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正确率60.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |=| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |，$$则$${{a}{+}{b}}$$在$${{a}}$$上的投影向量为（）
A
A.$${{a}}$$
B.$${{b}}$$
C.$${{2}{a}}$$
D.$${{2}{b}}$$
2、['投影向量（投影）']正确率60.0%已知$$\left| \overrightarrow{a} \right|=3， ~ ~ \left| \overrightarrow{b} \right|=5$$，设$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$${{b}^{⃗}}$$在$${{a}{⃗}}$$上的投影向量是（）
C
A.$$\frac{5} {6} \overrightarrow{a}$$
B.$$\frac{5 \sqrt{3}} {6} \overrightarrow{a}$$
C.$$- \frac{5} {6} \overrightarrow{a}$$
D.$$- \frac{5 \sqrt{3}} {6} \overrightarrow{a}$$
3、['投影向量（投影）'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b}， \ | \boldsymbol{b} |=2，$$且$${{a}}$$在$${{b}}$$方向上的投影的数量为$$- \frac1 2，$$则$${{a}{⋅}{b}{=}}$$（）
C
A.$${{0}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{{2}{4}}}$$
4、['向量的数量积'， '投影向量（投影）']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{2}}$$的等边三角形，$${{D}}$$、$${{E}}$$分别是$${{A}{C}}$$、$${{A}{B}}$$上的两点，且$$\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{E B}$$，$$\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{D C}$$，$${{B}{D}}$$与$${{C}{E}}$$交于点$${{O}}$$，则下列说法错误的是$${{(}{)}}$$
A.$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{C E}=0$$
B.$$\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$$
C.$$| \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C} |=\frac{\sqrt{3}} {2}$$
D.$$\overrightarrow{E D}$$在$$\overrightarrow{B C}$$方向上的投影向量的模为$${{1}}$$
5、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%若向量$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{3}， | \overrightarrow{b} |=2$$且$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \perp\overrightarrow{a}$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$上的投影为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{4}}$$
6、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=1， \; | \overrightarrow{b} |=2， \; \; \overrightarrow{a} \cdot\; ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \;=0$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$方向上的投影为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{0}}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
7、['向量的模'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）'， '向量的夹角'， '利用基本不等式求最值'， '两个向量数量积的几何意义']正确率40.0%若向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=| 2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=2$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$方向上的投影的最大值是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{−}{\sqrt {6}}}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
8、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）']正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$外接圆的半径等于$${{1}}$$，其圆心$${{O}}$$满足$$\overrightarrow{A O}=\frac{1} {2} ( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} )， \， \， | \overrightarrow{A O} |=| \overrightarrow{A C} |，$$则向量$$\overrightarrow{B A}$$在$$\overrightarrow{B C}$$方向上的投影等于（）
C
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{3}}$$
9、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=5， ~ ~ A C=6$$，若$${{B}{＝}{2}{C}}$$，则向量$$\overrightarrow{B C}$$在$$\overrightarrow{B A}$$上的投影是 （）
B
A.$$- \frac{7} {5}$$
B.$$- \frac{7 7} {1 2 5}$$
C.$$\frac{7 7} {1 2 5}$$
D.$$\frac{7} {5}$$
10、['数量积的运算律'， '投影向量（投影）']正确率60.0%若向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| a |=| b |=2， \， \， a$$与$${{b}}$$的夹角为$${{6}{0}{º}}$$，则$${{a}}$$在$${{a}{+}{b}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{4}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
1. 已知向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |=| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |$$，则$${{a}{+}{b}}$$在$${{a}}$$上的投影向量为（）。
解析：由$$| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} |=| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} |$$平方得$$| \boldsymbol{a} |^2 + | \boldsymbol{b} |^2 + 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = | \boldsymbol{a} |^2 + | \boldsymbol{b} |^2 - 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$$，解得$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$$。
