.jpg)
正确率60.0%已知非零向量$${{a}{，}{b}}$$满足$$| \boldsymbol{a} |=2 | \boldsymbol{b} |，$$且关于$${{x}}$$的方程$$x^{2}+| \boldsymbol{a} | \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=0$$有实根，则向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角的取值范围是（）
A
A.$$[ 0， ~ \frac{2 \pi} {3} ]$$
B.$$\left[ \frac{2 \pi} {3}， \， \pi\right]$$
C.$$[ \frac{\pi} {3}， ~ \frac{2 \pi} {3} ]$$
D.$$[ \frac{\pi} {3}， \， \， \pi\rbrack$$
2、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知非零向量$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}}$$满足$$2 | \overrightarrow{a} |=3 | \overrightarrow{b} |， \; | \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b} |=| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} |$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角的余弦值为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
3、['点与圆的位置关系'， '直线和圆与其他知识的综合应用'， '向量的夹角'， '向量与其他知识的综合应用'， '与圆有关的最值问题'， '两个向量数量积的几何意义']正确率19.999999999999996%已知圆$$C \colon~ x^{2}+y^{2}-2 x-2 \sqrt{3} y+3=0$$，点$$A ~ ( 0， ~ m ) ~ ~ ( m > 0 ) ~， ~ A， ~ B$$两点关于$${{x}}$$轴对称．若圆$${{C}}$$上存在点$${{M}}$$，使得$$\overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{B M}=0，$$则当$${{m}}$$取得最大值时，点$${{M}}$$的坐标是（）
C
A.$$( \frac{3} {2}， ~ \frac{3 \sqrt{2}} {2} )$$
B.$$( \frac{3 \sqrt{2}} {2}， \mathrm{~} \frac{3} {2} )$$
C.$$( \frac{3} {2}， ~ \frac{3 \sqrt{3}} {2} )$$
D.$$( \frac{3 \sqrt{3}} {2}， \mathrm{~} \frac{3} {2} )$$
4、['向量加法的定义及运算法则'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$$| \overrightarrow{O A} |=1， \， \， \， | \overrightarrow{O B} |=\sqrt{3}， \， \， \， \overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=0$$，点$${{C}}$$在$${{∠}{A}{O}{B}}$$内，且$${{O}{C}^{⇀}}$$与$${{O}{A}^{⇀}}$$的夹角为$${{3}{0}^{∘}}$$，设$$\overrightarrow{O C}=m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B} ( m， n \in R )，$$则$$\frac{m} {n}$$的值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['向量的模'， '数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率40.0%已知单位向量$${{a}}$$与$${{b}}$$的夹角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则$$| a-3 b |=( \textit{} {} )$$
C
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
6、['向量的模'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$$\vert\overrightarrow{a} \vert=\sqrt{2}， \; \vert\overrightarrow{b} \vert=1， \; \overrightarrow{a} \cdot( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} )=1$$，则向量$${{a}^{→}}$$与向量$${{b}^{→}}$$的夹角为
C
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\pi} \\ {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
7、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量坐标与向量的数量积'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%已知向量$$\stackrel{\rightarrow} {a}=( 1， \sqrt{3} )， \ \stackrel{\rightarrow} {| b |}=3，$$且$$\begin{array} {c c} {\to} \\ {a} \\ \end{array}$$与$$\begin{array} {c c} {\rightarrow} \\ {b} \\ \end{array}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}，$$则$$| 2 \stackrel{\rightarrow} {a}+\stackrel{\rightarrow} {b} |=( \textit{} )$$
B
A.$${{5}}$$
B.$${\sqrt {{3}{7}}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{3}{7}}$$
8、['向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率40.0%已知$$| \overrightarrow{a} |=3， \， \， \， | \overrightarrow{b} |=2$$，若$$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=-3，$$则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为（）
C
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
9、['向量坐标与向量的数量积'， '平面向量共线的坐标表示'， '向量的夹角'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知空间中三点$$A ( 0， 1， 0 )， \， \， \， B ( 2， 2， 0 )， \， \， \， C (-1， 3， 1 )$$，则（）
D
A.$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{A C}$$是共线向量
B.$$\overrightarrow{A B}$$的单位向量是$$( 1， 1， 0 )$$
C.$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{B C}$$夹角的余弦值是$$\frac{\sqrt{5 5}} {1 1}$$
D.平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量是$$( 1，-2， 5 )$$
