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正确率60.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{1}}$$，$${{|}{{b}^{→}}{|}{=}{\sqrt {3}}}$$，$${{|}{{a}^{→}}{−}{2}{{b}^{→}}{|}{=}{3}}$$，则$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}}$$（）
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
2、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的线性运算']正确率60.0%设$${{D}{，}{E}}$$为正三角形$${{A}{B}{C}}$$中$${{B}{C}}$$边上的两个三等分点，且$${{B}{C}{=}{2}}$$，则$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{A E}=$$（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{8} {9}$$
C.$$\frac{2 6} {9}$$
D.$$\frac{2 6} {3}$$
3、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%下列命题中正确的是（）
B
A.已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}}$$满足$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{{a}^{→}}{⋅}{{c}^{→}}{，}}$$则$${{b}^{→}{=}{{c}^{→}}}$$
B.在边长为$${{1}}$$等边$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A C}=\frac{1} {2}$$
C.已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}{=}{{a}^{→}^{2}}{+}{2}{{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}{+}{{b}^{→}^{2}}}$$
D.点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点，若$$\overrightarrow{A P}=\lambda\ ( \frac{\overrightarrow{A B}} {| \overrightarrow{A B} |}+\frac{\overrightarrow{A C}} {| \overrightarrow{A C} |} )$$则点$${{P}}$$的轨迹经过点$${{P}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面内一点
4、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义']正确率40.0%平面向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$$\frac{2 \pi} {3}， \， \， \， \overrightarrow{a}=( 2， \， \， 0 )， \， \， \， | \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b} |=2 \sqrt{3}，$$则$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
5、['向量的模'， '数量积的性质'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%若平面向量$${{a}^{→}{=}{（}{1}{，}{x}{）}{，}{{b}^{→}}{=}{（}{2}{x}{+}{3}{，}{−}{x}{）}{，}}$$且$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}{，}}$$则$${{|}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}{=}{（}}$$）
A
A.$${{2}}$$或$${{1}{0}}$$
B.$${{2}}$$或$${{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{2}}$$或$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$或$${{1}{0}}$$
6、['数量积的性质'， '数量积的运算律']正确率60.0%在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=2， \， \， \， B C=3， \， \， \， \angle A B C={\frac{\pi} {3}}， \， \， \， E$$为$${{C}{D}}$$的中点，则$$\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B E}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{5}}$$
C.$$\frac{1 1} {2}$$
D.$$\frac{3 1} {2}$$
7、['平面向量的概念'， '数量积的性质']正确率60.0%在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中$$， \overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C}=0， \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是（）
C
A.直角梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
8、['数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量的数量积的定义'， '向量的夹角']正确率60.0%设向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}{，}{{c}^{→}}}$$都是单位向量，且$${{2}{{a}^{→}}{=}{{b}^{→}}{−}{\sqrt {3}}{{c}^{→}}}$$，则$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
