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正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 1， 0 )， \; \; | \overrightarrow{b} |=\sqrt{2}， \; \; \overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{4}{5}^{∘}}$$，若$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}， \; \; \overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}，$$则$${{c}^{→}}$$在$${{d}^{→}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
2、['投影向量（投影）']正确率60.0%已知$$\vec{a}=\left( \frac{1} {2}，-\frac{\sqrt{3}} {2} \right)$$，$$| \vec{b} |=1$$，$$| \vec{a}-\vec{b} |=\sqrt{3}$$，则$${{a}{⃗}{−}{{b}^{⃗}}}$$在$${{b}^{⃗}}$$上的投影向量为（）
B
A.$$- \frac{\sqrt{3}} {2} \vec{b}$$
B.$$- \frac{3} {2} \vec{b}$$
C.$$\frac{3} {2} \vec{b}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {2} \vec{b}$$
3、['投影向量（投影）']正确率60.0%已知$$| \boldsymbol{a} |=4， ~ | \boldsymbol{b} |=3， ~ ~ \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=-6，$$则向量$${{b}}$$在$${{a}}$$上的投影向量为（）
A
A.$$- \frac{3} {8} a$$
B.$$- \frac{3} {8} b$$
C.$${\frac{3} {8}} \boldsymbol{a}$$
D.$$\frac{3} {8} b$$
4、['平面向量坐标运算的综合应用'， '投影向量（投影）']正确率60.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=1 0，$$且$$\boldsymbol{b}=( \boldsymbol{6}， \boldsymbol{-8} )，$$则向量$${{a}}$$在向量$${{b}}$$上的投影向量为（）
D
A.$$(-6， \ 8 )$$
B.$$( 6， ~-8 )$$
C.$$\left(-\frac{3} {5}， \ \frac{4} {5} \right)$$
D.$$\left( \frac{3} {5}， ~-\frac{4} {5} \right)$$
5、['投影向量（投影）']正确率60.0%已知向量$${{a}{⃗}}$$，$${{b}^{⃗}}$$满足$$| \vec{b} |=1$$，$${{a}{⃗}{⊥}{{b}^{⃗}}}$$，则$$\vec{a}-2 \vec{b}$$在$${{b}^{⃗}}$$方向上的投影向量为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{{a}{⃗}}}$$
C.$${{−}{2}{{b}^{⃗}}}$$
D.$${{−}{2}}$$
6、['投影向量（投影）'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b}， \ | \boldsymbol{b} |=2，$$且$${{a}}$$在$${{b}}$$方向上的投影的数量为$$- \frac1 2，$$则$${{a}{⋅}{b}{=}}$$（）
C
A.$${{0}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{{2}{4}}}$$
7、['投影向量（投影）']正确率80.0%已知$$| \boldsymbol{b} |=3，$$若$${{a}}$$在$${{b}}$$上的投影向量为$${\frac{1} {2}} \boldsymbol{b}，$$则$${{a}{⋅}{b}{=}}$$（）
B
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{9} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
8、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=1， \; | \overrightarrow{b} |=2， \; \; \overrightarrow{a} \cdot\; ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \;=0$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$方向上的投影为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{0}}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
10、['点到直线的距离'， '向量坐标与向量的数量积'， '投影向量（投影）']正确率40.0%在直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，$$A ( x， 1 )， \， \， B ( 2， y )， \， \， C ( 3，-4 )$$，若$$\overrightarrow{O A}， \， \overrightarrow{O B}$$在$$\overrightarrow{O C}$$方向上的投影相同，则$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}}$$的最小值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 解析：
已知 $$\overrightarrow{a}=(1,0)$$，$$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$$，夹角为 $$45^\circ$$。
首先计算 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cos 45^\circ = 1 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$$。
设 $$\overrightarrow{b}=(x,y)$$，则 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x = 1$$，且 $$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$$，解得 $$y = \pm 1$$，故 $$\overrightarrow{b}=(1,1)$$ 或 $$(1,-1)$$。
计算 $$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2,1)$$ 或 $$(2,-1)$$，$$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (0,-1)$$ 或 $$(0,1)$$。
投影公式为 $$\text{投影} = \frac{\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{d}|}$$。
对于 $$\overrightarrow{c}=(2,1)$$，$$\overrightarrow{d}=(0,-1)$$：投影为 $$\frac{2 \times 0 + 1 \times (-1)}{1} = -1$$。
对于 $$\overrightarrow{c}=(2,-1)$$，$$\overrightarrow{d}=(0,1)$$：投影为 $$\frac{2 \times 0 + (-1) \times 1}{1} = -1$$。
故选 D。
2. 解析：
已知 $$\vec{a}=\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，$$|\vec{b}|=1$$，$$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$$。
由 $$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$$，得 $$3 = 1 + 1 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$$，解得 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$$。
投影向量公式为 $$\left(\frac{(\vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right) \vec{b} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2}{1}\right) \vec{b} = \left(-\frac{1}{2} - 1\right) \vec{b} = -\frac{3}{2} \vec{b}$$。
故选 B。
3. 解析：
已知 $$|\boldsymbol{a}|=4$$，$$|\boldsymbol{b}|=3$$，$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-6$$。
投影向量公式为 $$\left(\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|^2}\right) \boldsymbol{a} = \left(\frac{-6}{16}\right) \boldsymbol{a} = -\frac{3}{8} \boldsymbol{a}$$。
故选 A。
4. 解析：
已知 $$\boldsymbol{b}=(6,-8)$$，$$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10$$。
投影向量公式为 $$\left(\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\right) \boldsymbol{b} = \left(\frac{10}{100}\right) \boldsymbol{b} = \frac{1}{10} (6,-8) = \left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$$。
故选 D。
5. 解析：
已知 $$\vec{a} \perp \vec{b}$$，故 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$。
投影向量公式为 $$\left(\frac{(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right) \vec{b} = \left(\frac{0 - 2 \times 1}{1}\right) \vec{b} = -2 \vec{b}$$。
故选 C。
6. 解析：
已知 $$|\boldsymbol{b}|=2$$，投影数量为 $$-\frac{1}{2}$$。
由投影数量公式 $$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} = -\frac{1}{2}$$，得 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1$$。
故选 C。
7. 解析：
已知 $$|\boldsymbol{b}|=3$$，投影向量为 $$\frac{1}{2} \boldsymbol{b}$$。
由投影向量公式 $$\left(\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\right) \boldsymbol{b} = \frac{1}{2} \boldsymbol{b}$$，得 $$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{9} = \frac{1}{2}$$，故 $$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \frac{9}{2}$$。
故选 B。
8. 解析：
已知 $$|\overrightarrow{a}|=1$$，$$|\overrightarrow{b}|=2$$，$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 0$$。
展开得 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，即 $$1 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，故 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -1$$。
投影公式为 $$\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$$。
故选 B。
10. 解析：
已知 $$\overrightarrow{OA}=(x,1)$$，$$\overrightarrow{OB}=(2,y)$$，$$\overrightarrow{OC}=(3,-4)$$。
投影相同即 $$\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|} = \frac{\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}$$，化简得 $$3x - 4 = 6 - 4y$$，即 $$3x + 4y = 10$$。
求 $$x^2 + y^2$$ 的最小值，即求点 $$(x,y)$$ 到原点的距离平方的最小值。
由几何意义，最小值为 $$\left(\frac{|3 \times 0 + 4 \times 0 - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\right)^2 = \left(\frac{10}{5}\right)^2 = 4$$。
故选 D。