) + \overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{OF}$$
由于$$\overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = -\overrightarrow{FE}$$，且$$\overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{OF} = -\frac{{1}}{{2}}$$。
当$$P$$在顶点时，$$|PO| = 2$$，此时：
$$\overrightarrow{PE} \cdot \overrightarrow{PF} = 4 + 2 \times \sqrt{3} \times \cos \theta - \frac{{1}}{{2}}$$，最大值为$$4 + 2 \times \sqrt{3} \times 1 - \frac{{1}}{{2}} = \frac{{11}}{{2}}$$。
答案：B
5. 已知点$$A ( 2, m ), \, \, \, B ( 1, 2 ), \, \, \, C ( 3, 1 )$$，若$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C B}=| \overrightarrow{A C} |,$$求实数$${{m}}$$。
解：计算向量：
$$\overrightarrow{AB} = (-1, 2 - m)$$
$$\overrightarrow{CB} = (-2, 1)$$
$$\overrightarrow{AC} = (1, 1 - m)$$
由题意：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = (-1) \times (-2) + (2 - m) \times 1 = 2 + 2 - m = 4 - m$$
$$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1 + (1 - m)^2}$$
因此：$$4 - m = \sqrt{1 + (1 - m)^2}$$
平方得：$$16 - 8m + m^2 = 1 + 1 - 2m + m^2$$
化简：$$16 - 8m = 2 - 2m$$
解得：$$m = \frac{{14}}{{6}} = \frac{{7}}{{3}}$$
答案：D
6. 已知向量$$\overrightarrow{a}=(-1, \; 2 ), \; \; \overrightarrow{b}=( 1, \; \;-1 ),$$求$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \cdot\overrightarrow{a}$$。
解：$$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (-2, 3)$$
$$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = (-2) \times (-1) + 3 \times 2 = 2 + 6 = 8$$
答案：C
7. 设$$\overrightarrow{a}=\ ( 1, \ \sqrt{3} ) \, \,, \, \, \, \, \overrightarrow{b}=\ ( 1, \ 0 ) \, \, \,, \, \, \, \, \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b} \,.$$若$$\overrightarrow{b} \perp\overrightarrow{c},$$求$${{a}^{→}}$$与$${{c}^{→}}$$的夹角。
解：由$$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$$得：
$$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} + k|\overrightarrow{b}|^2 = 1 \times 1 + 0 \times \sqrt{3} + k \times 1 = 1 + k = 0$$
因此$$k = -1$$，$$\overrightarrow{c} = (0, \sqrt{3})$$。
夹角$$\theta$$满足：
$$\cos \theta = \frac{{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}}}{{|\overrightarrow{a}| \times |\overrightarrow{c}|}} = \frac{{1 \times 0 + \sqrt{3} \times \sqrt{3}}}{{2 \times \sqrt{3}}} = \frac{{3}}{{2\sqrt{3}}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}$$
因此$$\theta = \frac{{\pi}}{{6}}$$。
答案：A
8. 已知$$\vec{a}=( 3,-5 ), \vec{b}=(-6,-2 ),$$求$${{a}{⃗}{∙}{{b}^{⃗}}}$$。
解：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-6) + (-5) \times (-2) = -18 + 10 = -8$$
答案：C
9. svg异常。
答案：无
10. svg异常。
答案：无