9、['向量的模'， '数量积的性质'， '向量的数量积的定义'， '利用基本不等式求最值'， '给定参数范围的恒成立问题']正确率40.0%已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=1，$$且$${{|}{k}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}{=}{\sqrt {3}}{|}{{a}^{→}}{−}{k}{{b}^{→}}{|}{(}{k}{>}{0}{)}}$$，令$${{f}{{(}{k}{)}}{=}{{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}}$$，若$$f ( k ) \geqslant x^{2}-2 t x-\frac{1} {2}$$对任意$${{k}{>}{0}}$$，任意$${{t}{∈}{{[}{−}{1}{，}{1}{]}}}$$恒成立，则实数$${{x}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{[}{−}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$
B.$${{[}{1}{−}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{−}{1}{]}}$$
C.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
D.$${{[}{−}{\sqrt {2}}{，}{2}{]}}$$
1. 已知向量$${{a}^{→}{,}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{1}}$$，$${{|}{{b}^{→}}{|}{=}{\sqrt {3}}}$$，$${{|}{{a}^{→}}{−}{2}{{b}^{→}}{|}{=}{3}}$$，求$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{}}$$。
根据向量的模长公式：
$${|}{{a}^{→}}{−}{2}{{b}^{→}}{|}^2 = {|}{{a}^{→}}{|}^2 + 4{|}{{b}^{→}}{|}^2 - 4{{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$
代入已知条件：
$$9 = 1 + 4 \times 3 - 4{{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$
解得：
$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}} = 1$$
正确答案是 C。
2. 设$${{D}{，}{E}}$$为正三角形$${{A}{B}{C}}$$中$${{B}{C}}$$边上的两个三等分点，且$${{B}{C}{=}{2}}$$，求$$\overrightarrow{A D} \cdot\overrightarrow{A E}$$。
建立坐标系，设点$$A$$在原点，$$B$$在$$(1, \sqrt{3})$$，$$C$$在$$(2, 0)$$。
$$D$$和$$E$$的坐标分别为$$(\frac{4}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$$和$$(\frac{5}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$$。
计算向量$$\overrightarrow{A D}$$和$$\overrightarrow{A E}$$的点积：
$$\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A E} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{20}{9} + \frac{1}{3} = \frac{26}{9}$$
正确答案是 C。
3. 下列命题中正确的是（）。
选项分析：
A：错误，$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}{=}{{a}^{→}{⋅}{{c}^{→}}}$$不保证$${{b}^{→}{=}{{c}^{→}}}$$。
B：正确，等边三角形中$$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = 1 \times 1 \times \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$。
C：错误，正确的公式是$${|}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}^2 = {|}{{a}^{→}}{|}^2 + 2{{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}} + {|}{{b}^{→}}{|}^2$$。
D：错误，点$$P$$的轨迹是角平分线，不一定经过三角形某点。
正确答案是 B。
4. 平面向量$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$$\frac{2 \pi} {3}$$，$${{a}^{→}{=}{（}{2}{，}{0}{）}}$$，$${|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}{=}{2}{\sqrt {3}}$$，求$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$。
$${|}{{a}^{→}}{+}{2}{{b}^{→}}{|}^2 = {|}{{a}^{→}}{|}^2 + 4{|}{{b}^{→}}{|}^2 + 4{{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}}$$
已知$${|}{{a}^{→}}{|}{=2}$$，夹角$$\theta = \frac{2\pi}{3}$$，设$${|}{{b}^{→}}{|}{=b}$$。
$$12 = 4 + 4b^2 + 4 \times 2 \times b \times \cos \frac{2\pi}{3}$$
解得$$b=1$$，$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}} = 2 \times 1 \times (-\frac{1}{2}) = -1$$。
但重新检查计算：
$$12 = 4 + 4b^2 + 4 \times 2 \times b \times (-\frac{1}{2})$$
$$12 = 4 + 4b^2 -4b$$
$$4b^2 -4b -8 = 0$$
$$b^2 -b -2 = 0$$
$$b=2$$（舍去负值）
$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}} = 2 \times 2 \times (-\frac{1}{2}) = -2$$
正确答案是 C。
5. 若平面向量$${{a}^{→}{=}{（}{1}{，}{x}{）}{，}{{b}^{→}}{=}{（}{2}{x}{+}{3}{，}{−}{x}{）}}$$，且$${{a}^{→}{⊥}{{b}^{→}}}$$，求$${|}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}$$。
由垂直条件：
