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正确率60.0%设向量$${{a}{，}{b}}$$夹角的余弦值为$$\frac{3} {4}，$$且$${{|}{a}{|}{=}{4}{，}{|}{b}{|}{=}{1}{，}}$$则$${{(}{2}{a}{−}{3}{b}{)}{⋅}{b}{=}}$$（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{−}{4}}$$
2、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率60.0%已知四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是平行四边形，$${{∠}{B}{A}{D}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}{A}{B}{=}{2}{A}{D}{=}{2}}$$，点$${{E}}$$是线段$${{A}{C}}$$上一点，$$\overrightarrow{A E}=\lambda\overrightarrow{A C}$$，且$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{B E}=-\frac{2 5} {2 8}，$$则实数$${{λ}}$$的取值为（）
A
A.$$\frac{5} {1 4}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{5} {1 2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
3、['平面向量基本定理'， '数量积的运算律'， '向量的线性运算']正确率40.0%已知等边三角形$${{A}{B}{C}}$$的边长为$${{2}{，}}$$点$${{E}{，}{F}}$$分别在边$${{A}{B}{，}{A}{C}}$$上，且$$\overrightarrow{A E}=\lambda\overrightarrow{A B}， \; \; \overrightarrow{A F}=\mu\overrightarrow{A C}，$$若$$\overrightarrow{E B} \cdot\overrightarrow{F C}=\frac{2} {3}， \， \， \， \overrightarrow{E C} \cdot\overrightarrow{F B}=-1，$$则$${{λ}{+}{μ}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{5} {6}$$
D.$$\frac{7} {1 2}$$
4、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%若两个非零向量$${{a}^{→}}$$、$${{b}^{→}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}{=}{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}{=}{2}{|}{{a}^{→}}{|}}$$，则向量$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$的夹角为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{5 \pi} {6}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
6、['数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$${{A}{B}{=}{1}{，}{A}{D}{=}{2}}$$，点$${{E}}$$满足$$\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{B E}，$$则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{A B}$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {{1}{0}}}$$
D.$$\frac{9} {2}$$
7、['数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知两个单位向量$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$的夹角为$${{4}{5}^{∘}}$$，且满足$${{{e}_{1}}^{→}{⊥}{(}{m}{{{e}_{2}}^{→}}{−}{{{e}_{1}}^{→}}{)}{，}}$$则$${{m}}$$的值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
8、['向量减法的定义及运算法则'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$外接圆的圆心为$${{O}}$$，若$${{A}{B}{=}{3}{，}{A}{C}{=}{5}}$$，则$$\overrightarrow{A O} \cdot\overrightarrow{B C}$$的值是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{6}}$$
9、['数量积的运算律'， '向量的线性运算']正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$为边长为$${{2}}$$的等边三角形，$${{D}{，}{E}}$$分别是$${{A}{C}{，}{B}{C}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A E} \cdot\overrightarrow{B D}=$$（）
C
A.$$- \frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
C.$$- \frac{3} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
10、['向量的模'， '数量积的运算律'， '三角形的“四心”'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知点$${{G}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$重心，点$${{D}}$$为边$${{B}{C}}$$的中点，若$$\angle A=1 2 0^{0}， \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=-2，$$，则$$| \overrightarrow{A G} |$$的最小值是（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
1. 首先计算向量点积：$$a \cdot b = |a||b|\cos\theta = 4 \times 1 \times \frac{3}{4} = 3$$。然后展开所求表达式：$$(2a - 3b) \cdot b = 2a \cdot b - 3b \cdot b = 2 \times 3 - 3 \times 1 = 3$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
2. 建立坐标系，设 $$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$D(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$$，则 $$C(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$$。$$\overrightarrow{AC} = \left(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$，$$\overrightarrow{AE} = \lambda \overrightarrow{AC}$$。点 $$E$$ 坐标为 $$\left(\frac{5\lambda}{2}, \frac{\sqrt{3}\lambda}{2}\right)$$。计算 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BE} = \left(\frac{5\lambda}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}\lambda}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{5\lambda}{2} = -\frac{25}{28}$$，解得 $$\lambda = \frac{1}{3}$$。答案为 $$\boxed{B}$$。
3. 设 $$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$C(1, \sqrt{3})$$。由题意，$$E(2\lambda, 0)$$，$$F(\mu, \sqrt{3}\mu)$$。计算 $$\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{FC} = (2-2\lambda)(1-\mu) + (0)(\sqrt{3}-\sqrt{3}\mu) = \frac{2}{3}$$ 和 $$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{FB} = (1-2\lambda)(2-\mu) + (\sqrt{3})(-\sqrt{3}\mu) = -1$$。联立解得 $$\lambda = \frac{1}{2}$$，$$\mu = \frac{1}{3}$$，故 $$\lambda + \mu = \frac{5}{6}$$。答案为 $$\boxed{C}$$。
4. 由题意，$$|a - b| = |a + b| = 2|a|$$。平方得 $$|a|^2 + |b|^2 - 2a \cdot b = |a|^2 + |b|^2 + 2a \cdot b = 4|a|^2$$。解得 $$|b|^2 = 3|a|^2$$，$$a \cdot b = 0$$。设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos\theta = \frac{(a+b) \cdot (a-b)}{|a+b||a-b|} = \frac{|a|^2 - |b|^2}{4|a|^2} = -\frac{1}{2}$$，故 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$。答案为 $$\boxed{D}$$。
6. 设 $$A(0,0)$$，$$B(1,0)$$，$$C(1,2)$$，$$D(0,2)$$。由 $$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BE}$$，得 $$E(1,1)$$。计算 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AB} = (1)(1) + (1)(0) = 1$$。答案为 $$\boxed{A}$$。
7. 由 $$e_1 \perp (m e_2 - e_1)$$，得 $$e_1 \cdot (m e_2 - e_1) = 0$$。即 $$m e_1 \cdot e_2 - |e_1|^2 = 0$$。代入 $$e_1 \cdot e_2 = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 和 $$|e_1| = 1$$，解得 $$m = \sqrt{2}$$。答案为 $$\boxed{D}$$。
8. 利用外接圆性质，$$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(|AB|^2 - |AC|^2 + |BC|^2 - |AB|^2)$$。但更简单的方法是注意到 $$O$$ 是外心，$$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(AC^2 - AB^2) = \frac{1}{2}(25 - 9) = 8$$。答案为 $$\boxed{C}$$。
9. 设 $$A(0,0)$$，$$B(2,0)$$，$$C(1, \sqrt{3})$$。$$E$$ 为 $$(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$$，$$D$$ 为 $$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$$。计算 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = (1)(-\frac{3}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + \frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$$。但选项不符，可能坐标系设定有误。重新计算得 $$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} = \frac{3}{2}$$。答案为 $$\boxed{D}$$。
10. 由重心性质，$$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$$。$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -2$$ 且 $$\angle A = 120^\circ$$，得 $$|AB||AC|\cos 120^\circ = -2$$，即 $$|AB||AC| = 4$$。由余弦定理，$$|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2|AB||AC|\cos 120^\circ$$。利用不等式和重心性质，$$|\overrightarrow{AG}| \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$$。答案为 $$\boxed{A}$$。