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正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{0}{)}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{=}{\sqrt {2}}{，}{{a}^{→}}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{4}{5}^{∘}}$$，若$${{c}^{→}{=}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{，}{{d}^{→}}{=}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{c}^{→}}$$在$${{d}^{→}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
2、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%设$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是单位向量，且$${{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}{=}{1}}$$，则$${{<}{{a}^{→}}{，}{{b}^{→}}{{>}{=}}{（}}$$）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
3、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量的数量积的定义'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%已知夹角$$\frac{\pi} {2}$$为的两个向量$$\vec{a}， \vec{b}， \ \ | \vec{a} |=\left| \vec{b} \right|=2，$$向量$${{c}{⃗}}$$满足$${{(}{{c}{⃗}}{−}{{a}{⃗}}{)}{⋅}{(}{{c}{⃗}}{−}{{b}^{⃗}}{)}{=}{0}}$$，则$${{|}{{c}{⃗}}{|}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{[}{1}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$
B.$${{[}{1}{，}{\sqrt {3}}{]}}$$
C.$${{[}{0}{，}{2}{]}}$$
D.$${{[}{0}{，}{2}{\sqrt {2}}{]}}$$
4、['向量的数量积的定义']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，“$${{△}{A}{B}{C}}$$为钝角三角形”是“$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C} > 0$$”的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5、['双曲线的离心率'， '一元二次方程的解集'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}{，}{A}{，}{B}}$$分别为双曲线的左、右顶点，过$${{F}}$$作直线$${{x}{=}{c}{，}}$$在直线$${{x}{=}{c}}$$上存在点$${{M}{(}{c}{，}{m}{)}{，}}$$使得$${{∠}{A}{M}{B}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}}$$则双曲线$${{C}}$$的离心率$${{e}}$$的最大值为（）
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
7、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$( \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A} ) \cdot\overrightarrow{A C}=\left| \overrightarrow{A C} \right|^{2}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状一定是（）
A
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
8、['向量的数量积的定义']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$${，{A}{B}{=}{4}{，}{∠}{A}{B}{C}{=}{{3}{0}^{∘}}{，}{A}{D}}$$是边$${{B}{C}}$$上的高，则$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{A C}$$等于（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{−}{4}}$$
9、['一元二次不等式的解法'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%若$$\overrightarrow{a} \neq\overrightarrow{e}， \left| \overrightarrow{e} \right|=1，$$对任意$${{t}}$$，恒有$$\left| \overrightarrow{a}-t \overrightarrow{e} \right| \geq\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{e} \right|$$成立，则下列结论正确的是（）
C
A.$${{a}^{→}{⊥}{{e}^{→}}}$$
B.$${{a}^{→}{⊥}{{(}{{a}^{→}}{−}{{e}^{→}}{)}}}$$
C.$${{e}^{→}{⊥}{{(}{{a}^{→}}{−}{{e}^{→}}{)}}}$$
D.$${{(}{{a}^{→}}{+}{{e}^{→}}{)}{⊥}{{(}{{a}^{→}}{−}{{e}^{→}}{)}}}$$
10、['判断三角形的形状'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率60.0%点$${{O}}$$为$${{Δ}{A}{B}{C}}$$所在平面上一点，且$$( \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} ) \cdot( \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}-2 \overrightarrow{O A} )=0$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的形状为（）
C
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
以下是各题的详细解析：
已知向量 $${\vec{a} = (1, 0)}$$，$${|\vec{b}| = \sqrt{2}}$$，且夹角为 $${45^\circ}$$。设 $${\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}}$$，$${\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}}$$，求 $${\vec{c}}$$ 在 $${\vec{d}}$$ 方向上的投影。
解析步骤：
1. 计算 $${\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 45^\circ = 1 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1}$$。
2. 计算 $${|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 2 + 2 \times 1 = 5}$$。
3. 计算 $${|\vec{d}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 2 - 2 \times 1 = 1}$$。
4. 投影公式为 $${\frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|}}$$。