$$1 \times (2x+3) + x \times (-x) = 0$$
$$2x + 3 - x^2 = 0$$
解得$$x=3$$或$$x=-1$$。
当$$x=3$$时：
$${{a}^{→}}{=}{（}{1}{，}{3}{）}$$，$${{b}^{→}}{=}{（}{9}{，}{-3}{）}$$
$${|}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}{=}{|}(-8, 6){|}{=10}$$
当$$x=-1$$时：
$${{a}^{→}}{=}{（}{1}{，}{-1}{）}$$，$${{b}^{→}}{=}{（}{1}{，}{1}{）}$$
$${|}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}{|}{=}{|}(0, -2){|}{=2}$$
正确答案是 A。
6. 在平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$A B=2$$，$$B C=3$$，$$\angle A B C=\frac{\pi}{3}$$，$$E$$为$${{C}{D}}$$的中点，求$$\overrightarrow{A C} \cdot\overrightarrow{B E}$$。
建立坐标系，设$$B$$在原点，$$A$$在$$(2, 0)$$，$$C$$在$$(3 \cos \frac{\pi}{3}, 3 \sin \frac{\pi}{3}) = (1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$$。
$$D$$的坐标为$$(3.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$$，$$E$$为$$CD$$中点，坐标为$$(2.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$$。
向量$$\overrightarrow{A C} = (-0.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$$，$$\overrightarrow{B E} = (2.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$$。
点积：
$$\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B E} = -0.5 \times 2.5 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = -1.25 + \frac{27}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2}$$
正确答案是 C。
7. 在四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C}=0$$，$$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}$$，判断四边形形状。
由$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C}=0$$，$$AB$$垂直于$$BC$$。
由$$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}$$，$$AD$$平行且等于$$BC$$。
因此$$ABCD$$是矩形。
正确答案是 C。
8. 设向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}{，}{{c}^{→}}}$$都是单位向量，且$${{2}{{a}^{→}}{=}{{b}^{→}}{−}{\sqrt {3}}{{c}^{→}}}$$，求$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$的夹角。
两边平方：
$$4{|}{{a}^{→}}{|}^2 = {|}{{b}^{→}}{|}^2 + 3{|}{{c}^{→}}{|}^2 - 2\sqrt{3}{{b}^{→}{⋅}{{c}^{→}}}$$
$$4 = 1 + 3 - 2\sqrt{3}{{b}^{→}{⋅}{{c}^{→}}}$$
$${{b}^{→}{⋅}{{c}^{→}}} = 0$$，即$${{b}^{→}}$$与$${{c}^{→}}$$垂直。
设$${{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}} = \cos \theta$$，由$${{2}{{a}^{→}}{=}{{b}^{→}}{−}{\sqrt {3}}{{c}^{→}}}$$点乘$${{b}^{→}}$$：
$$2 \cos \theta = 1 - \sqrt{3} \times 0 = 1$$
$$\cos \theta = \frac{1}{2}$$，$$\theta = \frac{\pi}{3}$$。
正确答案是 C。
9. 已知向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$$\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=1$$，且$${|}{k}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{|}{=}{\sqrt {3}}{|}{{a}^{→}}{−}{k}{{b}^{→}}{|}$$，令$${{f}{{(}{k}{)}}{=}{{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}}$$，求$$x$$的取值范围。
两边平方：
$$k^2 + 1 + 2k{{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}} = 3(1 + k^2 - 2k{{a}^{→}{⋅}{{b}^{→}}})$$
化简得：
$$k^2 + 1 + 2k f(k) = 3 + 3k^2 - 6k f(k)$$
$$8k f(k) = 2 + 2k^2$$
$$f(k) = \frac{1 + k^2}{4k}$$
求$$f(k)$$的最小值：
$$f(k) \geq \frac{1}{2}$$（当$$k=1$$时取到）
不等式$$f(k) \geq x^2 -2tx -\frac{1}{2}$$对所有$$k>0$$和$$t \in [-1,1]$$恒成立，即：
$$\frac{1}{2} \geq x^2 -2tx -\frac{1}{2}$$对所有$$t \in [-1,1]$$成立。
即$$x^2 -2tx -1 \leq 0$$对所有$$t \in [-1,1]$$成立。
解得$$x \in [-1,1]$$。
但更精确分析：
$$x^2 -2tx -1 \leq 0$$的判别式$$4t^2 +4 \geq 0$$，解为$$t - \sqrt{t^2+1} \leq x \leq t + \sqrt{t^2+1}$$。
对所有$$t \in [-1,1]$$，取交集得$$x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$。
正确答案是 A。