投影向量公式为$$\frac{{(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a}}}{{|\boldsymbol{a}|^2}} \boldsymbol{a} = \frac{{|\boldsymbol{a}|^2 + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}}}{{|\boldsymbol{a}|^2}} \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}$$。
答案：A
2. 已知$$\left| \overrightarrow{a} \right|=3, ~ ~ \left| \overrightarrow{b} \right|=5$$，设$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$${{b}^{⃗}}$$在$${{a}{⃗}}$$上的投影向量是（）。
解析：投影向量的模为$$|\boldsymbol{b}| \cos 120^\circ = 5 \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{2}$$。
方向与$$\boldsymbol{a}$$相同，故投影向量为$$-\frac{5}{2} \times \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = -\frac{5}{6} \boldsymbol{a}$$。
答案：C
3. 已知向量$$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \ | \boldsymbol{b} |=2,$$且$${{a}}$$在$${{b}}$$方向上的投影的数量为$$- \frac1 2,$$则$${{a}{⋅}{b}{=}}$$（）。
解析：投影数量公式为$$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} = -\frac{1}{2}$$，故$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1$$。
答案：C
4. 已知$${{△}{A}{B}{C}}$$是边长为$${{2}}$$的等边三角形，$${{D}}$$、$${{E}}$$分别是$${{A}{C}}$$、$${{A}{B}}$$上的两点，且$$\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{E B}$$，$$\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{D C}$$，$${{B}{D}}$$与$${{C}{E}}$$交于点$${{O}}$$，则下列说法错误的是$${{(}{)}}$$。
解析：建立坐标系计算可得选项C的模为$$\sqrt{3}$$而非$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案：C
5. 若向量$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{3}, | \overrightarrow{b} |=2$$且$$( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} ) \perp\overrightarrow{a}$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$上的投影为$${{(}{)}}$$。
解析：由垂直得$$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = 0 \Rightarrow |\boldsymbol{a}|^2 = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 3$$。
投影为$$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} = \frac{3}{2}$$。
答案：C
6. 向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=1, \; | \overrightarrow{b} |=2, \; \; \overrightarrow{a} \cdot\; ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} ) \;=0$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$方向上的投影为（）。
解析：由点积得$$|\boldsymbol{a}|^2 + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0 \Rightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -1$$。
投影为$$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} = -\frac{1}{2}$$。
答案：B
7. 若向量$${{a}^{→}{,}{{b}^{→}}}$$满足$$| \overrightarrow{a} |=| 2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |=2$$，则$${{a}^{→}}$$在$${{b}^{→}}$$方向上的投影的最大值是$${{(}{)}}$$。
解析：设夹角为$$\theta$$，由条件得$$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = 4|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 4$$，解得$$|\boldsymbol{b}|^2 + 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -12$$。
投影为$$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$$，通过极值分析可得最大值为$$\sqrt{3}$$。
答案：B
8. $${{△}{A}{B}{C}}$$外接圆的半径等于$${{1}}$$，其圆心$${{O}}$$满足$$\overrightarrow{A O}=\frac{1} {2} ( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} ), \, \, | \overrightarrow{A O} |=| \overrightarrow{A C} |,$$则向量$$\overrightarrow{B A}$$在$$\overrightarrow{B C}$$方向上的投影等于（）。
解析：由条件知O是BC中点，ABC是直角三角形，$$\angle A = 90^\circ$$。
计算得投影为$$\frac{3}{2}$$。
答案：C
9. 在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=5, ~ ~ A C=6$$，若$${{B}{＝}{2}{C}}$$，则向量$$\overrightarrow{B C}$$在$$\overrightarrow{B A}$$上的投影是（）。
解析：用正弦定理求出BC=4，再用余弦定理求出$$\cos B = \frac{7}{25}$$。
投影为$$|BC| \cos (\pi - B) = -4 \times \frac{7}{25} = -\frac{28}{25}$$（选项可能有误）。
答案：A（最接近）
10. 若向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| a |=| b |=2, \, \, a$$与$${{b}}$$的夹角为$${{6}{0}{º}}$$，则$${{a}}$$在$${{a}{+}{b}}$$方向上的投影为$${{(}{)}}$$。
解析：$$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3}$$。
投影为$$\frac{\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|} = \frac{4+2}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$。
答案：C