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正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=A C=1， \， \， \， B C=\frac{1} {2}， \， \， \， A D \perp B C$$，则$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{A C}=$$（）
D
A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {1 6}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$
D.$$\frac{1 5} {1 6}$$
2、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知单位向量$$\vec{a}， \vec{b}， \vec{c}$$满足$$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$$，则$$| 2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} |=$$（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
3、['向量的数量积的定义']正确率80.0%已知$$\vert\boldsymbol{a} \vert=3， ~ \vert\boldsymbol{b} \vert=4，$$且$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角$${{θ}{=}{{1}{5}{0}^{∘}}{，}}$$则$${{a}{⋅}{b}}$$等于（）
C
A.$${{−}{6}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{−}{6}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
4、['向量的数量积的定义']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$C B=5， ~ A D \perp B C$$交$${{B}{C}}$$于点$${{D}}$$，若$${{C}{D}{=}{2}}$$时，则$$\overrightarrow{C A} \cdot\overrightarrow{C B}=\emptyset$$）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{5}}$$
5、['数量积的性质'， '判断三角形的形状'， '向量的数量积的定义'， '等比中项']正确率40.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角$$A. ~ B. ~ C$$成等差数列，$$( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} ) \cdot\overrightarrow{B C}=0$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$一定是（）
B
A.直角三角形
B.等边三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
6、['向量的模'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%若$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角为$$1 2 0^{\circ}， ~ | \overrightarrow{a} |=1， | \overrightarrow{b} |=3$$，则$$| 5 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} |=($$）
A
A.$${{7}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{4}}$$
7、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%已知平面向量$$\overrightarrow{a}， ~ \overrightarrow{b}，$$若$$| \overrightarrow{a} |=\sqrt{3}， \; \; | \overrightarrow{b} |=2， \; \; \overrightarrow{a}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角$$\theta=\frac{\pi} {6}，$$且$$( \overrightarrow{a}-m \overrightarrow{b} ) / \perp\overrightarrow{a}$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
8、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$$6 0^{\circ}， \， \， | \stackrel{\rightarrow} {b} |=4， \， \， \， ( \stackrel{\rightarrow} {a}+2 \stackrel{\rightarrow} {b} ) \cdot( \stackrel{\rightarrow} {a}-3 \stackrel{\rightarrow} {b} )=-7 2$$，则向量$${{a}^{→}}$$的模为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{6}}$$
9、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '充分、必要条件的判定'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%设$${{a}{，}{b}}$$是非零向量，且$${{a}{，}{b}}$$不共线．则$$` ` | a |=| b | "$$是$$` ` | a+2 b |=| 2 a+b | "$$的
C
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 2 \operatorname{s i n} 1 3^{\circ}， 2 \operatorname{c o s} 1 3^{\circ} )，$$$$\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=1， \overrightarrow{a}$$与$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=$$（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
1. 在等腰三角形 $$△ABC$$ 中，$$AB = AC = 1$$，$$BC = \frac{1}{2}$$。首先计算高 $$AD$$：
$$AD = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$
向量 $$\overrightarrow{AD}$$ 与 $$\overrightarrow{AC}$$ 的夹角为 $$\theta$$，且 $$\cos \theta = \frac{AD}{AC} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$。
点积为：
$$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = |AD| \cdot |AC| \cdot \cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{15}{16}$$
答案为 $$\boxed{D}$$。
2. 已知 $$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$$，且 $$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$$。
由 $$|\vec{c}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1$$，得：
$$1 + 1 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$$
计算 $$|2\vec{a} - \vec{c}|$$：
$$|2\vec{a} - \vec{c}|^2 = |2\vec{a} - (\vec{a} + \vec{b})|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 + 1 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$$
故 $$|2\vec{a} - \vec{c}| = \sqrt{3}$$，答案为 $$\boxed{C}$$。
3. 已知 $$|\boldsymbol{a}| = 3$$，$$|\boldsymbol{b}| = 4$$，夹角 $$\theta = 150^\circ$$。
点积为：
$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}| \cdot \cos \theta = 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -6\sqrt{3}$$
答案为 $$\boxed{C}$$。
4. 在 $$△ABC$$ 中，$$CB = 5$$，$$CD = 2$$，故 $$BD = 3$$。
设 $$AD = h$$，则 $$CA = \sqrt{h^2 + 2^2}$$，$$AB = \sqrt{h^2 + 3^2}$$。
利用勾股定理，$$CA^2 + AB^2 = CB^2$$：
$$(h^2 + 4) + (h^2 + 9) = 25 \Rightarrow 2h^2 = 12 \Rightarrow h^2 = 6$$
点积为：
$$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |CA| \cdot |CB| \cdot \cos \theta = \sqrt{h^2 + 4} \cdot 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{h^2 + 4}} = 10$$
答案为 $$\boxed{C}$$。
5. 三个内角 $$A, B, C$$ 成等差数列，故 $$B = 60^\circ$$。
由 $$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$，得：
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$
化简后可得 $$AB = AC$$，结合 $$B = 60^\circ$$，$$△ABC$$ 为等边三角形。
答案为 $$\boxed{B}$$。
6. 已知 $$|\overrightarrow{a}| = 1$$，$$|\overrightarrow{b}| = 3$$，夹角为 $$120^\circ$$。
计算 $$|5\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$$：
$$|5\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 25|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 10\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 25 + 9 - 10 \cdot 1 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 49$$
故 $$|5\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = 7$$，答案为 $$\boxed{A}$$。
7. 已知 $$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3}$$，$$|\overrightarrow{b}| = 2$$，夹角 $$\theta = \frac{\pi}{6}$$。
由 $$(\overrightarrow{a} - m\overrightarrow{b}) \perp \overrightarrow{a}$$，得：
$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - m\overrightarrow{b}) = 0 \Rightarrow |\overrightarrow{a}|^2 - m\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$
计算 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos \frac{\pi}{6} = 3$$，代入得：
$$3 - 3m = 0 \Rightarrow m = 1$$
答案为 $$\boxed{B}$$。
8. 已知 $$|\overrightarrow{b}| = 4$$，夹角为 $$60^\circ$$，且 $$(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}) = -72$$。
展开点积：
$$|\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 6|\overrightarrow{b}|^2 = -72$$
代入 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 2|\overrightarrow{a}|$$，得：
$$|\overrightarrow{a}|^2 - 2|\overrightarrow{a}| - 96 = -72 \Rightarrow |\overrightarrow{a}|^2 - 2|\overrightarrow{a}| - 24 = 0$$
解得 $$|\overrightarrow{a}| = 6$$（舍去负值），答案为 $$\boxed{D}$$。
9. 若 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$$，则：
$$|\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + 4|\overrightarrow{b}|^2 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$
$$|2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = 4|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$
当 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$$ 时，两式相等，故条件是充分的。
反之，若 $$|\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}| = |2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|$$，平方后化简得 $$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$$，故条件也是必要的。
答案为 $$\boxed{C}$$。
10. 已知 $$\overrightarrow{a} = (2\sin 13^\circ, 2\cos 13^\circ)$$，$$|\overrightarrow{a}| = 2$$。
设 $$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c}$$，则 $$|\overrightarrow{c}| = 1$$，且 $$\overrightarrow{a}$$ 与 $$\overrightarrow{c}$$ 的夹角为 $$\frac{\pi}{3}$$。
由点积公式：
$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{c}| \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1$$
又 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}|^2 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$
故 $$4 - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \Rightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3$$，答案为 $$\boxed{B}$$。