5. 计算 $${\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 1 - 2 = -1}$$。
6. 投影为 $${\frac{-1}{1} = -1}$$，故选 D。
设 $${\vec{a}}$$ 和 $${\vec{b}}$$ 是单位向量，且 $${|\vec{a} + \vec{b}| = 1}$$，求夹角。
解析步骤：
1. 由 $${|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1}$$，展开得 $${|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1}$$。
2. 代入单位向量性质得 $${1 + 1 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1}$$，即 $${\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}}$$。
3. 由 $${\cos \theta = \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}}$$，得 $${\theta = \frac{2\pi}{3}}$$，故选 D。
已知 $${\vec{a}}$$ 和 $${\vec{b}}$$ 夹角为 $${\frac{\pi}{2}}$$，且 $${|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2}$$，向量 $${\vec{c}}$$ 满足 $${(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0}$$，求 $${|\vec{c}|}$$ 的取值范围。
解析步骤：
1. 设 $${\vec{a} = (2, 0)}$$，$${\vec{b} = (0, 2)}$$，$${\vec{c} = (x, y)}$$。
2. 条件化为 $${(x - 2, y) \cdot (x, y - 2) = 0}$$，即 $${x(x - 2) + y(y - 2) = 0}$$。
3. 整理得 $${x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0}$$，即 $${(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2}$$。
4. 表示 $${\vec{c}}$$ 在以 $${(1, 1)}$$ 为圆心、$${\sqrt{2}}$$ 为半径的圆上。
5. $${|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}}$$，其取值范围为 $${\left[ \sqrt{2} - \sqrt{2}, \sqrt{2} + \sqrt{2} \right] = [0, 2]}$$，故选 C。
在 $${\triangle ABC}$$ 中，“钝角三角形”与 $${\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} > 0}$$ 的关系。
解析步骤：
1. $${\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos (\pi - \angle B) = -|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos \angle B}$$。
2. 若 $${\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} > 0}$$，则 $${\cos \angle B < 0}$$，即 $${\angle B}$$ 为钝角。
3. 但钝角三角形可能钝角在 $${\angle A}$$ 或 $${\angle C}$$，故是必要不充分条件，选 B。
双曲线 $${\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}$$ 的离心率 $${e}$$ 的最大值问题。
解析步骤：
1. 设 $${F(c, 0)}$$，$${A(-a, 0)}$$，$${B(a, 0)}$$，$${M(c, m)}$$。
2. 由 $${∠AMB = 60^\circ}$$，利用斜率得 $${\tan 60^\circ = \left| \frac{m}{c + a} - \frac{m}{c - a} \right| / \left( 1 + \frac{m^2}{c^2 - a^2} \right)}$$。
3. 化简得 $${m^2 = \frac{3(c^2 - a^2)^2}{4a^2}}$$。
4. 由 $${c^2 = a^2 + b^2}$$，代入得 $${e = \frac{c}{a} \leq 2}$$，故选 B。
在 $${\triangle ABC}$$ 中，$${(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}) \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2}$$，判断形状。
解析步骤：
1. 展开得 $${\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2}$$。
2. 利用向量点积性质，整理得 $${|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2}$$，即 $${|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|}$$。
3. 故 $${\triangle ABC}$$ 为等腰三角形，选 B。
在 $${\triangle ABC}$$ 中，$${AB = 4}$$，$${\angle ABC = 30^\circ}$$，$${AD}$$ 是高，求 $${\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}}$$。
解析步骤：
1. 由几何关系得 $${AD = AB \cdot \sin 30^\circ = 2}$$。
2. 设坐标系，$${A(0, 0)}$$，$${B(4, 0)}$$，$${C(4 + BC \cdot \cos 30^\circ, BC \cdot \sin 30^\circ)}$$。
3. $${\overrightarrow{AD} = (0, 2)}$$，$${\overrightarrow{AC} = (4 + BC \cdot \cos 30^\circ, BC \cdot \sin 30^\circ)}$$。
4. 点积为 $${0 \times (4 + BC \cdot \cos 30^\circ) + 2 \times BC \cdot \sin 30^\circ = BC}$$。
5. 由 $${AD = BC \cdot \sin 30^\circ = 2}$$，得 $${BC = 4}$$，故结果为 4，选 B。
已知 $${\vec{a} \neq \vec{e}}$$，$${|\vec{e}| = 1}$$，对任意 $${t}$$，恒有 $${|\vec{a} - t\vec{e}| \geq |\vec{a} - \vec{e}|}$$，判断结论。
解析步骤：
1. 不等式表示 $${\vec{e}}$$ 是 $${\vec{a}}$$ 在 $${\vec{e}}$$ 方向上的投影点。
2. 即 $${\vec{e} \cdot (\vec{a} - \vec{e}) = 0}$$，故 $${\vec{e} \perp (\vec{a} - \vec{e})}$$，选 C。
点 $${O}$$ 满足 $${(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA}) = 0}$$，判断 $${\triangle ABC}$$ 形状。
解析步骤：
1. 化简得 $${(\overrightarrow{CB}) \cdot (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA}) = 0}$$。
2. 利用向量性质，得 $${\overrightarrow{CB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = 0}$$。
3. 即 $${|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|}$$，故 $${\triangle ABC}$$ 为等腰三角形，选 C。