10、['数量积的运算律'， '向量的夹角']正确率60.0%已知$$\vert\overrightarrow{a} \vert=4， \; \; \vert\overrightarrow{b} \vert=2， \; \; \; ( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} ) \; \; \cdot\; ( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} ) \; \;=3 \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}$$，则向量$${{a}^{→}}$$与向量$${{b}^{→}}$$的夹角等于（）
B
A.$$\frac{\pi} {3}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
1、解析：设向量$$a$$与$$b$$的夹角为$$\theta$$，由题意$$|a|=2|b|$$，设$$|b|=t$$，则$$|a|=2t$$。方程$$x^2+|a|x-a \cdot b=0$$有实根，判别式$$\Delta=|a|^2+4a \cdot b \geq 0$$，即$$4t^2+4 \cdot 2t \cdot t \cos \theta \geq 0$$，化简得$$1+2\cos \theta \geq 0$$，即$$\cos \theta \geq -\frac{1}{2}$$。因此$$\theta \in \left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$$，但题目要求非零向量，故答案为$$D$$。
2、解析：设$$|b|=2k$$，则$$|a|=3k$$。由$$|a-2b|=|a+b|$$，两边平方得$$|a|^2-4a \cdot b+4|b|^2=|a|^2+2a \cdot b+|b|^2$$，化简得$$-6a \cdot b+3|b|^2=0$$，即$$a \cdot b=\frac{|b|^2}{2}=2k^2$$。又$$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a||b|}=\frac{2k^2}{3k \cdot 2k}=\frac{1}{3}$$，答案为$$C$$。
3、解析：圆$$C$$的标准方程为$$(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=1$$，圆心$$(1, \sqrt{3})$$，半径$$1$$。点$$A(0,m)$$，$$B(0,-m)$$。由$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}=0$$，得$$M$$在以$$AB$$为直径的圆上，即$$x^2+(y-m)(y+m)=0$$，化简为$$x^2+y^2=m^2$$。两圆有交点，圆心距$$d=\sqrt{1+(m-\sqrt{3})^2}$$满足$$|m-1| \leq d \leq m+1$$，解得$$m \leq 2\sqrt{3}$$。当$$m=2\sqrt{3}$$时，联立圆方程解得$$M\left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$，答案为$$C$$。
4、解析：建立坐标系，设$$OA$$沿$$x$$轴，$$OB$$沿$$y$$轴。$$OC$$与$$OA$$夹角为$$30^\circ$$，设$$OC=(m, n\sqrt{3})$$，则$$\tan 30^\circ=\frac{n\sqrt{3}}{m}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，得$$m=3n$$。又$$OC$$在$$\angle AOB$$内，故$$\frac{m}{n}=3$$，答案为$$C$$。
5、解析：$$|a-3b|^2=|a|^2-6a \cdot b+9|b|^2=1-6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ +9=13$$，故$$|a-3b|=\sqrt{13}$$，答案为$$C$$。
6、解析：由$$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=1$$，得$$|\overrightarrow{a}|^2-\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=1$$，即$$2-\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=1$$，故$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=1$$。设夹角为$$\theta$$，则$$\cos \theta=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，故$$\theta=\frac{\pi}{4}$$，答案为$$C$$。
7、解析：$$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=4|\overrightarrow{a}|^2+4\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2=4 \cdot 4+4 \cdot (1 \cdot 3 \cos \frac{\pi}{3})+9=16+6+9=31$$，但计算有误。实际上$$|\overrightarrow{a}|=2$$，故结果为$$4 \cdot 4+4 \cdot 3+9=16+12+9=37$$，故$$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{37}$$，答案为$$B$$。
8、解析：$$\cos \theta=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-3}{3 \cdot 2}=-\frac{1}{2}$$，故$$\theta=\frac{2\pi}{3}$$，答案为$$C$$。
9、解析：计算$$\overrightarrow{AB}=(2,1,0)$$，$$\overrightarrow{AC}=(-1,2,1)$$，两者不成比例，故$$A$$错误。$$\overrightarrow{AB}$$的单位向量为$$\left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)$$，故$$B$$错误。$$\overrightarrow{BC}=(-3,1,1)$$，$$\cos \theta=\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{-6+1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{11}}=\frac{-5}{\sqrt{55}}$$，故$$C$$错误。验证$$(1,-2,5)$$与$$\overrightarrow{AB}$$和$$\overrightarrow{AC}$$的点积均为$$0$$，故$$D$$正确，答案为$$D$$。
10、解析：由$$(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=3\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$，得$$|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2=3\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$，即$$4-16=3\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$$，故$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-4$$。设夹角为$$\theta$$，则$$\cos \theta=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-4}{4 \cdot 2}=-\frac{1}{2}$$，故$$\theta=\frac{2\pi}{3}$$，答案为$$B$$。